1.5 信號的時域分解

在對信號進(jìn)行分析和處理之前，往往需要將其分解成各種不同分量之和，稱為信號的分解。

1.將任意信號分解為階躍函數(shù)之和

對于任意的信號，可以用階躍函數(shù)之和的形式來表示它。例如，圖1-41中光滑曲線代表的是任意函數(shù)f（t），它可以用一系列階躍函數(shù)之和來近似表示。為使以下推導(dǎo)簡潔，假定當(dāng)t＜0時，f（t）=0。

由圖1-41可知，第一個階躍函數(shù)f0（t）在t=0時加入，第二個階躍f1（t）在t=Δt時加入，依次迭加，Δt為時間軸上的等間隔寬度。

由于f0（t）的階躍高度為f（0），所以第一個階躍函數(shù)為

f0（t）=f（0）u（t）

在第一個階躍之上迭加第二個階躍，其階躍高度是Δf（t）=f（Δt）-f（0），因此有

式中，為t=0和t=Δt處曲線上兩點(diǎn)連線的斜率。

同理，t=kΔt處應(yīng)迭加一個高度為Δf（t）=f[kΔt]-f[（k-1）Δt]=f（kΔt）-f（kΔt-Δt）的階躍函數(shù)，即

將上述各階躍函數(shù)f0（t），f1（t），…，fk（t），…，fn（t）迭加起來為一階梯函數(shù)，可用它來近似表示f（t），即

這樣，利用式（1-73）就可將任意函數(shù)近似表示為階躍函數(shù)的加權(quán)和的形式了。其近似的程度完全取決于時間間隔Δt的大小。Δt越小，近似程度越高。

在Δt→0的極限情況下，誤差也趨于零，此時可將Δt寫為dτ，而kΔt將變?yōu)檫B續(xù)變量τ，代表階躍高度的函數(shù)增量Δf（t）將成為無窮小量df（τ），因而在式1-73中有

同時，對各項(xiàng)取和將變成取積分，此時的近似式也將變?yōu)榈仁剑?/p>

式（1-74）表明，在時域中可將任意函數(shù)表示為無限多個階躍函數(shù)相迭加的積分。該式中的τ為積分變量。

2.將任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)之和

任意函數(shù)除了可以表示為階躍函數(shù)之和外，還可以近似表示為沖激函數(shù)之和。

如圖1-42（a）所示，任意函數(shù)f（t）可以用一系列矩形脈沖相迭加的階梯形曲線來近似表示。將時間軸等分為小區(qū)間，將每個小區(qū)間Δt作為各矩形脈沖的寬度，而各脈沖的高度分別等于它左側(cè)邊界對應(yīng)的函數(shù)值。

前面已講，脈沖函數(shù)在一定條件下可以演變?yōu)闆_激函數(shù)。據(jù)此，可把這些脈沖函數(shù)分別用一些沖激函數(shù)表示出來，如圖1-42（b）所示，各沖激函數(shù)的位置是它所代表的脈沖左側(cè)邊界所在的時刻，各沖激函數(shù)的強(qiáng)度就是它所代表的脈沖的面積。因此，函數(shù)f（t）又可以用一系列沖激函數(shù)之和來近似地表示，即

沖激函數(shù)之和對f（t）近似的程度，取決于時間間隔Δt的大小。Δt越小，近似的程度越高。在Δt→0的情況下，可將Δt寫為dτ，則式（1-75）中不連續(xù)變量kΔt將變成連續(xù)變量τ，同時對各項(xiàng)的取和將變成取積分，且式（1-75）將變?yōu)榈仁剑从?/p>

也就是說，可以將任意函數(shù)表示為無限多個沖激函數(shù)相迭加的迭加積分。該式中的τ為積分變量。

3.用單位序列表示任意離散時間信號

任意一離散時間信號f（k）的波形如圖1-43所示。

它是由其序列值{…，f（-3），f（-2），f（-1），f（0），f（1），f（2），f（3），f（4），…}組成的。而f（k）的每一個序列值都可利用移位的單位序列與相應(yīng)的序列值之積來表示，如f（0）=f（0）δ（k），f（i）=f（i）δ（k-i）等。因而，如圖1-43所示的離散信號f（k）可以表示成

f（k）=…+f（-3）δ（k+3）+f（-2）δ（k+2）+f（-1）δ（k+1）+f（0）δ（k）+f（1）δ（k-1）+f（2）δ（k-2）+f（3）δ（k-3）+f（4）δ（k-4）…

即

式（1-77）表明，任一離散時間信號f（k）可表示為加權(quán)的延時的單位序列之和，其加權(quán)因子為f（i），即f（k）相應(yīng)的序列值。換言之，任意離散時間信號都可以分解為一系列不同加權(quán)、不同位置（時間移位）的單位采樣序列。