致謝

羅杰 · 彭羅斯改變了我對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)的理解。他的思想如此精準(zhǔn)、優(yōu)美，就像復(fù)調(diào)音樂(lè)的旋律配合。從我 20 歲第一次讀到他的論文開(kāi)始，這些思想每次都深深地激起我內(nèi)心審美的愉悅，而類(lèi)似的感受，只有當(dāng)我欣賞巴赫的第 101 號(hào)康塔塔開(kāi)場(chǎng)曲和貝多芬的《大賦格曲》時(shí)才能體驗(yàn)到。

從我成為羅杰的學(xué)生開(kāi)始，他用幾何揭開(kāi)最深層謎團(tuán)的能力，給我留下了難以忘懷的深刻記憶，于是，一個(gè)不可動(dòng)搖的信念使我終生受益：任何問(wèn)題都是有幾何解釋的。（后來(lái)對(duì)牛頓《原理》的研究令我更加深信幾何方法的普適性。）如果沒(méi)有這個(gè)堅(jiān)定的信念，就不會(huì)有本書(shū)，因?yàn)?，有時(shí)為了找到某個(gè)特定數(shù)學(xué)現(xiàn)象的幾何解釋?zhuān)乙骱芏?strong>年。

能夠算是羅杰的一個(gè)朋友，是一件令人高興的事情，也是我 40 年來(lái)的一大榮幸。本書(shū)并非完美，卻是我的盡心之作，將其獻(xiàn)于羅杰，雖難酬師恩，但可略表我的心意。

為了介紹下一位我應(yīng)該感謝的人，我不得不坦白一個(gè)有些難以啟齒的細(xì)節(jié)：當(dāng)我 1989 年第一次從英國(guó)來(lái)到美國(guó)時(shí)，我一天要抽兩包香煙。直到 1995 年，我才最終戒掉。這是我做過(guò)最困難的一件事，如果沒(méi)有尼古丁貼片，我多半會(huì)失敗。

作為對(duì)我 1997 年出版的《復(fù)分析》的響應(yīng)，在大約五年之后，杜克大學(xué)的一位醫(yī)學(xué)研究者給我寫(xiě)了一封“好玩的信”。他計(jì)劃訪問(wèn)舊金山灣區(qū)，請(qǐng)求與我見(jiàn)面。我忐忑不安地同意了。結(jié)果我的客人就是杰德 · 羅斯教授，就是他發(fā)明的尼古丁貼片幫助我成功戒了煙，他簡(jiǎn)直就是我的救世主！杰德開(kāi)始是學(xué)數(shù)學(xué)和物理學(xué)的，也從未放棄對(duì)這兩門(mén)學(xué)科的熱愛(ài)，但是他敏銳地認(rèn)為，如果將精力轉(zhuǎn)投醫(yī)學(xué)研究，他會(huì)產(chǎn)生更大影響。我非常高興他真的這樣做了。

2011 年，當(dāng)我開(kāi)始寫(xiě)作本書(shū)時(shí)，杰德成了我最熱情的支持者，他用醫(yī)學(xué)發(fā)明的資金買(mǎi)斷我的部分教學(xué)成果，極大地幫助了我對(duì)本書(shū)主題的研究，展現(xiàn)了他的慷慨。在本書(shū)的 9 年創(chuàng)作時(shí)間里（我全家都住在加利福利亞），杰德一直認(rèn)為我的這項(xiàng)工作很重要，每次來(lái)訪，他都能用永遠(yuǎn)樂(lè)觀的個(gè)性和對(duì)我的信任鼓舞我。在本書(shū)緩慢成形期間，杰德認(rèn)真閱讀了我的手稿，提出了大量對(duì)本書(shū)極有益的詳細(xì)修改建議，大大為本書(shū)增色。由此可見(jiàn)，杰德在三個(gè)線性無(wú)關(guān)的方向上幫助了我，令我感激不盡。此外，我們最初純粹的學(xué)術(shù)交流關(guān)系，逐漸讓兩家人形成了親密溫暖的朋友關(guān)系。

我要感謝的下一位重要人物是布朗大學(xué)杰出的幾何學(xué)家，托馬斯 · 班科夫教授。我設(shè)法兩次安排湯姆1（在不同的年度里）來(lái)舊金山大學(xué)做訪問(wèn)學(xué)者，每次一學(xué)期。在這兩個(gè)學(xué)期里，湯姆對(duì)我非?？蜌?，主動(dòng)提出要閱讀我的書(shū)稿，并且給了我極有價(jià)值的反饋。每個(gè)星期，他都要閱讀我剛剛打印出來(lái)的最新書(shū)稿，并用紅筆在頁(yè)面空白處寫(xiě)下他的意見(jiàn)和建議。每個(gè)星期五下午，我都會(huì)去他的辦公室見(jiàn)他，逐行地詳細(xì)討論他的修改建議。可惜，本書(shū)剛寫(xiě)到一半，這樣的合作就結(jié)束了。盡管如此，我?guī)缀醪杉{了他的全部修改建議。我非常感謝他與我分享他在幾何方面的聰明才智和專(zhuān)業(yè)知識(shí)。

1湯姆是托馬斯的昵稱(chēng)?！幷咦?/p>

我還要衷心感謝劉偉博士2（一位從事光學(xué)研究的物理學(xué)家，希望將來(lái)在一個(gè)美好日子里見(jiàn)到他）。2019 年，他寫(xiě)信給我，表達(dá)了對(duì)《復(fù)分析》的欣賞，并附上了他的研究論文3，其中引用了我對(duì)龐加萊4 - 霍普夫5定理的處理。這篇論文讓我見(jiàn)識(shí)到物理學(xué)家如何精彩地應(yīng)用霍普夫的結(jié)果，而霍普夫的漂亮結(jié)果似乎已經(jīng)從數(shù)學(xué)教科書(shū)里消失了。他的結(jié)果表明：龐加萊 - 霍普夫定理不僅適用于向量場(chǎng)，也適用于霍普夫的線場(chǎng)6，這大大推廣了向量場(chǎng)的概念，使之可以含有帶分?jǐn)?shù)指數(shù)的奇點(diǎn)，這是 19.6.4 節(jié)的主題。我們可以用第 247 頁(yè)圖 19-14 的例子為證。應(yīng)我的要求，劉偉博士還將霍普夫思想在物理學(xué)中的其他許多應(yīng)用告訴了我?，F(xiàn)在，親愛(ài)的讀者，我也與你們分享他的親切教導(dǎo)，見(jiàn)附錄 A。

2位于中國(guó)湖南省長(zhǎng)沙市的國(guó)防科技大學(xué)前沿交叉科學(xué)學(xué)院。

3Chen et al. (2020b)。

4亨利 · 龐加萊（1854—1912），法國(guó)科學(xué)家，研究涉及代數(shù)學(xué)、函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)物理、天體力學(xué)、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。他是一位才思敏捷、不知疲倦的科學(xué)家，以可貴的首創(chuàng)精神與高超的技巧在純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域都做出了貢獻(xiàn)，并開(kāi)拓了一些新領(lǐng)域。他被公認(rèn)是 19 世紀(jì)后四分之一和 20 世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對(duì)于數(shù)學(xué)及其應(yīng)用具有全面知識(shí)的“最后一人”。龐加萊在數(shù)學(xué)方面的杰出工作對(duì) 20 世紀(jì)和當(dāng)今的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響，他在天體力學(xué)方面的研究是牛頓之后的一座里程碑，他在數(shù)學(xué)物理方面最突出的貢獻(xiàn)在電動(dòng)力學(xué)方面，他被公認(rèn)為相對(duì)論的理論先驅(qū)。他還是一位著名的科學(xué)哲學(xué)家、第一流的法文散文大師。著作有《科學(xué)與假設(shè)》《科學(xué)的價(jià)值》《科學(xué)與方法》等，文理清晰、風(fēng)趣深刻，引人入勝，給讀者很深的啟示。在 34 年的學(xué)術(shù)生涯中，他發(fā)表了 30 多卷數(shù)學(xué)物理與天體力學(xué)方面的專(zhuān)著、6 卷科普著作，以及近 500 篇科學(xué)論文，榮獲全世界多種獎(jiǎng)金與榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)。——編者注

5海因茨 · 霍普夫（1894—1971），德國(guó)數(shù)學(xué)家，主要研究代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。他研究向量場(chǎng)，推廣了萊夫謝茨的不動(dòng)點(diǎn)公式；研究同倫論，定義了球面之間映射一個(gè)同倫不變量，現(xiàn)在稱(chēng)為“霍普夫不變量”?！g者注

6這是現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)，霍普夫（Hopf, 1956）最初稱(chēng)之為線元場(chǎng)。

除了以上主角外，我（身邊和身在遠(yuǎn)方的）許多同事和朋友以各種方式給予了我支持、建議和有用的消息。

我親愛(ài)的哥哥蓋伊是我的支柱，我常把他對(duì)我的愛(ài)和信任當(dāng)作理所當(dāng)然的，這太不應(yīng)該忽略了！

斯坦利 · 內(nèi)爾和保羅 · 蔡茨是我 30 多年的朋友，他們對(duì)我的評(píng)價(jià)比我對(duì)自己的估計(jì)還要高，他們多年來(lái)的鼓勵(lì)對(duì)我影響很大，促成了本書(shū)。他們鼓勵(lì)我首先努力發(fā)現(xiàn)所需的幾何洞察力，然后撰寫(xiě)和繪制這本書(shū)。

還有侯世達(dá)7，他 20 多年來(lái)對(duì)我的支持使我深感榮幸。首先，他曾在報(bào)紙和采訪中多次大力稱(chēng)贊《復(fù)分析》。其次，他閱讀了我 2014 年的論文（Needham, 2014），并提供了非常有價(jià)值的反饋，我最終把這些反饋納入了本書(shū)。在我讀本科時(shí)，侯世達(dá)的《哥德?tīng)?、艾舍爾、巴?span id="c8pclnp" class="zsbh">8——集異璧之大成》讓我（還有數(shù)百萬(wàn)人）目瞪口呆。

7侯世達(dá)（1945—），美國(guó)多學(xué)科學(xué)者。歷經(jīng) 30 年寫(xiě)成《哥德?tīng)?、艾舍爾、巴赫——集異璧之大成》?em>G?del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid）。通過(guò)對(duì)比哥德?tīng)柕臄?shù)理邏輯、埃舍爾的版畫(huà)和巴赫的音樂(lè)，通俗地介紹了數(shù)理邏輯學(xué)、可計(jì)算理論、人工智能學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、遺傳學(xué)、音樂(lè)、繪畫(huà)理論等多方面的內(nèi)容，獨(dú)樹(shù)一幟，產(chǎn)生重要影響?！g者注

8哥德?tīng)枺?906—1978），美籍奧地利數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、哲學(xué)家。他最杰出的貢獻(xiàn)是哥德?tīng)柌煌耆远ɡ怼?br> 　　艾舍爾（一般譯為埃舍爾），見(jiàn)第 xviii 頁(yè)腳注 1。
　　巴赫（1685—1750），德國(guó)音樂(lè)家，被稱(chēng)為西方復(fù)調(diào)音樂(lè)之父。專(zhuān)業(yè)人士認(rèn)為，他的作品具有深刻性和復(fù)雜性，富有感染力，因而影響深遠(yuǎn)。他的《十二平均律》是運(yùn)用極為廣泛的教科書(shū)。——譯者注

埃德 · 卡特穆?tīng)柌┦浚ㄋc史蒂夫 · 喬布斯共同創(chuàng)建了皮克斯動(dòng)畫(huà)工作室，后來(lái)成為皮克斯和華特迪士尼兩家動(dòng)畫(huà)工作室的總裁）在 1999 年寫(xiě)電子郵件給我，對(duì)《復(fù)分析》大加贊賞。一開(kāi)始，我以為這只是我在舊金山大學(xué)里的數(shù)學(xué)同好在開(kāi)玩笑，然而這封電郵是真的。埃德邀請(qǐng)我到皮克斯園區(qū)（當(dāng)時(shí)還在里士滿(mǎn)角）觀光。他帶著我參觀工作室，陪我出去共進(jìn)午餐，還給我提供了一份工作！（我將留給讀者去評(píng)價(jià)，我拒絕了這份工作到底有多愚蠢。）雖然我和埃德的聯(lián)系斷斷續(xù)續(xù)，但他一直是《復(fù)分析》的忠實(shí)支持者（他在一次采訪中贊揚(yáng)了《復(fù)分析》），還為我申請(qǐng)基金寫(xiě)過(guò)一封推薦信，他非常支持我撰寫(xiě)本書(shū)。我非常感謝埃德多年來(lái)的鼓勵(lì)，也感謝他在本書(shū)英文版封底所寫(xiě)的非常友好的話(huà)語(yǔ)。

弗蘭克 · 摩根教授（之前我只是聽(tīng)說(shuō)過(guò)他）是普林斯頓大學(xué)出版社請(qǐng)來(lái)的評(píng)審專(zhuān)家，他受邀為本書(shū)寫(xiě)一份匿名評(píng)論。但是，當(dāng)他向我的編輯提交評(píng)論時(shí)，也把評(píng)論以他的名義直接寄給了我。我非常感謝他這樣做了，這使得我現(xiàn)在就可以公開(kāi)感謝他提出的具體建議和修訂。此外，我特別感謝他的評(píng)論大大鼓舞了我當(dāng)時(shí)的士氣。最后，衷心感謝他愿意在本書(shū)英文版主頁(yè) vdgf.space 上分享他的慷慨評(píng)價(jià)。9。

9見(jiàn)本書(shū)封底。——編者注

同樣，我也感謝所有其他的匿名評(píng)審專(zhuān)家，感謝他們對(duì)本書(shū)提出的建設(shè)性批評(píng)、建議和勘誤。我盡力采納了他們所有的改進(jìn)意見(jiàn)，很抱歉不能對(duì)他們一一表達(dá)感謝。

感謝 M. C. 埃舍爾公司允許我復(fù)制《圓極限 I》的兩個(gè)修改版（圖 5-11 和圖 5-12）。后一幅是約翰 · 史迪威做的一個(gè)顯式數(shù)學(xué)變換，在此使用得到了他的慷慨許可。埃舍爾的《圓極限 I》版權(quán)信息為 ? 2020,The M. C. Escher Company, The Netherlands.All rights reserved.mcescher 網(wǎng)站。

最后，非常感謝亨利 · 塞格曼教授提供的拓?fù)湫υ?huà)（第 223 頁(yè)圖 18-8），并允許我在這里復(fù)述它。

這是我的第二本書(shū)，也是我的最后一本書(shū)。因此，我不僅要感謝上面所有直接幫助我寫(xiě)作本書(shū)的人，更要感謝那些在我生命早期影響和支持我的人。有些人早已不聲不響地融入了我生活的各個(gè)細(xì)節(jié)之中，以至于他們一直被忽視了。很慚愧的是，我沒(méi)有在《復(fù)分析》里恰當(dāng)?shù)馗兄x他們，現(xiàn)在是我糾正錯(cuò)誤的最后機(jī)會(huì)了。

在這些人中，首先要提到的是安東尼 · 利維，他是我最早的朋友，在牛津大學(xué)默頓學(xué)院讀本科時(shí)我們就在一起。令人費(fèi)解的是，在我沒(méi)有任何值得欣賞的表現(xiàn)之前，安東尼（剛認(rèn)識(shí)時(shí)，我叫他托尼）就已經(jīng)欣賞我很久了。在過(guò)去幾十年里，他一直看好我，在我常常陷入數(shù)學(xué)方面的自我懷疑時(shí)，正是他對(duì)我的持續(xù)信任一次又一次地鼓勵(lì)我，幫我度過(guò)自我懷疑期。而且，除了純粹的智力問(wèn)題之外，安東尼的關(guān)愛(ài)和各方面的明智建議幫助我度過(guò)了生命中一些令人焦慮的時(shí)刻。

從在默頓學(xué)院讀本科的那些日子起，我一直很感激我的兩位物理老師，邁克爾 · 貝克博士（1930—2017）和邁克爾 · 鮑勒博士，他們不僅教會(huì)了我許多物理學(xué)知識(shí)，還請(qǐng)了默頓學(xué)院的兩位杰出研究員布賴(lài)恩 · 布拉姆森博士和理查德 · 沃德博士專(zhuān)門(mén)教我廣義相對(duì)論和旋量理論。尤其值得一提的是，布拉姆森博士對(duì)科學(xué)的熱情特別具有感染力，是他讓我第一次接觸彭羅斯（相對(duì)論?。┑墓ぷ?，并促成我申請(qǐng)參加彭羅斯的“相對(duì)論小組”，攻讀哲學(xué)博士學(xué)位。

接下來(lái)是我跟著彭羅斯讀博的日子，我想再次感謝我的好朋友喬治 · 伯內(nèi)特 - 斯圖爾特，他也是彭羅斯指導(dǎo)的學(xué)生。在讀博期間，喬治和我合住在大克拉倫登街的一所小房子里。在這幾年里，我們盡情地討論音樂(lè)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)，喬治幫助我完善了對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的認(rèn)知，提高了對(duì)什么是可以接受的解釋的判斷力。不管是好是壞，喬治對(duì)我成為今天這樣的數(shù)學(xué)家有很大的影響。

再往后，就是我在舊金山大學(xué)的生活。我要感謝剛剛退休的約翰 · 史迪威和他出色的妻子伊萊恩，作為同事和朋友，我們一起度過(guò)了 20 多年快樂(lè)而充實(shí)的時(shí)光。在寫(xiě)作本書(shū)的過(guò)程中，我曾多次向他請(qǐng)教，但是讓我受益最多的還是他的許多作品。事實(shí)上，我們的關(guān)系始于我寫(xiě)給他的一封“粉絲信”，這封信是對(duì)他的巨著《數(shù)學(xué)及其歷史》第 1 版的回應(yīng)。幾年后，在擔(dān)任科學(xué)學(xué)院副院長(zhǎng)期間，我成功地把約翰從澳大利亞“挖”了過(guò)來(lái)，在舊金山大學(xué)為他設(shè)立了一個(gè)教授職位。《復(fù)分析》和本書(shū)在很大程度上歸功于約翰對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的全面把握，以及他使用這種視角賦予數(shù)學(xué)思想意義的能力。還要感謝他，通過(guò)許多精彩的著作慷慨地與世界分享他的這些真知灼見(jiàn)。

1996 年，在《復(fù)分析》致謝的最后，我寫(xiě)道：“最后，我要感謝愛(ài)妻瑪麗。在我寫(xiě)這本書(shū)時(shí)，她容忍我裝作認(rèn)為科學(xué)是一生中最重要的事?，F(xiàn)在書(shū)已經(jīng)寫(xiě)完了，正是她每日每時(shí)都向我證明，還有比科學(xué)更重要的東西。”20 多年后的今天，我對(duì)瑪麗的愛(ài)有增無(wú)減，而且現(xiàn)在比以前多了兩份日常證明！

1999 年，我和瑪麗有幸生下一對(duì)雙胞胎：費(fèi)絲和霍普10，她倆一直是我們驕傲和快樂(lè)的源泉。我很抱歉，本書(shū)像烏云一樣籠罩了我女兒們近一半的時(shí)光，剝奪了我們?cè)谝黄鸬臅r(shí)間。然而，正是這三個(gè)靈魂的愛(ài)賦予了我生命的意義和目標(biāo)，并在我寫(xiě)作本書(shū)的漫長(zhǎng)、艱辛?xí)r光中給予了我支持。

10作者女兒的英文名為 Faith 和 Hope，可見(jiàn)作者的性格。——譯者注