1.2 信號的基本知識

1.2.1 信號的定義

廣義地說，信號就是隨時間和空間變化的某種物理量。例如，在通信工程中，一般將語言、文字、圖像、數據等統稱為消息。在消息中包含著一定的信息，信息是不能直接傳送的，必須借助于一定形式的信號（聲信號、光信號、電信號等）才能進行傳送和各種處理。因此，信號是消息的載體，而消息則是信號的內容。

在數學上，信號可以表示為一個或多個獨立變量的函數。例如，一個語音信號可以表示為聲壓x隨時間t變化的函數，記為x（t）；靜止的黑白圖像信號可以表示為亮度（或稱灰度）f隨二維空間坐標x、y變化的函數，記為f（x，y）；活動的圖像信號可表示為亮度f隨二維空間坐標x、y和時間t變化的函數，記為f（x，y，t）等。本書主要討論目前應用廣泛的電信號（一般是隨時間、位置變化的電流或電壓），討論的范圍也僅限于一個獨立的變量（即一維信號）。為了方便，以后總以時間表示自變量（盡管在某些具體應用中，自變量不一定是時間）。

信號常可以表示為時間函數（或序列），稱該函數（或序列）的圖像為信號的波形。后面在討論信號的有關問題時，“信號”和“函數（或序列）”兩個詞可以相互通用，不予區分。

信號的特性可以從時間特性和頻率特性兩方面來描述。信號的時間特性是指從時間域對信號進行的分析，如信號的波形，出現時間的先后，持續時間的長短，隨時間變化的快慢和大小，重復周期的大小等。信號的頻率特性是指從頻率域對信號進行的分析，如任一信號都可以分解為許多不同頻率（呈諧波關系）的余弦分量，而每一余弦分量則可用它的振幅和相位來表征。時域和頻域是兩種不同的觀察和表示信號的方法。信號的時間特性和頻率特性有著密切的聯系，不同的時間特性將導致不同的頻率特性，這種關系將在第4章中討論。

1.2.2 信號的分類

信號的種類很多，從不同的角度可以有不同的分類方法。信號按照屬性可分為電信號和非電信號兩類；按數學的對稱性，可以分為奇信號、偶信號、非對稱信號。這里僅從信號的數學描述出發，介紹幾種與信號的性質和特征相關的信號分類。

1.確定信號與隨機信號

若信號可以由一確定的數學表達式（時間函數式）表示，或者信號的波形是唯一確定的，則這種信號就是確定信號，如正弦信號。反之，如果信號不能用確定的圖形、曲線或函數式來準確描述時，其具有不可預知的不確定性，則稱為隨機信號或不確定信號，如圖1-2所示。

任意給定一時刻值時，對確定信號可以唯一確定其信號的取值；而對于隨機信號而言，其取值是不確定的。嚴格來說，在自然界中確定信號是不存在的，因為在信號傳輸過程中，不可避免地要受到各種干擾和噪聲的影響，這些干擾和噪聲都具有隨機性。對于隨機信號，不能將其表示為確切的時間函數，要用概率、統計的觀點和方法來研究它。盡管如此，研究確定信號仍是十分重要的，這是因為它是一種理想化的模型，不僅適應于工程應用，也是研究隨機信號的重要基礎。本書只分析確定信號。

2.連續時間信號與離散時間信號

根據信號定義域取值是否連續，可將信號分為連續時間信號和離散時間信號。

連續時間信號（簡稱連續信號）是指在某一時間間隔內，對于任意時刻（除若干不連續點外）都可以給出確定的函數值的信號，如圖1-3所示。在本書中，連續時間信號一般用f（t）表示，t為自變量。連續時間信號的幅值可以是連續的（即可以是任何實數），也可以是離散的（即只能取有限個規定的數值）。對于時間和幅值都連續的信號，又稱其為模擬信號。

離散時間信號（簡稱離散信號）是指僅在某些不連續的瞬間有定義，在其他時間沒有定義的信號，如圖1-4所示。在本書中，離散時間信號一般用f（k）表示，k為自變量。離散時間間隔一般都是均勻的，也可以是不均勻的。本書只討論離散時間間隔均勻且離散時刻為整數的情況（即k=0，±1，±2，…），這樣的離散時間信號也叫做序列。離散時間信號可以通過對連續時間信號采樣（抽樣）而得到。

如果離散時間信號的幅值是連續的，即幅值可以取任何實數，則稱為抽樣信號；如果離散時間信號的幅值只能取某些規定的數值，則稱為數字信號。

序列f（k）的表達式可以寫成閉合形式，也可以逐個列出f（k）的值。通常把對應某序號m的序列值叫做第m個樣點的“樣值”。圖1-4中的信號可以表示為

為簡便起見，信號f（k）也可表示為

3.周期信號與非周期信號

在確定信號中根據信號是否具有周期性可以分為周期信號和非周期信號。

所謂周期信號就是指在（-∞＜t＜∞）區間，每隔一定時間，按相同規律重復變化的信號，如圖1-5所示。

連續周期信號可以表示為

離散周期信號可以表示為

滿足上述兩關系式的最小T（或N）值叫做信號的周期。只要給出周期信號在任意周期內的函數式（或波形），便可確定它在任意時刻的值。

非周期信號在時間按上不具有周而復始變化的特性，并且不具有周期T（或者認為周期T是趨于無限大的情況）。真正的周期信號實際上是不存在的，實際中所謂的周期信號只是指在相當長的時間內按照某一規律重復變化的信號。

注意：①兩個連續的周期信號之和不一定是周期信號，只有當這兩個連續信號的周期T1與T2之比為有理數時，其和信號才是周期信號，周期T為T1、T2的最小公倍數；②兩個離散的周期序列之和一定是周期序列，其周期N等于兩個序列周期的最小公倍數。

4.實信號與復信號

實信號是指物理上可以實現的，取值是實數的信號。它常常為時間t（或k）的實函數（或序列），如正弦函數、單邊指數函數等。實信號的共軛對稱信號是它本身。

復信號指取值為復數的信號。雖然實際上不會產生復信號，但為了理論分析的需要，常常引用數值為復數的復信號，最常用的是復指數信號。

連續信號的復指數信號可表示為

式中，s=σ+jω，其中σ是s的實部，記作Re[s]；ω是s的虛部，記作Im[s]。

根據歐拉公式，式（1-3）可以展開為

式（1-4）表明一個復指數信號可以分解為實部與虛部兩部分。其中，實部為余弦信號，虛部為正弦信號。指數因子的實部σ表征了正弦和余弦的振幅隨時間變化的情況。若σ＞0，則正、余弦信號為增幅振蕩；若σ＜0，則為衰減振蕩。指數因子的虛部ω則表示正、余弦信號的角頻率。利用復指數信號可以描述許多基本的信號，如直流信號（σ=0，ω=0）、指數信號（σ≠0，ω=0）等。

復指數信號的重要特性之一就是它對時間的導數和積分仍為復指數信號。

5.能量信號與功率信號

按照信號的能量特點，可以將信號分為能量信號和功率信號。

如果在無限大的時間間隔內，信號的能量為有限值而平均功率為零，則稱此信號為能量有限信號，簡稱能量信號。

如果在無限大的時間間隔內，信號的平均功率為有限值而總能量為無限大，則稱此信號為功率有限信號，簡稱功率信號。

信號f（t）的能量（用字母E表示）定義為

信號f（t）的功率（用字母P表示）指的是其平均功率，定義為

持續時間有限的非周期信號都是能量信號，而直流信號、周期信號、階躍信號等都是功率信號，因為它們的能量為無限大。一個信號不可能既是能量信號又是功率信號，但有少數信號既不是能量信號也不是功率信號，如e-t。

序列f（k）的能量定義為

序列f（k）的功率定義為