2.2 拓?fù)浼y理圖像的去噪方法

拓?fù)浼y理圖像在獲取過(guò)程中包含了很多噪聲，噪聲不僅惡化了圖像的質(zhì)量，使圖像模糊，而且淹沒了紋線特征。現(xiàn)有去噪模型在進(jìn)行噪聲去除的同時(shí)，特征曲線演化后的形狀漸凸，導(dǎo)致形狀失真。同時(shí)，現(xiàn)有去噪模型的拓?fù)渥赃m應(yīng)能力較差，無(wú)法有效表示特征曲線的分裂和合并等情況。由于拓?fù)浼y理圖像中包含很多拓?fù)湫螤顝?fù)雜的曲線邊緣，因此為了在噪聲去除的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線邊緣的保留，必須采用具有保細(xì)節(jié)功能的去噪方法。

2.2.1 拓?fù)浼y理去噪的基本思路

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)保邊去噪算法的研究比較活躍。Ceccarelli、袁澤劍和耿茵茵采用非線性異質(zhì)擴(kuò)散方程模型，將僅具有同質(zhì)擴(kuò)散特性的高斯光滑核替換為具有保邊性能的定向擴(kuò)散，使得擴(kuò)散模型能夠在消除噪聲的同時(shí)保留邊緣。楊朝霞采用變正則參數(shù)方法，通過(guò)選取變動(dòng)的正則參數(shù)，構(gòu)造出具有變正則參數(shù)的變分模型，使得含噪圖像在去噪的同時(shí)，具有保邊緣的自適應(yīng)能力。朱菊華提出一種基于紋理分析的保細(xì)節(jié)平滑濾波器，通過(guò)自適應(yīng)的模板選擇來(lái)進(jìn)行平滑濾波，從而兼顧了降噪和保邊功能。

此外，曲線演化去噪模型也是近年來(lái)提出的一種有效的保形去噪方法。Evans和Barles提出的平均曲率運(yùn)動(dòng)（Mean Curvature Motion，MCM）是一種有效的曲線演化模型，當(dāng)曲線以平均曲率的速度沿法線方向收縮時(shí)，由于高曲率曲線（如噪聲）比低曲率曲線（如紋線）收縮的速度更快，因此該模型非常適用于噪聲去除和曲線平滑。但該模型在用于圖像演化去噪時(shí)主要存在兩個(gè)問(wèn)題：一是在噪聲去除的同時(shí)特征曲線演化后的形狀都漸凸，導(dǎo)致形狀失真；二是曲線演化時(shí)的拓?fù)渥赃m應(yīng)能力較差，無(wú)法有效表示特征曲線的分裂和合并等情況。

針對(duì)MCM模型的形狀失真問(wèn)題，Gage和Dolcetta利用曲線所圍區(qū)域的變化可以有效反映曲線形狀失真的這一客觀事實(shí)，提出一種?！懊娣e”的平均曲率運(yùn)動(dòng)模型。通過(guò)對(duì)曲線演化時(shí)所圍面積的約束，使曲線在演化時(shí)的面積得到保留，從而克服了特征曲線在MCM模型中形狀失真的缺點(diǎn)。此外，針對(duì)MCM模型的拓?fù)渥赃m應(yīng)能力弱的缺陷，Evans和Malladi采用水平集方法進(jìn)行圖像去噪，通過(guò)對(duì)隱式水平集函數(shù)的演化，使封閉移動(dòng)界面有效適應(yīng)幾何拓?fù)涞淖兓?，從而克服了曲線演化時(shí)拓?fù)渥赃m應(yīng)能力較差的缺點(diǎn)。

但是，文獻(xiàn)[28，29]和文獻(xiàn)[30，31]各自只針對(duì)了MCM模型一個(gè)方面的缺陷，而沒有考慮該模型另一方面的缺陷，這主要表現(xiàn)在：文獻(xiàn)[28，29]雖然克服了特征曲線在MCM模型中形狀失真的缺點(diǎn)，但是由于該模型中的面積保留MCM模型是曲線演化的顯式形式，因此模型的拓?fù)渥赃m應(yīng)能力沒有得到有效改善；文獻(xiàn)[30，31]雖然提高了曲線演化時(shí)的拓?fù)渥赃m應(yīng)能力，但是特征曲線形狀失真現(xiàn)象沒有得到有效抑制，此外由于算法直接對(duì)水平集方程進(jìn)行有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算，因此計(jì)算開銷比較大。

2.2.2 Allen-Cahn非線性拋物方程

近幾十年以來(lái)，隨著各門學(xué)科的進(jìn)步，人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到非線性拋物型偏微分方程的理論對(duì)實(shí)際應(yīng)用起著重要的指導(dǎo)作用。通過(guò)對(duì)非線性拋物型方程的研究，我們?cè)诶碚撋峡梢愿玫胤治龈黝愇锢?、化學(xué)、生物模型的變化形勢(shì)。

非線性拋物方程是一類重要的偏微分方程，來(lái)源于自然界中廣泛存在的非線性現(xiàn)象。它的模型來(lái)源于自然界廣泛存在的擴(kuò)散現(xiàn)象、滲流理論、相變理論、生物化學(xué)以及生物群體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域。在圖像處理的應(yīng)用領(lǐng)域中，特別是相變理論中的Allen-Cahn方程、流體力學(xué)中的Cahn-Hilliard方程等，這些方程不僅有明確的物理背景，而且還有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

1979年Cahn和他的學(xué)生Allen提出了晶體材料在反相位邊界上的運(yùn)動(dòng)，利用Allen-Cahn模型作為描述二元合金在一定溫度下相位分離過(guò)程的簡(jiǎn)單模型。為了描述合金中的兩相流運(yùn)動(dòng)，在文獻(xiàn)[32]中引入了如下的一類二階拋物方程的初邊值問(wèn)題：，初始和邊界條件為：，其中Ω?Rn，其邊界?Ω光滑，n是區(qū)域Ω邊界的外法向，t＜0，參數(shù)ξ可用來(lái)表示兩相流相變邊界的寬度，w（u）為一個(gè)雙位井位勢(shì)函數(shù)，如w（u）=（u2-1）2，此時(shí)，u=±1為其平衡態(tài)。標(biāo)量函數(shù)u表示兩種材料混合物質(zhì)的物理狀態(tài)，即合金的濃度，在u=±1時(shí)，表示兩種純凈沒有摻雜質(zhì)的物理狀態(tài)。邊界條件說(shuō)明在邊界上沒有質(zhì)量損失。

Allen-Cahn模型可以描述兩相流體的連續(xù)變化，有個(gè)寬度為ξ的界面層也可以被刻畫出來(lái)，這和用間斷的方法來(lái)描述界面是完全不同的。Allen-Cahn模型的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)就是不必確定界面的位置形狀，只需要求解出變量函數(shù)u。

目前，對(duì)Allen-Cahn方程已有許多相關(guān)的研究，如對(duì)ξ→0時(shí)的漸近分析最早由Allen、Cahn以及Rubinstein等提出。對(duì)此漸近分析的嚴(yán)格論證是由Bronsard、Ilmanen等給出的。Allen-Cahn方程被廣泛應(yīng)用于一系列問(wèn)題中，如相變、圖像分析、平均曲率流的運(yùn)動(dòng)、晶體生長(zhǎng)等。

本章結(jié)合了文獻(xiàn)[28，29]面積保留平均曲率運(yùn)動(dòng)模型和文獻(xiàn)[30，31]水平集去噪模型的各自優(yōu)勢(shì)，提出一種基于Allen-Cahn方程的面積保留水平集演化去噪算法（Area-Preserving Nonlocal Allen-Cahn Method，APNACM），該算法不僅提高了模型對(duì)復(fù)雜紋線拓?fù)湫巫兊淖赃m應(yīng)能力，而且有效地避免了特征紋線形狀的失真。為避免直接對(duì)水平集方程進(jìn)行有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算，本章采用改進(jìn)的快速行進(jìn)（Fast Marching Method，F(xiàn)MM）算法。Sethian提出的經(jīng)典FMM算法雖然能加快水平集方程的求解速度，降低算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，但是它要求移動(dòng)界面的行進(jìn)方向保持不變，因此不適合于Allen-Cahn方程這類行進(jìn)方向可變的速度函數(shù)的計(jì)算。本章采用改進(jìn)FMM算法，在保留經(jīng)典FMM算法快速運(yùn)行的前提下，提高它對(duì)可變行進(jìn)方向的自適應(yīng)能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用本章算法不僅能降低拓?fù)浼y理圖像噪聲水平，而且能有效地避免紋線的形變失真。