B部分 傳感器的基本特性

傳感器的基本特性是指它的輸出與輸入關系。由于傳感器的輸出與輸入通常是可供觀測的量，因此傳感器的基本特性就是傳感器的外部特性。

根據傳感器的輸入量隨時間變化的情況，將傳感器的基本特性分為靜態特性和動態特性。靜態特性指傳感器的輸入量不隨時間變化或變化緩慢時的輸出與輸入關系。動態特性則是指當輸入量隨時間變化的情況下傳感器的輸出與輸入關系。由于不同傳感器有不同的內部結構參數，因此它們的靜態特性和動態特性也表現出不同的特點，對測量結果的影響也各不相同。一個高精度傳感器必須有良好的靜態和動態特性，這樣它才能完成信號的無失真轉換。

1.5 傳感器的靜態特性

傳感器的靜態特性也可指當輸入恒定或緩變地被測量時，傳感器的輸出量與輸入量之間所具有的關系。因為這時輸入量和輸出量都和時間無關，所以它們之間的關系即傳感器的靜態特性可用一個不含時間變量的代數方程來描述，或以輸入量作為橫坐標，把與其對應的輸出量作為縱坐標而畫出的特性曲線來描述，如圖1.8所示。表征傳感器靜態特性的主要參數有線性度、靈敏度、分辨力和遲滯等。

1.5.1 傳感器的靜態模型

傳感器的靜態模型就是對傳感器靜態特性的數學描述方程式。一般情況下，在不考慮傳感器特性中的遲滯、蠕變等因素時，傳感器的靜態特性可用多項式代數方程來表示：

y＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn （1-1）

式中，y為傳感器輸出量；x為傳感器輸入量；a0為零位輸出；a1為傳感器的線性靈敏度，常用K或S表示；a2，a3，…，an為非線性項的待定常數。

實際應用的大多數傳感器，其靜態特性方程的次數一般不超過五次。比較常見的方程形式如下：

（1）理想線性特性。當a0＝a2＝a3＝…＝an＝0時，得到

y＝a1x （1-2）

傳感器的輸出與輸入為線性關系，即理想線性如圖1.8（a）所示。

（2）僅有一次項和偶次方非線性項。如圖1.8（b）所示。其特性曲線方程為

y＝a1x+a2x2+a4x4+… （1-3）

這種特性曲線沒有對稱性，只在零點附近有較小線性范圍，一般情況下傳感器設計中不采用這種特性。

（3）僅有奇次方非線性項。如圖1.8（c）所示。其曲線方程為

y＝a1x+a3x3+a5x5… （1-4）

特性曲線對原點對稱，在原點附近較寬的輸入范圍內有線性特征，即接近理想線性。不少差動式傳感器具有這種特性。

從不失真測量和減小誤差的角度考慮，傳感器理想的輸出與輸入關系最好是式（12）描述的線性關系，因為該線性關系具有如下優點：

（1）沒有非線性誤差，無須在信號變換和處理中采用非線性補償模塊。

（2）極大地簡化傳感器的設計分析工作。

（3）極大地方便了測量數據的處理和傳感器的標定。因為，只要知道輸出與輸入特性直線上的兩個點（一般為零點和滿量程點），就可確定其余各點。

（4）儀表刻度盤可均勻刻度，制作、安裝、調試方便，精度高。

實際傳感器的輸出與輸入關系往往是如圖1.8（b）、（c）、（d）所示的非線性關系，這就必須在傳感器或其后續電路中進行非線性化補償。在配有計算機的傳感器應用系統中，也可采用軟件方式進行非線性補償。

1.5.2 傳感器的靜態特性指標

描述傳感器的靜態特性的重要指標有線性度、遲滯、重復性、靈敏度、分辨力和漂移等。

1.線性度（Linearity）

實際應用的傳感器的輸出與輸入關系多為非線性曲線。但是為了應用上的方便，希望得到線性關系的特性曲線。這時，在總體誤差允許的條件下，可以用直線來近似地代表實際曲線。這種方法稱為傳感器非線性特性的“線性化”，所采用的直線稱為擬合直線。在采用直線擬合時，實際輸出與輸入的特性曲線與擬合直線之間的最大偏差，就稱為線性度或非線性誤差。通常用相對誤差來表示：

式中，eL為線性度（非線性誤差），Δmax為輸出平均值與擬合直線間的最大偏差；yFS為理論滿量程輸出值。

非線性誤差的大小與擬合直線有很大關系，擬合直線不同，非線性誤差也不同。所以，選擇擬合直線的主要出發點，應是獲得最小的非線性誤差，即要找到與傳感器實際特性曲線最貼近的擬合直線。當然，還應考慮直線擬合計算是否便捷。

常用的擬合方法有理論直線擬合、端點連線擬合、端點連線平移擬合及最小二乘法擬合等，如圖1.9所示。而最小二乘法擬合的擬合精度最高、計算量最大。

最小二乘法擬合按最小二乘原理求取擬合直線，該直線能保證與傳感器校準數據的殘差平方和最小。設用最小二乘法擬合直線的方程為

y＝b+kx （1-6）

式中，b和k分別為擬合直線的截距和斜率。式中的系數b和k可根據傳感器實驗校準數據計算求得。

若實際校準測試點有n個，則第i個校準數據與擬合直線上相應值之間的殘差為

Δi＝yi-（b+kxi） （1-7）

最小二乘法的原理就是應使殘差平方和最小，即最小：

對式（1-8）求k和b的一階偏導數并令其等于零，即可求得k和b：

將求得的k和b值代入式（16）即可得到擬合直線，然后按（17）式求出殘差的最大值Δmax，即可算出非線性誤差。

2.遲滯（Hysteresis）

傳感器在正向（輸入量增大）反向（輸出量減小）行程中輸出輸入曲線不重合的程度稱為遲滯特性，如圖1.10所示。遲滯現象說明對應于同一大小的輸入信號，傳感器的輸出信號大小不相等，沒有唯一性。造成遲滯現象的原因是傳感器的機械部分和結構材料方面存在的不可避免的弱點，如軸承摩擦、間隙、緊固件的松動等。

遲滯誤差的大小可用式（1-13）表示，即

式中，ΔHmax為正、反向行程間輸出的最大絕對誤差值，yFS為理論滿量程輸出值。

3.重復性（Repeatability）

重復性表示傳感器在相同的工作條件下，輸入量按同一方向作全量程連續多次測試時，輸出輸入特性曲線的不一致程度（見圖1.11）。重復性好的傳感器，誤差也小。重復性誤差的產生與遲滯現象有相同的原因。

重復性指標在數值上用各測量點上正、反行程校準數據平均標準差σ-的三倍與滿量程輸出yFS的百分數表示：

平均標準差的計算方法有兩種：極差法和標準法。一般在測量次數較少（R＝4～9）時，采用極差法為宜，現介紹如下。

極差是指某一測量點校準數據的最大值與最小值之差，計算時，先求出各校準點正、反行程校準數據的極差。按式（1-15）計算出總的平均極差：

式中，Wci為第i個測量點正行程測量數據的極差；Wfi為第i個測量點反行程測量數據的極差。

按式（1-16）計算出傳感器重復性的平均標準差：

式中，dR為與測量循環次數R有關的極差系數，見表1-3。

表1-3 極差系數

4.靈敏度（Sensitivity）

傳感器輸出的變化量Δy與引起該變化量的輸入的變化量Δx之比即為其靜態靈敏度。靈敏度表達式：

對于線性傳感器，其靈敏度為常數，就是傳感器特性曲線的斜率。對于非線性傳感器，靈敏度是變量，其表達式為

K＝dy/dx

一般要求傳感器的靈敏度較高并在滿量程內為常數時最好，這就要求傳感器的輸入輸出特性為直線（線性）。

5.分辨力（Resolution）和閾值（Threshold）

分辨力是指傳感器能檢測到的最小的輸入增量。當用最小輸入量增量絕對值表示時，稱為分辨力；當用最小輸入增量與滿量程的百分數表示時，稱為分辨率。

閾值是指當傳感器的輸入從零開始逐漸增加，只有在達到了某一最小值后，才測得出輸出的變化，這個最小值就稱為傳感器的閾值。事實上閾值是傳感器在零點附近的分辨力。

6.漂移（Drift）

漂移指在一定時間間隔內，傳感器輸出量存在著與被測輸入量無關的、不需要的變化。漂移包括零點漂移與靈敏度漂移。

零點漂移或靈敏度漂移又可分為時間漂移（時漂）和溫度漂移（溫漂）。時漂是指在規定條件下，零點或靈敏度隨時間的緩慢變化；溫漂指因周圍溫度變化引起的零點或靈敏度漂移。

1.6 傳感器的動態特性

傳感器在測量隨時間變化的輸入量時其輸出輸入關系稱為動態特性。當輸入量隨時間變化時，如果傳感器能立即不失真地產生響應，即傳感器的輸出量隨時間變化的規律與輸入量隨時間變化的規律一致，具有與輸入量相同的時間函數，這種傳感器就是具有理想動態特性的傳感器。但實際應用的傳感器一般都不具備這種特性，因為在傳感器中往往都存在彈性元件（如彈簧、有彈性的材料）、慣性元件（如質量塊）或阻尼元件（如電磁阻尼、油阻尼），由此造成傳感器的輸出量y（t）不僅與輸入量x（t）有關，還與輸入量的變化速度dx/dt、加速度d2x/dt2等有關。這是造成傳感器動態特性與靜態特性不同的根本原因。

下面以圖1.12所示的玻璃柱式水銀溫度計為例來說明動態測試時，溫度計實際輸入與輸出的關系。將溫度計置于0℃的恒溫水槽中一定時間，那么溫度計反映出來的溫度應為0℃（不考慮其他因素造成的誤差）。現在將溫度計快速地置于30℃的恒溫水槽中，觀測水銀柱的變化可知，水銀柱不是立即達到輸入信號的量值，而是經過t0時間逐步地達到輸入信號的量值。水銀溫度計測溫過程曲線如圖1.13所示。

從測溫過程曲線看，在0～t0的時間段，溫度計的輸出To（t）與被測值30°C存在測量誤差，稱為動態誤差。產生動態誤差的原因是液體介質有一定的熱容量，產生熱慣性。當水的熱量傳到溫度計的液體介質中時，液體介質與水溫的平衡有一個過程，這個過程稱為動態響應過程，所用的時間就是t0。由于熱容量是溫度計固有的，所以用水銀溫度計測量快速變化的溫度時，必定產生動態誤差。因此，在使用水銀溫度計時，不能立即讀取溫度計的顯示值，必須經過一定的時間段，才能讀取顯示值。

從水銀溫度計的例子可以看出，溫度計的材料、結構等內因是造成動態誤差的根本原因。任何傳感器都會存在這種固有的內因，只不過它們的表現形式和作用程度不同而已。

【特別提示】

1.6.1 傳感器的動態數學模型

1.微分方程

在實際工作中要想精確地建立傳感器的數學模型是很難的。目前僅能對線性系統作比較完善的數學處理，而且在動態測試中非線性的校正還很難。實際應用中，傳感器可以在一定的精度條件下和工作范圍內保持線性特性，因而可以作為線性系統來處理。線性系統的數學模型為常系數線性微分方程：

式中，常系數an，an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均為傳感器參數。對傳感器而言，除b0≠0，一般b1＝b2＝…＝bm＝0。

【特別提示】

求解微分方程（1-18），可以得到通解（暫態響應）與特解（穩態響應）。其通解僅與傳感器本身的特性及初始條件有關，而特解則與傳感器的特性及輸入量都有關。

2.傳遞函數

由于求解高階微分方程很困難，因此，常采用拉普拉斯（簡稱拉氏）變換的方法，將時域的數學模型（微分方程）轉換為復數域的數學模型（傳遞函數），將微分方程轉變為代數方程。

當線性系統的初始條件為零，即在考察時刻以前，其輸入量、輸出量及其各階導數均為零，且測試系統的輸入x（t）和輸出y（t）在t＞0時均滿足狄利赫利條件，則定義輸出y（t）的拉普拉斯變換Y（s）與輸入x（t）的拉普拉斯變換X（s）之比為系統的傳遞函數，并記為H（s）。即

式中，s稱為拉普拉斯算子，是復變數，即s＝a+jb，且a≥0。可以通過拉普拉斯變換的性質推導出線性系統的傳遞函數表達式。

根據拉普拉斯變換的微分性質：

在初始值為零的條件下對式（1-18）進行拉普拉斯變換，可得

（an·sn+an-1·sn-1+…+a1·s+a0）Y（s）＝（bm·sm+bm-1·sm-1+…+b1·s+b0）X（s） （1-21）

所以

式（1-22）中，an，an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0是由測試系統的物理參數決定的常系數。從式（1-22）可知，傳遞函數以代數式的形式表征了系統對輸入信號的傳輸、轉換特性，它包含了瞬態和穩態時間響應的全部信息。而式（1-18）則是以微分方程的形式表征傳感器系統對輸入信號的傳輸、轉換特性。因此，傳遞函數與微分方程兩者表達的信息是一致的，只是表達的數學形式不同，研究問題的角度不同。在運算上，傳遞函數比解微分方程更簡便。

當描述傳感器特性的微分方程的階數n＝0時，該傳感器稱為零階傳感器；同理，n＝1時，稱為一階傳感器；n＝2時，稱為二階傳感器；n為更大數值時，稱為高階傳感器。

式（1-22）還表明，引入傳遞函數的概念后，在X（s）、Y（s）和H（s）三者之中，只要知道任意兩個值，就可以方便地求出第三個值。

3.頻率響應函數

研究動態特性的頻率響應法是采用諧波輸入信號來分析傳感器的頻率響應特性，即從頻域角度研究傳感器的動態特性。

將頻率為ω的諧波信號x（t）＝X0·ejωt輸入式（1-18）所描述的傳感器線性系統，在穩定狀態下，根據線性系統的頻率保持特性，該傳感器的輸出響應仍然會是一個頻率為ω的諧波信號，只是其幅值和相位與輸入量有所不同，故其輸出量可寫成：

y（t）＝Y0·ej（ωt+φ）

式中，Y0和φ為傳感器輸出量的幅值與初相位。

輸入量和輸出量及其各階導數分列如下：

將以上各階導數的表達式代入式（121）得

［an·（jω）n+an-1·（jω）n-1+…+a1·（jω）+a0］·Y0·ej（ωt+φ）＝［bm·（jω）m+bm-1·（jω）m-1+…+b1·（jω）+b0］·X0·ejωt

于是有

令

式（1-24）表明，傳感器的動態響應從時域變換到頻域，表示輸出信號與輸入信號之間的關系隨頻率而變化的特性，故稱為傳感器的頻率響應特性，簡稱頻率特性或頻響特性。

【特別提示】

對于穩定的常系數線性系統，其頻率響應函數就是當式（1-22）中的拉氏算子s的實部

為零時的式子，即取a＝0，b＝ω，則s＝jω，則傳遞函數式變換為頻響函數：

式（1-23）的左邊與式（125）的右邊是完全一樣的。這說明式（125）也是傳感器的頻率響應函數。H（jω）是復函數，它可用復指數形式來表達，也可以寫成實部和虛部之和，即

H（jω）＝A（ω）ejφ（ω）＝Re（ω）+jIm（ω） （1-26）

式中，Re（ω）為H（jω）的實部，Im（ω）為H（jω）的虛部，都是頻率ω的實函數。

A（ω）是頻率響應函數H（jω）的模，即

頻率響應函數H（jω）的模A（ω）表達了傳感器的輸出量、輸入量的幅值比隨頻率變化的關系，稱為幅頻特性，A（ω）與ω的關系圖形則稱為幅頻特性曲線。

φ（ω）是頻率響應H（jω）的幅角，即

式（1-28）表達了傳感器的輸出量對輸入量的相位差隨頻率的變化關系，稱為相頻特性，φ（ω）與ω的關系圖形則稱為相頻特性曲線。

式（1-25）表明，常系數線性系統的頻率響應函數H（jω）僅僅是頻率的函數，與時間、輸入量無關；如果系統為非線性，則H（jω）與輸入量有關；如果系統為非常系數的，則H（jω）與時間有關。

1.6.2 傳感器實現動態測試不失真的頻率響應特性

測試的目的就是要求在測試過程中采取各種技術手段，使測試系統的輸出信號能夠真實、準確地反映被測對象的信息，這種測試稱為不失真測試。

一個傳感器系統在什么條件下才能保證測量的準確性？圖1.14為傳感器裝置不失真測試的條件，圖中的輸入量x（t）和傳感器的輸出量y（t）可能出現以下三種情況：

（1）理想的情況。輸出波形與輸入波形完全一致，僅僅幅值按比例常數A0進行放大，即輸出量與輸入量之間滿足下列關系式：

y（t）＝A0x（t） （1-29）

（2）輸出波形與輸入波形相似的情況。輸出量不但按比例常數A0對輸入量進行了放大，而且還相對于輸入量滯后了時間t0，即滿足下列關系式：

y（t）＝A0·x（t-t0） （1-30）

（3）失真情況。輸出量與輸入量完全不一樣，產生了波形畸變。

以上三種情況是從傳感器輸出信號來判斷測量是否失真。對傳感器系統而言，應具有怎樣的動態特性才不會產生失真的測量？很顯然，傳感器在進行動態測試時，理想的狀態就是滿足第一種情況或滿足第二種情況。由此，可求得測試系統的幅頻特性和相頻特性在滿足不失真測試要求時應具有的條件。分別對式（1-34）和式（1-35）進行傅里葉變換，得

Y（jω）＝A0·X（jω）

Y（jω）＝A0·e-jt0ω·X（jω）

要滿足第一種不失真測試情況，傳感器的頻率響應為

而要滿足第二種不失真測試情況，傳感器的頻率響應為

即傳感器要實現動態測試不失真時的幅頻特性和相頻特性應滿足下列要求：

或

φ（ω）＝-t0ω（t0為常數） （1-35）

式（1-33）表明，傳感器實現動態不失真測試的幅頻特性曲線應當是一條平行于ω軸的直線。式（1-34）和式（1-35）則分別表明，傳感器實現動態不失真測試的相頻特性曲線應是與水平坐標重合的直線（理想條件）或是一條通過坐標原點的斜直線，如圖1.15所示。

應當指出，上述動態測試不失真的條件，是針對系統的輸入為多頻率成分構成的復雜信號而言的。對于單一成分的正弦信號的測量，盡管系統由于其幅頻特性曲線不是水平直線或相頻特性曲線與ω不呈線性，致使不同頻率的正弦信號作為輸入量時，其輸出量的幅值誤差和相位差會有所不同。但只要知道了系統的幅頻特性和相頻特性，就可以求得輸入某個具體頻率的正弦信號時系統輸出量與輸入量的幅值比和相位差，因而仍可以精確地獲得輸入信號的波形。所以，對于簡單周期信號的測量，從理論上講，對上述動態測試不失真的條件可以不作嚴格要求。但應當注意的是，盡管系統的輸入量在理論上也許只有簡單周期信號，而實際上仍然可能有不可預見的隨機干擾信號存在，這些干擾信號仍然會引起響應失真。因此一般來說，為了實現動態測試不失真，都要求系統滿足A（ω）＝A0和φ（ω）＝0或φ（ω）＝-t0ω的條件。

1.6.3 典型傳感器系統的動態特性分析

常見的傳感器都是典型的線性零階系統、一階系統或二階系統。

1.零階系統的動態特性分析

令傳感器的一般微分方程式［見式（1-18）］中的各階微分項為零，得到零階系統的數學模型：

其傳遞函數為

式中，K為傳感器的靜態靈敏度。

【例1-1】求出圖1.16所示的電位器式傳感器的數學模型。L為可變電阻的總長度，x為實際測量位置處可變電阻的長度。

解：根據基爾霍夫定律可得

式（1-38）表明，零階傳感器的輸入量x（t）無論隨時間如何變化，輸出量幅值總是與輸入量成確定的比例關系，也不產生時間上的滯后。這表明電位器式傳感器是零階傳感器。零階傳感器的輸出量時間函數與輸入量時間函數相同，不產生動態誤差。

2.一階系統的動態特性分析

液體溫度傳感器、某些氣體傳感器等都是典型的一階傳感器。令式（1-18）中的一階微分項以上的各階微分項為零，就得到一階系統的微分方程：

或

式中，τ＝a1/a0為時間常數；K＝b0/a0為靜態靈敏度。在線性系統中，K為常數，由于K值的大小僅表示輸出量與輸入量之間（輸入量為靜態量時）放大的比例關系，并不影響對系統動態特性的研究。因此，為方便討論問題，可以令K＝1。這種處理方式稱為靈敏度歸一化處理。靈敏度歸一化處理后，式（1-40）變為

（τs+1）y＝x （1-41）

其傳遞函數為

得到了一階系統的微分方程和傳遞函數，就可以研究其頻率響應特性和階躍響應特性。

1）一階系統的頻率響應特性分析

令s＝jω，代入式（1-42），得到一階系統的頻率響應函數：

幅頻特性和相頻特性分別為

式中，ω為傳感器的輸入信號頻率，幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖1.17所示。

把一階系統的幅頻特性曲線與動態測試不失真的條件相對照，顯然在較大的頻率范圍內，它不滿足A（ω）為水平直線的要求。對于實際的傳感器系統，要完全滿足理論上的動態測試不失真條件幾乎是不可能的，只能要求在接近不失真的測試條件的某一頻段范圍內，幅值誤差不超過某一限度。一般在沒有特別指明精度要求的情況下，傳感器只要是在幅值誤差不超過5%（即在系統靈敏度歸一處理后，A（ω）值不大于1.05或不小于0.95）的頻段范圍內工作，就認為可以滿足動態測試要求。對于一階系統，當ω＝1/τ時，A（ω）值為0.707（-3dB），相位滯后45°，通常把ω＝1/τ稱為一階系統的轉折頻率。只有當傳感器輸入信號頻率ω遠小于1/τ時幅頻特性才接近于1［如圖1.17（a）所示的陰影區］，才可以不同程度地滿足動態測試不失真的要求。在幅值誤差一定的情況下，τ越小，則傳感器的工作頻率范圍越大。或者說，在被測信號的最高頻率成分ω一定的情況下，τ越小，則傳感器輸出信號的幅值誤差越小。

從一階系統的相頻特性曲線來看，同樣也只有在ω遠小于1/τ時，相頻特性曲線接近于一條過零點的斜直線，可以不同程度地滿足動態測試不失真條件。而且也同樣是τ越小，傳感器的工作頻率范圍越大。

綜合上述分析，可以得出結論：反映一階系統的動態性能的指標參數是時間常數τ，原則上是τ越小越好。

【例1-2】求出圖1.12所示的玻璃柱式水銀溫度計的數學模型。

解：以Ti（t）表示溫度計的輸入信號即被測溫度，To（t）表示溫度計的輸出信號即示值溫度，

根據熱力學原理和能量守恒定律，可得到熱平衡方程：

即

式中，R為傳導介質的熱阻，C為溫度計的熱容量。式（1-47）表明，液體溫度計是一階傳感系統，與感溫材料、溫度計結構等有關的參數R、C決定了它的動態響應性能。

【例1-3】用一個時間常數τ＝5×10-4s的一階傳感器測量正弦信號。問：

（1）如果要求限制振幅誤差在5%以內，則被測正弦信號的頻率為多少？此時的振幅誤差和相角差各是多少？

（2）若用具有該時間常數的同一系統作50Hz信號的測試，此時的振幅誤差和相角差各是多少？

分析：傳感器對某一信號測量后的幅值誤差應為

其相角差即相位移為φ，對一階系統，若設K＝1，則其幅頻特性和相頻特性分別為

解：（1）因為δ＝1-A（ω），當｜δ｜≤5%＝0.05時，即要求1-A（ω）≤0.05，所以

化簡得：

所以

即被測正弦信號的頻率不能大于104Hz。此時產生的幅值誤差和相位誤差分別如下：

φ＝arctan（-ωτ）＝arctan（-2πfτ）＝arctan（-2π×104×5×10-4）＝-18.9°

（2）當作50Hz信號測試時，有

φ＝arctan（-ωτ）＝arctan（-2πfτ）＝arctan（-2π×50×5×10-4）＝-8.92°

討論：從上面對于一階傳感器的正弦響應的計算結果可以看出，要使一階系統測量誤差小，則應使ωτ盡可能小。若要滿足不失真測試要求，則必須ωτ?1。此結論與前述的一階傳感器的頻率響應特性的分析結果是一致的。

2）一階系統的單位階躍響應

當給靜止的傳感器輸入一個單位階躍信號（信號幅值為1），傳感器的輸出就是單位階躍響應。對傳感器的突然加載或卸載就屬于階躍輸入。這種輸入方法易于獲取，又能充分揭示傳感器的動態特性，故在傳感器的動態特性研究中常常被采用。

設單位階躍信號為

單位階躍信號u（t）的拉氏變換為

代入式（1-42）得

求拉氏反變換可得Y（s）的時間函數yu（t），yu（t）稱為單位階躍響應函數。

【特別提示】

一階系統單位階躍響應曲線見圖1.18。一階系統單位階躍響應所產生的動態誤差為

根據式（1-53）可算出，當t＝3τ時，γ＝0.05；t＝5τ時，γ＝0.007。可見，一階傳感器輸入階躍信號后，在t＞5τ之后采樣，可認為輸出已接近穩態值，其動態誤差可以忽略。

可見，評判一階系統階躍響應的動態指標仍是時間常數τ，即傳感器輸出值上升到穩態值yw的63.2%時所需的時間。τ小，表示階躍響應迅速，頻率響應的上截止頻率高。τ的大小表示慣性的大小，故一階系統又稱為慣性系統。

3.二階系統的動態特性分析

振動傳感器、壓電感器等都是典型的二階傳感器。令式（1-18）中的二階微分項以上的各階微分項為零時，得到二階系統的微分方程：

靈敏度歸一化處理后，式（1-54）可寫成

令此為系統固有頻率；，此為系統的阻尼比。可得

則式（1-55）可改寫為

作拉普拉斯變換得

可得二階系統的傳遞函數：

1）二階系統的頻率響應函數及特性分析令s＝jω，代入式（1-56）并整理得二階系統的頻率響應函數：

幅頻特性函數和相頻特性函數分別為

二階系統的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖1.19所示。

【特別提示】

從二階系統的幅頻和相頻曲線來看，影響系統特性的主要參數是頻率比ω/ωn和阻尼比ξ。只有在ω/ωn＜1并靠近坐標原點的一段，A（ω）比較接近水平ω直線，φ（ω）也近似與ω呈線性關系，可作動態不失真測試。若測試系統的固有頻率ωn較高，相應地A（ω）的水平直線段也較長一些，系統的工作頻率范圍便大一些。另外，當系統的阻尼比ξ在0.7左右時，A（ω）的水平直線段也會相應地長一些，φ（ω）與ω之間也在較寬頻率范圍內更接近線性。當ξ＝0.6～0.8時，可獲得較合適的綜合特性。計算表明，當ξ＝0.7時，在ω/ωn＝0～0.58的范圍內，A（ω）的變化不超過5%，同時φ（ω）也接近于過坐標原點的斜直線。可見，二階系統的主要動態性能指標參數是系統的固有頻率ωn和阻尼比ξ兩個參數。

2）二階系統的單位階躍響應及動態指標（見圖1.20）

根據二階系統的傳遞函數式（1-56）及單位階躍信號u（t）的拉氏變換式（1-50）可得：

求拉氏逆變換可得二階系統在0＜ξ＜1時的單位階躍響應函數：

二階系統的單位階躍響應的曲線如圖1.20（a）所示。二階系統的單位階躍響應是一衰減振蕩過程。階躍響應yu（t）經過若干次振蕩（或不經過振蕩）緩慢地趨向穩定值yw。這一過程稱為過渡過程，yu（t）為過渡函數。當過渡過程基本結束，yu（t）在允許誤差±Δ%范圍內可視為等于輸入信號u（t）。

從圖1.20可知，ξ分三種情況影響系統的響應特性：

（1）欠阻尼（0＜ξ＜1）

阻尼比在0＜ξ＜1時，特別是ξ＝0.6～0.8時，二階系統階躍響應趨于穩定值的時間快，振蕩峰值小。式（160）是欠阻尼時的單位階躍響應函數。

（2）過阻尼（ξ≥1）

阻尼比在ξ≥1時，振蕩峰值被完全抑制，但二階系統階躍響應趨于穩定值的時間拉長。

（3）零阻尼（ξ＝0）

阻尼比在ξ＝0時，系統階躍響應為yu（t）＝1-sin（ωnt+φ），輸出量變成等幅振蕩。振蕩頻率為二階系統的固有頻率ωn。

綜上三種情況，對于二階系統而言，響應特性與自身兩個固有因素有關：

（1）固有頻率ωn越高，則階躍響應曲線上升越快，即響應速度越高；ωn越小，則響應速度越低。

（2）阻尼比ξ越大，響應的過沖量越弱；ξ≥1時過沖量完全被抑制，也不產生振蕩；0＜ξ＜1時，響應信號產生衰減振蕩。ξ越小，振蕩頻率越高，衰減越慢。設計時常取ξ＝0.6～0.8。

評判二階系統的階躍響應的動態指標主要有［見圖1.20（b）］：

（1）上升時間tr。傳感器輸出值由穩態值的10%上升到90%所需的時間。即

（2）穩定時間tw。傳感器輸出值達到允許誤差范圍±Δ%所經歷的時間。即

tw＝4τ/ξ（1-62）

（3）超調量δm。響應曲線第一次超過穩態值的峰值，即δm＝yumax-yw。

δm＝exp（-ξ·tr/τ）（1-63）

（4）穩態誤差ess。無限長時間后傳感器的穩態輸出值與目標值之間偏差δss的相對值為

1.7 傳感器的技術性能指標及選用原則

1.7.1 傳感器的技術性能指標

表1-4分類列出了傳感器的一些常用技術性能指標，這些指標是作為檢驗、使用和評價傳感器的依據。

表1-4 傳感器的一些常用技術性能指標

由于各種傳感器的原理、結構、使用環境、條件、目的不同，其具體技術性能指標也不可能相同，但是有些使用要求卻是共同的：

（1）足夠的容量。即傳感器的工作范圍或量程足夠大；具有一定的過載能力。

（2）靈敏度高，精度適當，抗干擾。即要求其輸出信號與被測信號成確定的關系（通常為線性），且比值要大；傳感器的靜態響應與動態響應的準確度能滿足要求。

（3）響應速率高、可重復性、抗老化、抗環境影響（熱、振動、酸、堿、空氣、水、塵埃）的能力。

（4）使用性和適應性強。即體積小、質量輕、動作能量小，對被測對象的狀態影響小；內部噪聲小而又不易受外界干擾的影響；其輸出力求采用通用或標準形式，以便與系統對接。

（5）經濟適用。即成本低、壽命長、安全（傳感器應是無污染的）、有互換性、低成本且便于使用、維修和校準。

必須指出，對于一種具體的傳感器，并不要求它是“萬能”的，也不需要使其全部指標都達到優良，這不僅使設計制造困難，實際上也沒有必要。應該根據實際應用的目的、使用環境、被測對象狀況、精度要求等具體條件作全面綜合考慮，保證主要的參數達標、滿足使用即可。

1.7.2 傳感器的選用原則

現代傳感器在原理與結構上千差萬別，如何根據具體的測量目的、測量對象以及測量環境合理地選用傳感器，是進行某個量的測量時首先要解決的問題。當傳感器確定之后，與之相配套的測量方法和測量設備也就可以確定了。測量結果的成敗，在很大程度上取決于傳感器的選用是否合理。傳感器的選用應從以下幾個方面考慮：

1.與測量條件有關的因素

要進行一項具體的測量工作，首先要考慮采用何種原理的傳感器，這需要分析多方面的因素之后才能確定。因為，即使是測量同一物理量，也有多種原理的傳感器可供選用，哪一種原理的傳感器更為合適，則需要根據被測量的特點和傳感器的使用條件，考慮以下一些具體問題：量程的大小、被測位置對傳感器體積的要求、測量方式是接觸式還是非接觸式、信號的引出方法、是有線還是無線測量等。在考慮上述問題之后就能確定選用何種類型的傳感器，然后再考慮傳感器的具體性能指標。

2.與傳感器有關的技術指標

1）靈敏度的選擇

通常，在傳感器的線性范圍內，希望傳感器的靈敏度越高越好。因為只有靈敏度高時，與被測量變化對應的輸出信號的值才比較大，有利于信號處理。但要注意的是，當傳感器的靈敏度高時，與被測量無關的外界噪聲也容易混入，也會被放大系統放大，影響測量精度。因此，要求傳感器本身應具有較高的信噪比，盡量減少從外界引入的干擾信號。有的傳感器的靈敏度是有方向性的。當被測量是單向量時，而且對其方向性要求較高，則應選擇其他方向靈敏度小的傳感器；如果被測量是多維向量，則要求傳感器的交叉靈敏度越小越好。

2）頻率響應特性

傳感器的頻率響應特性決定了被測量的頻率范圍，必須在允許頻率范圍內保持不失真的測量條件。實際上傳感器的響應總有一定延遲，延遲時間越短越好。傳感器的頻率響應高，可測的信號頻率范圍就寬，而由于受到結構特性的影響，機械系統的慣性較大，因而頻率低的傳感器可測信號的頻率較低。在動態測量中，應根據信號的特點（穩態、瞬態、隨機等）及響應特性，以免產生過大的動態誤差。

3）線性范圍

傳感器的線性范圍是指輸出量與輸入量成正比的范圍。從理論上講，在此范圍內，靈敏度保持一定的值。傳感器的線性范圍越寬，則其量程越大，并且能保證一定的測量精度。在選擇傳感器時，當傳感器的種類確定以后，首先要看其量程是否滿足要求。實際上，任何傳感器都不能保證絕對的線性，其線性度也是相對的。當所要求測量精度比較低時，在一定的范圍內，可將非線性誤差較小的傳感器近似看做線性的，這會給測量帶來極大的方便。

4）穩定性

傳感器使用一段時間后，其性能保持不變的能力稱為穩定性。影響傳感器長期穩定性的因素除傳感器本身結構外，還有傳感器的使用環境。因此，要使傳感器具有良好的穩定性，傳感器必須要有較強的環境適應能力。在選擇傳感器之前，應對其使用環境進行調查，并根據具體的使用環境選擇合適的傳感器，或采取適當的措施，減小環境的影響。傳感器的穩定性有定量指標，在超過使用期后，在使用前應重新進行標定，以確定傳感器的性能是否發生變化。在某些要求傳感器能長期使用而又不能輕易更換或標定的場合，所選用的傳感器穩定性要求更嚴格，要能夠經受住長時間的考驗。

5）精度

精度是傳感器的一個重要性能指標，它也決定了整個測量系統的精度高低。傳感器的精度越高，其價格越昂貴，因此，從性價比考慮，傳感器的精度只要滿足整個測量系統的精度要求就可以，不必選得過高。這樣就可以在滿足同一測量目的的諸多傳感器中選擇價格比較便宜和結構簡單的傳感器。如果測量目的是定性分析的，選用重復精度高的傳感器即可，不宜選用絕對量值精度高的；如果是為了定量分析，必須獲得精確的測量值，就需選用精度等級能滿足要求的傳感器。對某些特殊使用場合，無法選到合適的傳感器，則需自行設計制造傳感器以滿足使用要求。

3.與傳感器的經濟指標有關的因素

從經濟的角度來考慮，首先是以能達到測試要求為準則，不應盲目地采用超過測試目的所要求的高精度傳感器。這是因為傳感器的精度若提高一個等級，則傳感器的成本費用將會急劇地上升。另外，當需要用多臺傳感器與其他后接儀器共同來組成檢測系統時，所有的傳感器和其他儀器都應該選用同等精度。誤差理論分析表明，由若干臺儀器組成的系統，其測量結果的精度取決于精度最低的那臺儀器。

4.與使用環境條件有關的因素

在選擇傳感器時，還必須考慮其使用環境，主要從溫度、振動和介質三個因素綜合考慮環境對儀器的影響。例如，溫度的變化會產生熱脹冷縮效應，也會使傳感器的機構受到熱應力或改變元件的特性，從而導致其輸出量發生變化，過低或過高的溫度還有可能使傳感器或其內部元件變質、失效乃至破壞等。又如，過大的加速度將使傳感器受到不應有的慣性力作用，導致輸出量的變化或傳感器的損壞。在帶腐蝕性的介質中或原子輻射的環境中工作的傳感器也往往容易受到損壞。因此，必須針對不同的工作環境選用合適的儀器，同時也必須充分考慮采取必要的措施對其加以保護。

1.8 改善傳感器性能的技術途徑

縱觀傳感技術領域幾十年來的發展，提高傳感器性能的途徑有兩個：一是提高與改善傳感器的技術性能，二是尋找新原理、新材料、新工藝及新功能等。為提高與改善傳感器性能的技術途徑如下：

（1）結構、材料與參數的合理選擇

根據實際的需要和可能，合理選擇材料、結構設計傳感器，確保主要指標，而放棄對次要指標的要求，以求得到高的性價比。同時滿足使用要求，即使對于主要的參數也不能盲目追求高指標。

（2）差動技術

差動技術是非常有效的一種方法，它的應用可顯著地減小因溫度變化、電源波動、外界干擾等對傳感器精度的影響，抵消了共模誤差，減小了非線性誤差等。如電阻應變式傳感器、電感式傳感器、電容式傳感器中都應用了差動技術，不僅減小了非線性，而且靈敏度提高了一倍，抵消了共模誤差。

（3）平均技術

常用的平均技術有誤差平均效應和數據平均處理。常用的多點測量方案與多次采樣平均就是這樣的例子。其原理是利用若干個傳感單元同時感受被測量或單個傳感器多次采樣，其輸出量則是這些多次輸出量的平均值。若將每次的輸出量可能帶來的誤差δ均看做隨機誤差且服從正態分布，根據誤差理論，總的誤差δΣ將減小為

式中，n為傳感單元數或采樣次數。

可見，在傳感器中利用平均技術不僅可使傳感器誤差減小，且可增大信號量，即增大傳感器靈敏度。光柵、磁柵、容柵、感應同步器等傳感器，由于其本身的工作原理決定多個傳感單元參與工作，可取得明顯的誤差平均效應的效果。這也是這一類傳感器固有的優點。另外，誤差平均效應對某些工藝性缺陷造成的誤差同樣起到彌補作用。在懂得這些道理之后，設計傳感器時在結構允許的情況下，適當增多傳感單元數，可收到很好的效果。例如圓光柵傳感器，若讓全部柵線都同時參與工作，設計成“全接收”形式，誤差平均效應就可充分地發揮出來。

（4）穩定性處理

造成傳感器性能不穩定的原因是：隨著時間的推移或環境條件的變化，構成傳感器的各種材料與元器件性能將發生變化。為了提高傳感器性能的穩定性，應該對材料、元器件或傳感器整體進行必要的穩定性處理。使用傳感器時，如果對測量要求較高，必要時也應對附加的調整元件、后接電路的關鍵元器件進行老化處理。

（5）屏蔽、隔離與干擾抑制

屏蔽、隔離與干擾抑制可以有效地削弱或消除外界因素對傳感器的作用，如電磁噪聲或機械振動噪聲，這些都是傳感器中出現的干擾信號。它可由傳感器內部產生，也可從外部隨信號傳遞而混入。一般而言，噪聲是呈不規則的變化，像交流噪聲這樣的周期性的波動，廣義上也是噪聲。

傳感器內部產生的噪聲包括敏感元件、轉換元件和轉換電路元件等產生的噪聲以及電源產生的噪聲，例如光電真空管放射不規則電子，半導體載流子擴散等產生的噪聲。降低元件的溫度可減小熱噪聲，對電源變壓器采用靜電屏蔽可減小交流脈動噪聲等。

從外部混入傳感器的噪聲，按其產生原因可分為機械噪聲（如振動，沖擊）、音響噪聲、熱噪聲（如因熱輻射使元件相對位移或性能變化）、電磁噪聲和化學噪聲等。對振動等機械噪聲可采用防振臺或將傳感器固定在質量很大的基礎臺上加以抑制；而消除音響噪聲的有效辦法是把傳感器用隔音器材隔離或放在真空容器里；消除電磁噪聲的有效辦法是屏蔽和接地或使傳感器遠離電源線，或使輸出線屏蔽，或輸出線絞擰在一起等。

（6）補償與校正

補償與校正技術的運用主要針對下列兩種情況：一種是針對傳感器本身特性的，另一種是針對傳感器的工作條件或外界環境的。

對于傳感器本身特性，可以找出誤差的變化規律，或者測出其大小和方向，采用適當的方法加以補償或修正。

針對傳感器工作條件或外界環境進行誤差補償，也是提高傳感器精度的有力措施。不少傳感器對溫度敏感，而且由溫度變化引起的誤差十分可觀。為了解決這個問題，必要時可以控制溫度，采用恒溫裝置，但往往導致費用太高，或使用現場條件不允許。而在傳感器內引入溫度誤差補償常常是可行的方法。這時應找出溫度對測量值影響的規律，然后引入溫度補償措施。例如，電阻應變式傳感器中應變片的單絲/雙絲溫度自補償法、橋路補償法等。

還可以利用傳感器的后接電子線路（硬件）來解決誤差補償與修正，也可以通過計算機軟件在測量數據的系統上實現誤差補償與校正。