1.3 理解基本數(shù)學函數(shù)

基本數(shù)學函數(shù)在許多應用中都會出現(xiàn)。例如，對數(shù)可以將呈指數(shù)增長的數(shù)據(jù)進行縮放，從而得到線性數(shù)據(jù)。指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在處理幾何信息時是常用的工具，伽馬函數(shù)出現(xiàn)在組合數(shù)學中，高斯誤差函數(shù)則在統(tǒng)計學中至關重要。

Python標準庫中的math模塊提供了所有標準數(shù)學函數(shù)，以及常用的常數(shù)和一些實用函數(shù)，可以使用以下命令導入：

一旦導入了該模塊，我們就可以使用此模塊包含的所有數(shù)學函數(shù)。例如，為了得到非負數(shù)的平方根，我們可以使用math模塊中的sqrt函數(shù)：

嘗試給sqrt函數(shù)傳遞負數(shù)參數(shù)會拋出ValueError異常。sqrt函數(shù)僅處理實數(shù)，負數(shù)的平方根對于該函數(shù)是未定義的。負數(shù)的平方根是一個復數(shù)，可以使用Python標準庫中cmath模塊對應的sqrt函數(shù)進行求解。

正弦、余弦和正切三角函數(shù)在math模塊中分別以常用的縮寫形式sin、cos和tan提供。常數(shù)pi保存著π的值，約為3.1416：

在math模塊中，反三角函數(shù)分別以acos、asin和atan的名稱命名：

math模塊中的log函數(shù)用于執(zhí)行對數(shù)運算，它有一個可選參數(shù)用于指定對數(shù)的底（請注意，第二個參數(shù)只是位置參數(shù)）。默認情況下，如果沒有可選參數(shù)，它是以e為底的自然對數(shù)。常數(shù)e可以使用math.e方法進行訪問：

math模塊還包含gamma函數(shù)（伽馬函數(shù)），以及在統(tǒng)計學中非常重要的erf函數(shù)（高斯誤差函數(shù)），這兩個函數(shù)都是由積分定義的。伽馬函數(shù)由以下積分定義：

高斯誤差函數(shù)由以下積分定義：

高斯誤差函數(shù)定義中的積分無法使用微積分進行計算，而必須通過數(shù)值計算進行估計：

除了三角函數(shù)、對數(shù)和指數(shù)函數(shù)等標準函數(shù)之外，math模塊還包含各種理論函數(shù)和組合函數(shù)。其中包括comb函數(shù)和factorial函數(shù)，它們在很多應用中都很有用。comb函數(shù)調用時帶有參數(shù)n和k，如果不考慮元素的順序，它會返回從包含n個元素的集合中無重復地選取k個元素的方式總數(shù)。例如，先選取1然后選取2，這與先選取2然后選取1是相同的。這個組合數(shù)有時被寫作。階乘函數(shù)factorial被調用時帶有參數(shù)n，它返回n的階乘，即n!=n(n-1)(n-2)…1：

將factorial函數(shù)應用于負數(shù)會拋出ValueError異常。整數(shù)n的階乘與伽馬函數(shù)在n+1處的值相等，即

Γ(n+1)=n!

math模塊還包含一個名為gcd的函數(shù)，該函數(shù)返回其參數(shù)的最大公約數(shù)。整數(shù)a和b的最大公約數(shù)k是能同時整除a和b的最大整數(shù)：

math模塊還有許多用于處理浮點數(shù)的函數(shù)。fsum函數(shù)對一組可迭代的數(shù)字執(zhí)行加法運算，并跟蹤每一步的總和，以減少結果中的誤差。下面的例子很好地說明了這一點：

如果參數(shù)之間的差值小于容差，isclose函數(shù)將返回True。這在單元測試中尤其有用，因為在單元測試中，基于機器架構或數(shù)據(jù)變化，計算結果可能會有很小的變化。

最后，math模塊中的floor和ceil函數(shù)提供了對參數(shù)的向下和向上取整的整數(shù)結果。一個數(shù)x的向下取整（floor函數(shù)）結果是滿足f≤x的最大的整數(shù)f，而x的向上取整（ceil函數(shù)）結果是滿足x≤c的最小的整數(shù)c。在將一個數(shù)除以另一個數(shù)得到的浮點數(shù)轉化為整數(shù)時，這些函數(shù)非常有用。

math模塊中的函數(shù)是用C語言實現(xiàn)的（假設你運行的是CPython），因此它們比用Python實現(xiàn)的函數(shù)要快得多。如果你需要將函數(shù)應用于相對較小的數(shù)字集合，那么此模塊是一個不錯的選擇。如果你同時想要將這些函數(shù)應用于大型數(shù)據(jù)集，那么最好使用NumPy包中的等價函數(shù)，因為NumPy處理數(shù)組更有效。一般來說，如果你已經導入了NumPy包，那么最好總是使用NumPy的等價函數(shù)來減少出錯的可能性。考慮到這一點，現(xiàn)在讓我們開始介紹NumPy包及其基本對象“多維數(shù)組”吧。