第1章 光的電磁理論

在光學發展的歷史進程中，曾經出現過兩種波動理論。一種是由惠更斯提出（1678年）、菲涅耳（A.J.Fresnel，1788—1827）等人發展了的機械波理論，它把光看做是機械振動在“以太”這種特殊介質中傳播的波。另一種是麥克斯韋在19世紀60年代提出的電磁理論，認為光是一種波長很短的電磁波。由于后人的實驗否定了“以太”這種特殊介質的存在，也由于電磁波理論在闡明光學現象方面非常成功，所以人們就自然地拋棄了機械波理論，而代之以電磁波理論。事實證明，建立在電磁理論基礎上的光學學說是光學發展進程中的一個重大飛躍。

光的電磁理論的提出是人們在電磁學方面已有了深入研究的結果。到19世紀中葉，安培（A. M.Ampere，1775—1836）、法拉第（M.Faraday，1791—1867）等人已經總結出電場和磁場的一些實驗規律，并且發現光學現象與電磁現象有著緊密聯系（比如光的振動面在磁場中的旋轉）。在此基礎上，1864年麥克斯韋把電磁規律總結為麥克斯韋方程組，建立了完整的經典電磁理論；同時指出光也是一種電磁波，從而產生了光的電磁理論。光的電磁理論的確立，推動了光學及整個物理學的發展。現代光學盡管產生了許多新的領域，并且許多光學現象需要用量子理論來解釋，但是光的電磁理論仍然是闡明大多數光學現象，以及掌握現代光學的一個重要的基礎。本章將簡要敘述光的電磁理論和它對一些光學現象所做的理論分析，使我們對光的電磁本性有更加深刻的認識。本章又是全書的理論基礎。

1.1 光的電磁波性質

1.麥克斯韋方程組

電磁場的普遍規律總結為麥克斯韋方程組，它是麥克斯韋把穩恒電磁場（靜電場和穩恒電流的磁場）的基本規律推廣到交變電磁場的普遍情況而得到的。麥克斯韋方程組通常寫成積分和微分兩種形式。從方程組出發，結合具體的條件，可以定量地研究在這些給定條件下發生的光學現象，例如光的輻射和傳播，光的反射、折射、干涉、衍射和光與物質相互作用的現象。

積分形式的麥克斯韋方程組為

式中，D、E、B和H分別為電感強度（電位移矢量）、電場強度、磁感強度和磁場強度，對dσ和dl的積分分別表示電磁場中任一閉合曲面和閉合回路上的積分，Q表示積分閉合曲面內包含的總電量，I表示積分閉合回路包圍的傳導電流。方程組第1式是熟知的高斯定理的數學表示；第2式表示磁場是無源場，不存在像電荷那樣的“磁荷”；第3式是法拉第電磁感應定律的數學表示式；第4式則表示在交變電磁場情況下，磁場既包括傳導電流產生的磁場，也包括位移電流產生的磁場。

在實際應用中，積分形式的麥克斯韋方程組不適用于求解電磁場中某一給定點的場量這類問題，通常使用的是方程組的微分形式。要求得方程組的微分形式，可應用積分學中的定理把各有關積分變換為相應的微分方程式。麥克斯韋方程組的微分形式為

式中，ρ為電荷體密度，j為傳導電流密度。

2.物質方程

在麥克斯韋方程組中，E和B是電磁場的基本物理量，它們代表介質中總的宏觀電磁場，而D和H只是引進的兩個輔助場量。E和D、B和H的關系與電磁場所在物質的性質有關。對于各向同性線性物質，它們有如下簡單關系：

式中，ε和μ是兩個標量，分別稱為介電常數（或電容率）和磁導率。在真空中，ε=ε0 =8.8542 × 10 -12 C2/N·m2（庫2/牛·米2），μ=μ0 =4π×10 -7 N· s2/C2（牛·秒2/庫2）。對于非磁性物質，μ≈μ0。

另外，在導電物質中還有關系（歐姆定律）：

式中，σ稱為電導率。式（1.3）、式（1.4）和式（1.5）稱做物質方程，它們描述物質在電磁場影響下的特性。在通過麥克斯韋方程組求解各個場量時，上述物質方程是必不可少的。

本書絕大部分內容涉及光波的電磁場在各向同性線性物質中的傳播，只是第7章涉及在各向異性物質中的傳播，這時D和E形式上還有式（1.3）那樣的關系，但ε是一個張量，表明在一般情況下D和E不再同方向。在第7章的最后一節中，還涉及到非線性物質，在這一情況下，D不僅與E的一次式有關，而且與E的二次式、三次式等都有關系。

3.電磁場的波動性

從麥克斯韋方程組可直接得出兩個結論：第一，任何隨時間變化的磁場在周圍空間產生電場，這種電場具有渦旋性質，電場的方向由左手定則決定；第二，任何隨時間變化的電場（位移電流）在周圍空間產生磁場，磁場是渦旋的，磁場的方向由右手定則決定。由此可見，電場和磁場緊密相聯，其中一個起變化時，隨即出現另一個，它們互相激發形成統一的場——電磁場。變化的電磁場可以以一定的速度向周圍空間傳播出去。設在空間某區域內電場有變化，那么在鄰近的區域就要引起隨時間變化的磁場，這變化的磁場又在較遠的區域引起新的變化電場，接著這新的變化電場又在更遠的區域引起新的變化磁場，變化的電場和磁場的交替產生，使電磁場傳播到很遠的區域。交變電磁場在空間以一定速度由近及遠的傳播即形成電磁波。

下面從麥克斯韋方程組出發，證明電磁場的傳播具有波動性。為簡單起見，討論在無限大的各向同性均勻介質中的情況，這時ε=常數，μ=常數，并且在遠離輻射源的區域，不存在自由電荷和傳導電流（ρ=0，j=0），因而麥克斯韋方程組（1.2）簡化為

取第3式的旋度，并將第4式代入，得到

根據場論公式[見附錄A的式（A-4）]

由于 Δ·E=0，所以

因此得到

同樣，在方程組（1.6）中消去電場，也可以得到磁場B的方程

若令

則E和B的方程化為

如式（1.8）和式（1.9）所示的偏微分方程稱為波動方程，它們的通解是各種形式以速度v傳播的波的疊加。E和B滿足波動方程，表明電場和磁場的傳播是以波動形式進行的，電磁波的傳播速度

4.電磁波

麥克斯韋理論關于電磁波的結論是由后人的實驗證實的。1889年，赫茲（H.Hertz，1857—1894）在實驗中得到了波長為60cm的電磁波，并且觀察了電磁波在金屬鏡面上的反射，在石蠟制成的棱鏡中的折射及干涉現象。赫茲的實驗不僅以無可置疑的事實證實了電磁波的存在，而且也證明了電磁波和光波的行為完全相同。

已經指出電磁波在介質中的傳播速度由式（1.7）給出，因此，電磁波在真空中的傳播速度

式中，ε0和μ0是真空中的介電常數和磁導率。

已知ε0 =8.8542 ×10 -12 C2/N·m2，μ0 =4π×10 -7 N·s2/C2，所以

這個數值與實驗中測定的真空中光速的數值非常接近（現在測定的真空中光速的最精確的數值為c=2.99792458 ×108 m/s）。在歷史上，麥克斯韋曾以此作為重要依據之一，預言光是一種電磁波[當時麥克斯韋利用韋伯（W.Weber，1804—1891）和科爾勞許（R.Kohlrausch，1809—1858）的實驗結果計算出電磁波在真空中的速度為3.1074 ×108 m/s，而1849年斐索（A.H.L.Fizeau，1819—1896）測量出的光速為3.14858 ×108 m/s]。

現在已經知道，除了光波和無線電波外，X射線、γ射線也都是電磁波，它們的波長比光波波長更短，但它們在本質上與光波和無線電波完全相同。如果我們按照波長或頻率把這些電磁波排列成譜，則有如圖1.1所示的電磁波譜圖。通常所說的光學區或光學頻譜，包括紫外線、可見光和紅外線，波長范圍約從1nm（1nm=10 -7 cm）到1mm。可見光是人眼可以感覺到各種顏色的光波，在真空中的波長范圍約從390nm到780nm（頻率范圍從7.69 ×1014 Hz到3.84 ×1014 Hz）。在電磁波譜圖上，這是一個很窄的譜帶。

電磁波在真空中的速度與在介質中的速度之比稱為絕對折射率n（通常簡稱折射率），即

由式（1.7）和式（1.10），有

式中，εr和μr分別是相對介電常數和相對磁導率。由于除了磁性物質之外，大多數物質的μr≈1，因而得到

上式稱為麥克斯韋關系式。表1.1列出了一些物質的的數值（對低頻電場測出）和對于鈉光（波長λ=589.3nm）的折射率n。可見，對于一些化學結構簡單的氣體，兩者符合得很好。但是，對于許多液體和固體，兩者相差較大。這是因為的數值（因而折射率n）實際上與頻率有關（色散效應，參見1.9節），并且液體和固體的折射率一般隨頻率的變化較大，所以對于液體和固體，對高頻的光波測出的折射率與在低頻下測出的的數值自然相差較大。