1.5 控制系統仿真的數學模型

從仿真的定義可知，建立數學模型是開展仿真的先決條件，因此在介紹各種仿真方法之前，必須先了解系統的數學模型。在自動控制中，常見的數學模型可以分為連續時間模型、離散時間模型和采樣數據模型3大類。

1.5.1 連續時間系統的數學模型

連續時間模型通常采用下列3種數學形式描述連續系統。

1.輸入、輸出的微分方程

設系統的輸入為u（t），輸出為y（t），它們之間的關系可以表示為高階微分方程

對于自動控制中最常見的線性定常系統，式（1.10）可以表示為

式中，ɑ0=1。

若引進微分算子，式（1.11）可以表示為

則有

2.輸入、輸出的傳遞函數

對式（1.11）的兩邊取拉氏變換，若系統的輸出y（t）和輸入u（t）及其各階導數的初始值都為零，則得到

式中，Y（s）和U（s）分別為y（t）和u（t）的拉氏變換。定義

稱它為輸入、輸出的傳遞函數。由式（1.14），有

將式（1.13）與式（1.15）對比可知，在初值為零的情況下，p與s等價。

3.狀態空間模型

式（1.11）和式（1.15）給出的數學模型僅僅描述了線性定常系統的外部特性，即僅僅確定了輸入u（t）與輸出y（t）之間的關系，故稱為系統外部模型。

為了描述一個系統內部的特性，即確定組成系統的各個實體之間的相互作用而引起實體屬性的變化，可以引進系統的內部變量——稱為狀態變量。實際系統中，真實的內部變量及數學上定義的內部變量可以是一致的，也可以是不一致的。例如，直流電動機的輸入為電樞電壓u（t），輸出為轉速ω（t），它的內部狀態變量可以選為真實的物理量——電樞電流i（t），也可以選為其他變量。然而，無論狀態變量如何選擇，系統的數學描述總有以下形式

其中，式（1.16）稱為系統的狀態方程，式（1.17）稱為系統的輸出方程。

式（1.16）和式（1.17）合稱為系統的狀態空間模型。由于它描述了系統的內部特性，所以又稱為內部模型。

對于線性系統，上述3種數學模型的表示形式可以相互轉換。

1.5.2 離散時間系統的數學模型

與1.5.1節中敘述的連續時間模型的表示形式相對應，離散時間模型通常也采用3種表示形式描述離散時間系統。

1.輸入、輸出的差分方程

設在離散時間點t0，t1，…，tk，…上控制系統的輸入序列為{u（k）}，輸出序列為{y（k）}，它們之間的關系可以表示為

這是非線性差分方程的表達式，其中f是其變量的函數。如果可以從式（1.18）中解出y（n+k），則得到非線性遞推形式的差分方程為

差分方程描述了離散控制系統在各個時刻輸入、輸出之間的相互關系。由式（1.18）可以看出，根據輸入u（k），u（k+1），…，u（n+k）和以前的系統輸出y（k），y（k+1），…，y（n+k-1），就可以遞推出時刻tn+k處的輸出值y（n+k）。

對于線性定常系統，式（1.18）可以表示為

若引進后移算子q-1，它定義為

則式（1.20）可以改寫為

式中，ɑ0=1。即有

式中

從而有

或者

2.輸入、輸出的脈沖傳遞函數

對式（1.20）的兩邊取Z變換，并設系統的初始值及以前時刻的輸入和輸出都為零，即y（k）=u（k）=0，k≤0，則可得

式中，Y（z）和U（z）分別為序列{y（k）}和序列{u（k）}的Z變換。定義

為線性差分方程式（1.20）描述的系統的脈沖傳遞函數，則有

將式（1.23）與式（1.25）對比可知，在初始條件為零的情況下，q-1與z-1等價。

3.離散狀態空間模型

式（1.20）和式（1.25）僅僅描述了線性定常離散系統的輸入、輸出之間的關系，故稱為外部模型。如果引進系統的狀態變量序列{x（k）}，則可以構成離散狀態空間模型

其中，式（1.26）稱為系統的離散狀態方程，式（1.27）稱為系統的離散輸出方程。離散狀態空間模型屬于內部模型。

對于線性定常系統，上述3種形式可以互相轉換。

1.5.3 采樣控制系統的數學模型

在采樣控制系統中，控制器（由數字運算器構成）是對離散時間信號進行運算的部件，描述它的數學模型是離散時間模型；被控對象是連續過程，用連續時間模型描述。因此，這類系統需要用連續-離散時間混合模型，即采樣數據模型來描述。計算機控制系統是典型的采樣數據系統。如果忽略A/D和D/A轉換器的轉換時間及誤差，則采樣數據系統可由圖1.8表示。

采樣控制系統中，連續時間模型和離散時間模型都可以由任意一種形式給出。如果D（z）是控制器的脈沖傳遞函數，Gh（s）和G（s）分別是保持器和被控對象的傳遞函數，則采用傳遞函數形式描述的采樣控制系統可由圖1.9表示。