2.2 數字技術

一、知識點綜述

數字技術是采用有限個狀態（主要是兩個狀態）來表示、處理、存儲和傳輸信息的技術。

1.信息的基本單位——比特（****）

（1）比特的概念

數字技術的處理對象是“比特”，英文為“bit”，中文為“二進位數字”或“二進位”，簡稱“位”。比特目前只有兩種取值狀態，即0和1兩個數字。

比特是組成數字信息的最小單位，用小寫“b”表示。它既沒有顏色，也沒有大小和重量。

存儲信息的基本單位是“字節”（byte），用大寫“B”表示。一個字節包含8個比特。

用比特表示信息可以使計算機結構簡單、速度快，并能表示數值、文字、符號、圖像、聲音等多種不同形式的信息，另外，還方便數據壓縮及查錯糾錯。

（2）比特的存儲

計算機中使用存儲器來存儲二進位信息，存儲容量使用2的冪次作為單位，這有助于存儲器的設計，經常使用的存儲單位有：

千字節（KB），1KB = 210字節 = 1024B；

兆字節（MB），1MB = 220字節 = 1024KB；

吉字節（GB），1GB = 230字節 = 1024MB（千兆字節）；

太字節（TB），1TB = 240字節 = 1024GB（兆兆字節）。

更大存儲容量的單位依次為PB、EB、ZB、YB。

存儲比特的有觸發器（寄存器）、電容器（半導體存儲器）、磁盤、光盤等。寄存器、高速緩存、內存、文件和文件夾的大小都使用210為進位計算其容量，而磁盤、光盤、U盤、存儲卡等外存制造商采用103 為進位來計算其容量，所以，160GB的硬盤實際容量約為160,041,885,696 字節。

（3）比特的傳輸

在數據通信和計算機網絡中傳輸二進位信息時，由于是一位一位串行傳輸的，傳輸速率采用10的冪次進行計算。經常使用的速率單位有：

比特/秒（b/s），也稱“bps”，如9600bps（9600b/s）；

千比特/秒（kb/s），1kb/s = 103比特/秒 = 1000b/s；

兆比特/秒（Mb/s），1Mb/s = 106比特/秒 = 1000kb/s；

吉比特/秒（Gb/s），1Gb/s = 109比特/秒 = 1000Mb/s；

太比特/秒（Tb/s），1Tb/s = 1012比特/秒 = 1000Gb/s。

很多書中小寫k表示1000，大寫K表示1024。

2.比特與二進制數（****）

（1）數制概念

① 各種不同的數制。

人們日常使用的數是十進制數，使用0～9十個數字符號，運算規則是“逢十進一”。用字母D表示十進制數，一般省略。

使用比特來表示的數稱為二進制數，使用0和1兩個不同的數字符號，運算規則是“逢二進一”。用字母B表示二進制數。

八進制數使用0～7八個數字符號，運算規則是“逢八進一”。用字母Q表示八進制數。

十六進制數使用0～9十個數字和A～F六個字母，其中A～F分別代表十進制的10～15。運算規則是“逢十六進一”。用字母H表示十六進制數。

計算機中只使用二進制一種計數制，并不使用其他計數制，但由于二進制數太長，書寫、閱讀、記憶均不便，為了方便，經常使用八進制數和十六進制數表示，簡練、易寫易記。

② 基數和權。

每種進位制都有固定的數碼——基數，用R表示。按基數進位或借位，運算規則是“逢R進一”。如二進制數的基數為2，八進制數的基數為8。

在任何進位計數制中，數碼所處的位置不同，代表的數值大小也不同。對每一個數位賦予的位值，在數學上叫做“權”。位權的值等于基數的若干次冪。如一個十進制數在百位上的權為102，一個二進制數在倒數第2位上的權為21。

（2）二進制數的運算

比特的算術運算與十進制相同，加法運算有進位，減法運算不夠時有借位。運算規則如表2.1 所示。兩個多位二進制數的加減法運算，由低位到高位逐位進行。例如，0101+0100=1001，1001-0100=0101。

（3）數制轉換

① 十進制數轉換成R進制數。

整數和小數分開轉換。整數部分除以R取余數，直到商為0，逆排。小數部分乘以R取整數，直到小數部分為0或者希望得到的位數為止，順排。

例如，將十進制數29.625轉換成二進制數：

29.625 = 11101.101 B

② R進制數轉換成十進制數。

每一位乘以其相應的權值并相加，計算按權展開式的和。

例如，將二進制數11101.1011轉換成十進制數：

11101.1011B = 1×24+1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3+1×2-4 = 29.6875

十進制小數轉換時經常會出現二進制無窮小數，只能取近似值，例如：

0.63D=0.1010…B

③ 二進制數、八進制數、十六進制數間的相互轉換。

將二進制數轉換成八進制數，以小數點為界，往左往右三位二進制換一位八進制，不足三位，整數部分前面補0，小數部分后面補0。例如：

001101 001110.110100 B = 1516.64 Q

將八進制數轉換成二進制數，一位八進制數變成三位二進制數，例如：

2467.32 Q = 010100 110111.011010 B = 10100 110111.011 01 B

二進制數與十六進制數之間的轉換和二、八進制數轉換類似，只是需要四位一組。例如：

001101001110.11001010 B = 34E.CA H

35A2.CF H = 0011010110100010.11001111 B = 11010110100010.11001111 B

十六進制數與八進制數的相互轉換，以二進制數為媒介，即先將其轉換成二進制數，再轉換成另外的一個進制的數。例如：

1D.4 H = 00011101.0100 B = 011101.010 B = 35.2 Q

任意進制數間都可以相互轉換，一般以十進制數或者二進制數為媒介。

3.信息在計算機中的表示（***）

計算機可以處理各種信息，如數值、文字、圖形、聲音、視頻、命令、程序等。

（1）數值信息的表示

計算機中的整數和實數都用二進制表示，整數也叫“定點數”，實數也叫“浮點數”，實數是指既有整數部分又有小數部分的數。一般只要求掌握整數在計算機中的表示。

① 無符號整數。

無符號整數也稱不帶符號的整數，其取值范圍如下。

8位無符號整數的取值范圍為：0～255(28-1)。

16位無符號整數的取值范圍為：0～65535(216-1)。

n位無符號整數的取值范圍為：0～2n-1。

② 帶符號整數。

帶符號整數的最高位即最左邊的一位為符號位，用“0”表示正號“+”，“1”表示負號“-”。

● 原碼表示法：最高位為符號位，其余各位表示數的絕對值。

例如，十進制數43對應的二進制數為101011，若是8位機器數，數值部分補足7位，那么+43和-43的原碼分別如下：

(+43)原 = 00101011

(-43)原 = 10101011

帶符號整數的原碼的取值范圍如下。

8位原碼的取值范圍為：-127～+127(-27+1～+27-1)。

n位原碼的取值范圍為：-2n-1+1～+2n-1-1。

● 補碼表示法：正數的補碼與原碼相同，負數的補碼符號位是“1”，絕對值部分為原碼的每一位取反后再在末位加“1”。例如：

將-43的原碼10101011的絕對值部分每位取反后末位加1得到：(-43)補 = 11010101。

帶符號整數的補碼的取值范圍如下。

8位補碼的取值范圍為：-128～+127(-27～+27-1)。

n位補碼的取值范圍為：-2n-1～+2n-1-1。

補碼表示法可使加法與減法運算規則統一。通過補碼也可以得到一個數的原值。

例如，若一個數在計算機中的補碼為11110011，則其原值為多少？

這是求補碼的逆運算，先將其減1，得11110010，再除了符號位外各位取反得10001101，最后將數值位0001101轉換成十進制數后加上負號，得-13。

計算機中整數有多種，同一個二進制代碼表示不同類型的整數時，其含義（數值）可能不同，一個代碼到底代表哪種整數，是由指令決定的。

（2）文字符號的表示

字符是指記錄語言的符號，包括字母、數字和符號等。字符集是按某種規則編碼的一組字符的有序集合。字符集中每個字符都使用二進位表示，稱為該字符的編碼。不同的字符其編碼各不相同。

ASCII碼：西文字符一般采用ASCII碼表示，即美國標準信息交換碼。標準ASCII字符集采用7位編碼，共有27=128個字符，其中有96個可打印（顯示）字符，32個控制字符。每個ASCII字符以一個字節存放，最高位為0，數字、字母連續存放。

漢字的編碼：漢字因為數量大，字形復雜，同形字多，異體字多，給漢字在計算機內的表示帶來一定的困難，漢字的具體編碼在第6章數字媒體及應用中介紹。

（3）圖像等其他信息的表示

數字圖像由M（列）× N（行）個取樣點組成，取樣點即像素。

① 黑白圖像。

每個像素只有一個分量，只用1個二進位表示，其取值僅“0”（黑）和“1”（白）兩種。

② 灰度圖像。

每個像素只有一個分量，表示亮度，一般用8～12個二進位表示，若用n位表示，其取值范圍是0～2n-1，可表示2n個不同的亮度。

③ 彩色圖像。

像素通常是由3個彩色分量（紅、綠、藍）組成的矢量，三個分量分別表示三基色的亮度，假設3個分量分別用n、m、k個二進位表示，則可表示2n+m+k種不同的顏色。例如，真彩色的紅、綠、藍3個分量分別用8位表示，可表示28+8+8 =224，約1600萬種不同的顏色。

4.比特的運算（***）

比特最基本的邏輯運算有三種：邏輯加、邏輯乘、邏輯取反。運算規則如表2.2所示。邏輯加也稱“或”運算，用符號“OR”、“∨”或“+”表示。邏輯乘也稱“與”運算，用符號“AND”、“∧”或“·”表示。邏輯取反也稱為“非”運算，用符號“NOT”或“－”表示。

兩個多位二進制數進行邏輯運算時，按位獨立進行，相鄰位之間不發生關系。例如，0101∨0100=0101，1001∧0101=0001。

用幾個晶體管相互連接起來就可以實現各種基本邏輯運算，即門電路，速度極快。

二、真題解析

1.下面關于比特的敘述中，錯誤的是________。（2007年秋基礎第1題）

A.比特是組成數字信息的最小單位

B.比特只有“0”和“1”兩個符號

C.比特既可以表示數值和文字，也可以表示圖像和聲音

D.比特“1”總是大于比特“0”

【解析】比特是組成數字信息的最小單位，目前只有兩種狀態：數字0 或數字1。比特能表示數值、文字、符號、圖像、聲音等多種不同形式的信息。比特既沒有顏色，也沒有大小和重量。D錯，比特“1”和比特“0”不能比較大小，是兩種狀態。

【答案】D

2.使用存儲器存儲二進位信息時，存儲容量是一項很重要的性能指標。存儲容量的單位有多種，下面不是存儲容量單位的是________。（2011年春基礎第2題）

A.TB

B.XB

C.GB

D.MB

【解析】經常使用的存儲容量的單位有：千字節（KB）、兆字節（MB）、吉字節（GB）、太字節（TB）。更大存儲容量單位依次為PB、EB、ZB、YB。

【答案】B

3.數據傳輸速率是數據通信中重要的性能指標。Gb/s是數據傳輸速率的計量單位之一，其正確含義是________。（2010年秋基礎第2題）

A.每秒兆位

B.每秒千兆位

C.每秒百兆位

D.每秒百萬位

【解析】傳輸速率的度量單位使用10的冪次進行計算，1kb/s=1000b/s、1Mb/s=1000kb/s、1Gb/s=1000Mb/s（即每秒千兆位）、1Tb/s=1000Gb/s（即每秒兆兆位）。

【答案】B

4.與十六進制數AB等值的八進制數是________。（2009年秋基礎第3題）

A.253

B.254

C.171

D.172

【解析】十六進制數與八進制數轉換，以二進制數為媒介，一位十六進制數對應四位二進制數，AB對應的二進制數為10101011，三位二進制數對應一位八進制數，不足三位前面補0，即10101011，對應的八進制數為253。

【答案】A

5.二進制數10111000和11001010進行邏輯“與”運算，結果再與10100110進行邏輯“或”運算，最終結果的十六進制數形式為________。（2008年秋基礎第2題）

A.A2

B.DE

C.AE

D.95

【解析】邏輯“與”運算的規則是除了1與1為1外，其余都為0，10111000和11001010“與”的結果為10001000。邏輯“或”運算規則是除了0或0外，其余都為1，10001000和10100110“或”的結果為10101110，將其轉換成十六進制為AE。

【答案】C

6.二進制數(1010)2與十六進制數(B2)16相加，結果為________。（2007 年春基礎第3題）

A.(273)8

B.(274)8

C.(314)8

D.(313)8

【解析】先將不同的進制轉換成相同的進制，本題以二進制數為媒介比較方便。將十六進制數B2轉換為二進制，為10110010，將其與(1010)2相加，有進位，為10111100，對應的八進制數為274。

【答案】B

7.最大的10位無符號二進制整數轉換成八進制數是________。（2009年春基礎第2題）

A.1023

B.1777

C.1000

D.1024

【解析】最大的10位無符號二進制整數為1111 111111，轉換成八進制數，從右到左，三位一組，為1777。

【答案】B

8.在下列有關數字技術的一些敘述中，錯誤的是________。（2010年春基礎第3題）

A.數字技術是采用有限個狀態（如“0”和“1”）來表示、處理、存儲和傳輸信息的

B.在邏輯代數中，1與1進行邏輯加（∨）和邏輯乘（∧）的結果相同

C.任何一個十進制數，均可以精確地轉換成等值的二進制數

D.在PC機中，通常用原碼表示正整數，用補碼表示負整數

【解析】計算機中，信息的表示、處理、存儲、傳輸等都是二進制，二進制數只有0和1。1與1的邏輯加、邏輯乘的結果都是1。十進制小數轉換成二進制數，乘2取整，直到小數部分為0或希望的位數為止，有的數只能得到一個近似值。PC機中，負整數一般用補碼表示，正整數的原碼、補碼相同。

【答案】C

9.在計算機中，若某帶符號整數的8位補碼表示為10000001，則該整數為________。（2006年春基礎第4題）

A.129

B.-1

C.-127

D.127

【解析】本題是求補碼的逆運算。最高位是1，為負數。負數的補碼為原碼除符號位外取反加1。反過來，根據補碼求原碼，減1取反，減1后為10000000，后7位取反得1111111，即十進制的127，結果是-127。

【答案】C

10.設有補碼表示的兩個單字節帶符號整數a=01001110和b=01001111，則a-b的結果用補碼表示為________。（2011年春基礎第3題）

A.11111111

B.10011101

C.00111111

D.10111111

【解析】方法一：a、b的最高位都為0，為正數。因為a<b，所以，結果為負數。先求b-a，得0000001，即十進制的1，因此，a-b的結果為-1，用補碼表示為11111111。

方法二：根據公式[a-b]補=[a]補+[-b]補計算a-b的補碼。a的補碼題目中已知，，-b的補碼為b的補碼取反末位加1，得10110001。[a-b]補=[a]補+[-b]補=01001110+10110001=11111111。

【答案】A

11.所謂“變號操作”，是指將一個整數變成絕對值相同但符號相反的另一個整數。假設使用補碼表示的8位整數X=10010101，則經過變號操作后，結果為________。（2006年秋基礎第3題，2010年秋基礎第3題）

A.01101010

B.00010101

C.11101010

D.01101011

【解析】補碼為10010101，減1后除了最高位取反得原碼，為11101011，變號就是將最高位符號取反，得01101011。

【答案】D