3.8 非圓桿件的扭轉(zhuǎn)

前面各節(jié)討論了圓形截面桿的扭轉(zhuǎn)，但工程中有些受扭構(gòu)件的橫截面并非圓形。本節(jié)對(duì)等直非圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。

取一矩形截面桿，在其側(cè)面畫上等距的縱向和橫向網(wǎng)線，兩端受扭變形后，可以很容易地觀察到：與等直圓桿的扭轉(zhuǎn)不同，這些網(wǎng)格線將發(fā)生彎曲，橫向周線不再位于同一平面內(nèi)，如圖3-15所示。這說明其橫截面在變形后將發(fā)生翹曲。因此，平面假設(shè)對(duì)于等直非圓桿（如正方形、矩形、三角形、橢圓形等）不再成立，等直圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力計(jì)算公式不適用于非圓截面桿。

當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時(shí)，稱為自由扭轉(zhuǎn)或純扭轉(zhuǎn)。此時(shí)，相鄰兩橫截面的翹曲程度相同，橫截面上仍然是只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則稱為約束扭轉(zhuǎn)。此時(shí)，相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力。由約束扭轉(zhuǎn)所引起的附加正應(yīng)力，在一般實(shí)體截面桿中通常很小，可略去不計(jì)。但在薄壁桿件中，這一附加正應(yīng)力則可能較大而不能忽略。本節(jié)僅簡(jiǎn)單介紹矩形及狹長(zhǎng)矩形截面的等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的結(jié)果，這些結(jié)果一般要利用彈性力學(xué)的知識(shí)解答。

不難證明：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力都與截面邊緣相切。如圖3-16（a）所示，若假設(shè)邊緣各點(diǎn)的切應(yīng)力不與邊界相切，則總可以將其分解為沿邊界切線方向的分量 τt和法線方向的分量τn。根據(jù)切應(yīng)力互等定律，τn應(yīng)與桿件自由表面上的切應(yīng)力相等，但在自由表面上切應(yīng)力。因此，在邊緣上各點(diǎn)就只可能有沿邊界切線方向的切應(yīng)力。

同理可以證明，在截面凸角處的切應(yīng)力等于零，如圖3-16（b）所示。

根據(jù)彈性力學(xué)的解答，橫截面上切應(yīng)力分布如圖3-17所示。從圖中可以看出，最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長(zhǎng)邊中點(diǎn)處。為了對(duì)矩形截面桿進(jìn)行扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算，這里僅給出橫截面上最大切應(yīng)力和單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式，其結(jié)果為

式中，Wt 為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，It為截面的相當(dāng)極慣性矩，GIt為非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)剛度。矩形截面的It和Wt與截面尺寸的關(guān)系如下：

式中，因數(shù)α和β可從表3-1中查出，其值均隨矩形截面的長(zhǎng)短邊尺寸h和b的比值m = h/b而變化。橫截面上的最大切應(yīng)力τmax發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)，即在截面周邊上距形心最近的點(diǎn)；而在短

邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力則為該邊上各點(diǎn)切應(yīng)力中的最大值，可根據(jù)τmax和表3-1中的因數(shù)ν，按下式計(jì)算：

注：（1） 當(dāng)m＞4時(shí)，也可按下列近似公式計(jì)算α、β和ν：

，ν≈0.74

（2） 當(dāng) m＞10時(shí)，，ν≈0.74

對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面，切應(yīng)力的變化情況如圖3-18所示（其中為了與一般矩形相區(qū)別，將狹長(zhǎng)矩形的短邊尺寸b改寫為δ），沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)切應(yīng)力的方向均與長(zhǎng)邊相切，其數(shù)值除頂點(diǎn)附近以外均相差不大，可由式（3-32a）計(jì)算得到。根據(jù)表3-1的注（2）可得It和Wt與截面尺寸之間的關(guān)系為

一矩形截面等直鋼桿，橫截面尺寸為h = 100 mm，b = 50 mm；長(zhǎng)度l = 2 m。在桿兩端作用一個(gè)Me=4000N?m的扭轉(zhuǎn)力偶。鋼的許用切應(yīng)力[τ]=100MPa，剪切模量G=80GPa，許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[θ]=1（°/m）。試校核桿的強(qiáng)度和剛度。

解：

由截面法求得截面扭矩T=Me =4000 N?m。

由，通過表3-1查得β=0.493和α=0.457。于是，由式（3-34）得

Wt=βb3=0.493×（50×10?3）3=61.6×10?6m3

It=αb4=0.457×（50×10?3）4=286×10?8m4

再由式（3-32），得

因此，桿滿足強(qiáng)度和剛度條件。