5.7　貝爾特拉米 - 龐加萊圓盤

貝爾特拉米 - 龐加萊上半平面及其度量公式 只是描述抽象雙曲平面 的一種方法，還有其他幾種模型。15雖然從定義上看，所有這些模型在內(nèi)蘊(yùn)幾何上都是相同的，但它們?cè)?strong>心理上并不相同：某一個(gè)特定的事實(shí)或公式可能很難在一個(gè)模型中看清楚，在另一個(gè)模型中卻是顯而易見的。因此，在試圖把握雙曲幾何的奇跡時(shí)，善于在不同模型之間轉(zhuǎn)換是一項(xiàng)很有用的技能。

15詳見《復(fù)分析》或 Stillwell (2010)。

我們只準(zhǔn)備介紹一個(gè)特別有用的著名模型，這個(gè)模型是繪制在單元圓盤上的，見圖 5-11。像上半平面一樣，這也是一個(gè)共形模型，其中的測地線也被表示成圓弧，與天際線相交成直角，但現(xiàn)在表示無限遠(yuǎn)天際線的是這個(gè)圓盤的邊界（單位圓）。如果 是一點(diǎn)到圓盤中心的距離，新的度量公式是（見第 105 頁習(xí)題 25）

更詳盡的內(nèi)容請(qǐng)參閱《復(fù)分析》或 Stillwell (2010)。你可以借助共形曲率公式 (4.16) 證明［練習(xí)］這個(gè)曲面具有常負(fù)曲率 ，至少可以確認(rèn)這就是雙曲平面 。

這個(gè)模型也是貝爾特拉米首次發(fā)現(xiàn)的，與半平面模型一起發(fā)表在 1868 年的同一篇論文里，見 Stillwell (1996)。14 年后，龐加萊重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)模型，使之被廣泛稱為“龐加萊圓盤”。與前面一樣，我們堅(jiān)定不移地支持將這個(gè)模型同時(shí)歸功于他們兩位，稱之為貝爾特拉米 - 龐加萊圓盤，或者爭議更少的共形圓盤模型。

1958 年，英國著名幾何學(xué)家 H. S. M. 考克斯特（1907—2003）向荷蘭藝術(shù)家 M. C. 埃舍爾（1898—1972）介紹了 的共形圓盤模型，由此引發(fā)埃舍爾創(chuàng)作出了著名系列版畫《圓極限》16，圖 5-11 就是其中第一張的復(fù)制品。這里有意把全圖印得顏色淡一些，把雙曲直線做了加黑突出處理。［這張圖的想法直接來自 Penrose (2005, 圖 2.12)。］從中我們看到，確實(shí)有無窮多條雙曲直線通過點(diǎn) 與 不相交，服從雙曲公設(shè) (1.1)。圓的直徑也是雙曲直線，所以圖 5-11 的三角形 是真正的雙曲三角形。注意，明顯可見（而且容易證明），正如它應(yīng)該的那樣。

16可以在網(wǎng)上找到一個(gè)短視頻，其中考克斯特親自講解了這些埃舍爾結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)。

當(dāng)你盯著圖 5-11 看的時(shí)候，試著把自己想象成其中的一條魚。你的大小和形狀與其他的魚完全一樣，你可以永遠(yuǎn)沿著一條直線游泳，不會(huì)看到周圍環(huán)境或其他魚的任何變化。但從外面看地圖，距離的壓縮會(huì)讓你看起來像是在沿著一條圓形路徑繞圈，并且在前進(jìn)的過程中不斷縮小。事實(shí)上，如果 是圖 5-11 中所示魚到天際線的歐幾里得距離，我們看一下靠近地圖邊緣的一點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)式 (5.15) 意味著［練習(xí)］(魚的表觀大小) 。

在第 105 頁習(xí)題 25 中你會(huì)看到，實(shí)際上有一個(gè)簡單的共形變換，可以將這個(gè)新圓盤模型與之前講過的共形半平面模型聯(lián)系起來，從而解釋新圓盤模型的共形性。利用計(jì)算機(jī)做這個(gè)變換，可以將圖 5-11 變成圖 5-12，后者不是埃舍爾本人的創(chuàng)作，但他肯定會(huì)很欣賞這張圖的。［此圖經(jīng)許可從 Stillwell (2005, 第 195 頁) 復(fù)制而來。］

讓我們停下來喘口氣，回顧一下我們已經(jīng)走了多遠(yuǎn)吧。我們?cè)诒緯_始時(shí)講的故事17已經(jīng)有了一個(gè)圓滿的結(jié)局，算是結(jié)束了吧。2000 多年來，圍繞平行公設(shè)的困惑和懷疑一直困擾著歐幾里得幾何學(xué)。現(xiàn)在，貝爾特拉米給出了對(duì)雙曲幾何學(xué)的具體解釋，作為一種合理的選擇，數(shù)學(xué)界持續(xù)了 2000 多年的壓抑終于得以暢快宣泄。這真是結(jié)束第二幕的好地方！

17完整故事見 Gray (1989)。

也可能不是……