1.6 材料力學的研究內容和思路

材料力學主要在均勻連續性、各向同性、彈性小變形假設下，研究細長桿件的變形和應力計算，以及強度、剛度和穩定性分析，為設計經濟、實用、安全的結構構件或機械零件，提供必要的理論基礎和方法。材料力學所涉及的構件基本變形形式包括：

（1） 軸向拉伸和壓縮 等截面直桿或緩慢變化的變截面直桿在沿軸線的載荷作用下發生伸長或縮短，這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮，如圖1-12（a）、（b）所示。

（2） 剪切 桿在一對相距很近的大小相等、方向相反、垂直于軸線的橫向外力作用下發生沿外力作用方向的相對錯動，這種變形形式稱為剪切，如圖1-12（c）所示。盡管這種變形一般會伴隨其他變形發生，但剪切變形是最主要的，往往是構件失效的主要原因。

（3） 扭轉 等截面桿或緩慢變化的變截面桿在沿軸線方向的力偶作用下，橫截面之間發生繞軸線的相對轉動，這種變形稱為扭轉，如圖1-12（d）所示。

（4） 彎曲 等截面桿或緩慢變化的變截面桿在包含軸線的縱向平面內的外力偶作用下，橫截面之間發生縱向平面內的相對轉動，桿件軸線變成曲線，這種變形稱為彎曲，如圖1-2（e）所示。當桿件在縱向平面內作用有集中或分布力時，也會發生彎曲，如圖 1-12（f）所示，但此時伴有剪切變形。為了區別，將前者稱為純彎曲，而將后者稱為橫力彎曲。通常將發生彎曲變形的桿件稱為梁（beam）。

工程中常用構件的變形往往是上述幾種基本變形的組合。或以一種為主，其他次要變形可忽略不計；或幾種并重，需要同時考慮。前者屬于簡單變形問題，后者則是組合變形問題。

材料力學針對上述幾種基本變形及其組合變形的桿件，研究其在各種載荷（靜載、動載、交變載荷、溫度變化等）作用下內力、應力、應變、變形、能量的計算方法，建立其強度、剛度、穩定性的分析方法等。主要對象是等截面直桿或緩慢變化的變截面直桿，部分內容也涉及曲桿和剛架。另外，材料力學主要關注遠離加載點、幾何或材料突變點等區域的應力和變形。

構件強度、剛度和穩定性的分析計算基于對構件在外力（包括載荷和約束反力）作用下的變形（位移或轉角）分析。后者正是包括材料力學在內的所有變形體力學的中心任務。而材料力學為實現這一目標，根據研究對象（細長桿件）的幾何特征——軸向尺寸遠大于其他兩個方向的尺寸，在實驗觀察的基礎上，對變形做合理的幾何上的假設，利用微積分的基本概念，建立一維方向（軸向）上的方程，從而大大簡化數學求解過程。材料力學與其他連續變形體力學的顯著區別在于：

（1） 根據實驗觀察，由于橫截面的尺寸遠小于軸向的尺寸，假設橫截面在變形過程中仍保持為平面，只是發生某種剛性的相對移動或轉動，該假設稱為平面假設，它給出關于變形的簡單幾何關系，從而使相關的數學分析大大簡化。

（2） 取桿件軸向的微段為研究對象，引入橫截面內力的概念，并基于上述假設，建立內力與微段變形之間的關系。

（3） 正是由于以上假設和近似，所以材料力學只涉及一維函數的微積分，利用最簡單的高等數學知識即能解決，如一維函數的導數、微分、積分、常微分方程等，避免了更復雜的偏微分方程的出現，因此在工程中獲得了廣泛的應用。

材料力學對“外力導致構件變形”這一核心問題的研究沿循了如圖1-13所示的思路和過程，可總結為如下幾個要點。

（1） 根據平衡方程由外載荷確定約束反力（過程①）。如果可確定全部約束反力，則為靜定結構；否則，為超靜定結構，需要結合變形協調方程求解全部約束反力。

（2） 利用截面法，根據平衡方程，由外力（載荷和約束反力）計算橫截面上的內力（過程②）；若取微段建立平衡方程則可以得到內力與載荷之間的微分關系，也就是桿件的平衡微分方程。

（3） 由內力并不能直接計算橫截面上的應力，因為還不知道應力的分布形式。為此，材料力學從微段的變形特征入手，根據實驗觀察提出平截面假設，據此建立微段變形與應變的幾何關系，即幾何方程（過程③）。

（4） 然后考慮應力-應變關系（過程④，即物理方程，一般由實驗測得），得到應力的分布形式，也就是應力與微段變形的關系式。

（5） 有了根據上述幾何方程和物理方程得到的應力分布形式，再利用靜力等效原理得到橫截面應力的計算公式（過程⑤）。同時回走過程④和③，也就得到了由內力計算微段變形的公式（☆）。

（6） 由微段的變形，通過積分并考慮適當的邊界或連接條件，即可確定桿件的整體變形（過程⑥）。由此，便最終獲得了外力與構件變形之間的關系（★），從而解決了材料力學的核心問題。

縱向看，圖1-13所示的上述過程分為3個部分：從載荷到應力的過程（過程①、②、⑤）僅涉及靜力學中的力的平衡和力系等效；從應變到結構整體變形的過程（過程③、⑥）僅涉及與變形協調相關的幾何關系，材料力學在這部分主要根據平面假設給出近似的幾何關系；而聯系二者的正是連續變形體力學中的本構理論（過程④）。這3部分的內容也是所有連續變形體力學的主要研究內容。

橫向看，圖1-13所示的上述過程分為3個層次，從下至上分別為：單元體（點）、微段（橫截面）、構件整體。其中，微段的引入（及內力概念的引入）是材料力學與一般連續變形體力學（如彈塑性力學）的不同之處，類似的思路在關于板殼力學分析的相關理論中也有用到。

特別值得注意的是，材料力學中所有的力學模型的簡化和數學分析均包含于過程②～⑥（即方框所圍的部分）。特別是過程③～⑥（即陰影部分）包含了連續變形體力學獨到的建模和思維方式，也涉及連續函數的微積分運算如何應用于連續變形的分析，是材料力學的核心內容。其中，工程中所關心的強度、剛度問題的答案也蘊涵在這個過程中。例如，以應力為參量建立強度準則，以整體或微段的變形建立剛度準則，等等。

前面提到的4種基本變形形式，均可沿循圖1-13所示的研究思路獲得解決。對于更復雜的一些問題，則仍然以此為核心，并聯合其他的力學原理和數學知識加以解決。這里有必要做一些補充說明。

（1） 關于超靜定問題 此時存在多余約束反力，不能由平衡方程直接確定。雖然不能通過實線箭頭所描述的單向過程計算變形，但仍然可以通過這樣的過程（即方框內的過程）獲得所有外力與變形之間的關系。于是，若設多余約束力為未知量，則將外力表示的整體變形（位移或轉角）代入變形協調方程即得到補充方程，從而求得多余約束力。這就是求解超靜定問題力法的基本思想。同樣，若設滿足變形協調方程的位移或轉角為未知量，則將變形表示的外力代入平衡方程，也可求解整個問題。這就是求解超靜定問題位移法的基本思想。

（2） 關于組合變形問題 只需分解為基本變形，疊加即可得到應力、應變和變形的最終結果。這得益于線性彈性理論疊加原理提供的方便。

（3） 關于穩定性問題 材料力學僅涉及最簡單的穩定性分析——壓桿穩定的歐拉公式。當引入穩定性和臨界載荷的概念后，歐拉公式的推導便可納入上述研究過程。

（4） 關于能量方法 能量法是基于能量守恒原理，針對構件整體建立的一種求解變形的方法。注意到圖1-13中的陰影部分提供了一種變形能的計算方法，于是上述復雜過程便可簡化成圖中上部所示的簡單過程：外力功轉化為變形能（對彈性材料）。而且這種關系與加載順序無關，據此可以推出常用的一些能量方法，如單位力法、卡氏定理等。

材料力學沿用的這種簡潔而實用的思路實現了對桿件強度、剛度和穩定性的分析，這為我們提供了一種很好的關于連續變形體力學的思維方式訓練。通過材料力學的學習，我們不僅可掌握對構件進行強度、剛度和穩定性分析和設計的方法，而且可從這種思維方式的訓練中學會更復雜的變形體力學的分析方法和思路。