2.2 無套利定價原理

2.2.1 金融市場中的套利行為

當投資者不需要進行凈投資就可以賺取無風險收益時，就存在套利機會。一個典型的例子就是當同一只股票在兩個不同的交易中以不同的價格交易。例如，假設IBM公司股票在紐約證券交易所賣195美元，而在納斯達克證券交易所僅僅賣193美元，你就可以從納斯達克證券交易所買入IBM公司股票，然后在紐約證券交易所賣出，在不動用任何資本的情況下每股股票可以賺取2美元的無風險收益。一價定律指出如果兩項資產在所有的經濟性方面均相同，那它們應該具有相同的市場價格。一價定律被套利者所利用：一旦發現有資產違背了這個定律，他們將進行套利活動——在價格低的地方買進資產同時在價格高的地方賣出資產。在這一過程中，他們將促使低價市場價格上揚，高價市場價格壓低，直到套利機會消失。

由于交易中傭金、稅費、信息成本、空間成本和時間成本等交易成本的存在，或者說套利障礙的存在，商業貿易中的套利行為實施起來比較麻煩。反過來說，這也是同一種商品在不同的地方價格會不一樣，有時價格還會相差很大的原因。但是金融市場中交易的金融產品就不同了，金融市場的獨特性使得影響套利的這些條件（交易傭金、交易稅費、信息成本、空間成本、時間成本）大大地減弱了。

（1）專業化、電子化交易市場的存在降低了買賣雙方尋求信息的成本，買賣雙方只需向市場組織者支付較低的交易費用。金融產品的標準化也大大簡化了買賣雙方對產品規格的定義，這是商品貿易所無法比擬的。

（2）由于金融產品的無形化，商品貿易中需要的空間成本在金融產品交易中就沒有了（或者很小）。我們知道，大部分的金融產品只是一個合約，一紙憑證，甚至只是一個賬戶的電子符號，而不像商品貿易中的實物，需要較大的存放空間和較高的運輸成本。

（3）金融市場存在的賣空機制大大增加了套利機會，在商品貿易中，一般只存在單向的套利機會，即初始價格過低時，存在先買進商品，而后再以高價賣出商品實現套利的機會。但是，如果初始價格過高，投資者在商品貿易中就不能先行賣出，即使存在套利機會，也無法實施套利。然而，金融市場就不同了。在允許賣空的金融市場中，賣空機制允許在沒有產品的情況下，可以先把它賣掉，而在未來的某個時間再買進對沖，即相當于可以先借別人的產品賣，而后再買進還給他。這種賣空機制使得金融市場的套利機會是雙向的，即不管價格是偏高還是偏低，只要存在定價的偏差，就可以套利。

（4）更重要的是，金融產品在時間和空間上的多樣性也使得套利更具多樣性。例如在時間上，就存在即期現貨市場和遠期市場（期貨市場），那么就可能通過現貨和期貨的定價偏差進行套利；又例如基于同種基礎資產的期權和期貨可能衍生出套利機會，交易所交易基金和它的成分股票也可能產生套利機會。

金融市場的上述獨特性使得套利成為金融市場的一種重要行為，它也成為金融理論的一個重要概念。現在我們給金融市場的無風險套利下個簡單定義。在金融理論中，套利是指一個能產生無風險收益的交易策略。這種套利是指純粹的無風險套利。但在實際市場中，套利一般是指一個預期只需承受很低風險的獲利策略，即可能會承擔一定的低風險，因此，許多情況都是指一種風險套利，只不過預期風險比預期收益小而已，純粹的無風險套利機會很難發現，即使有這種套利機會，它們也都是轉瞬即逝，并且套利幅度也很小。

2.2.2 無套利定價原理的含義及存在條件

不同于商品貿易，金融市場上實施套利行為非常方便和快速。這種套利的便捷性也使得金融市場套利機會的存在總是暫時的，因為一旦有套利機會，投資者就會很快實施套利而使得市場又回到無套利機會的均衡中。因此，無套利均衡被用于對金融產品進行定價。金融產品在市場的合理價格就是使得市場不存在無風險套利機會的價格，這就是無風險套利定價原理，簡稱為無套利定價原理。無套利定價原理主要有以下特征：

第一，無套利定價原理首先要求套利活動在無風險的狀態下進行。當然，在實際的交易活動中，純粹零風險的套利活動比較罕見。因此實際的交易者在套利時往往不要求零風險，所以實際的套利活動有很大一部分是風險套利活動。

第二，無套利定價的關鍵技術是所謂“復制”技術，即用一組證券來復制另外一組證券。復制技術的要點是使復制組合的現金流特征與被復制組合的現金流特征完全一致，復制組合的多頭（空頭）與被復制組合的空頭（多頭）互相之間應該完全實現頭寸對沖。由此得出的推論是，如果有兩個金融工具的現金流相同，但其貼現率不一樣，它們的市場價格必定不同。這時通過做空價格高者、做多價格低者，就能夠實現套利的目標。套利活動推動市場走向均衡，并使兩者的收益率相等。因此，在金融市場上，獲取相同資產的資金成本一定相等。產生完全相同現金流的兩項資產被認為完全相同，因而它們之間可以互相復制。而可以互相復制的資產在市場上交易時必定有相同的價格，否則就會發生套利活動。

第三，無風險的套利活動從當前現金流看是零投資組合，即套利者初始不需要投入任何資金，在投資期間也沒有任何的維持成本。在沒有賣空限制的情況下，套利者的零投資組合不管在未來發生什么情況，該組合的凈現金流都大于零。我們把這樣的組合稱為“無風險套利組合”。從理論上說，當金融市場出現無風險套利機會時，每一個交易者都可以構建無窮大的無風險套利組合來賺取無窮大的利潤。這種巨大的套利頭寸成為推動市場價格變化的力量，能夠迅速消除套利機會。所以，理論上只需要少數套利者（甚至一位套利者），就可以使金融市場上失衡的資產價格迅速回歸均衡狀態。

那么什么情況下市場不存在套利機會呢，我們首先看一下無風險套利機會存在的等價條件。第一，存在兩個不同的資產組合，它們的未來收益相同，但它們的成本卻不同；在這里，可以簡單把收益理解成是現金流。如果現金流是確定的，則相同的收益是指相同的現金流。如果現金流是不確定的，即未來存在多種可能性（或者說存在多種狀態），則相同的收益是指在相同狀態下現金流是一樣的。第二，存在兩個相同成本的資產組合，但是第一個組合在所有的可能狀態下的收益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態，在此狀態下第一個組合的收益要大于第二個組合的收益。第三，一個組合的構建成本為零，但在所有可能狀態下，這個組合的收益都不小于零，而且至少存在一種狀態，在此狀態下這個組合的收益要大于零。

無套利定價原理的基本思想就是指有效的市場是不存在無風險套利機會的。即使市場存在套利機會，那也是非常暫時的，因為套利機會馬上就會被投資者發現并實施，市場將重新回到無套利均衡狀態。

一個資產未來收益的現金流可能是確定的，也可能是不確定的。一般來說，固定收益類證券的未來收益是確定的，比如債券。而股權類證券的未來收益是不確定的，比如股票，投資者根本不知道它的未來價格及其分紅情況。但是，不管是確定狀態的收益，還是不確定狀態的收益，都可以應用無套利定價原理進行定價。

2.2.3 確定狀態下無套利定價原理的應用

1.同收益同價格

如果兩種證券具有相同的收益，則這兩種證券具有相同的價格，我們稱為同收益同價格。

假設兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元（到期時都獲得100元現金流，即到期時具有相同的收益）。如果債券A的當前價格為98元，并假設不考慮交易成本和違約情況，那么按照無套利定價原理，債券B與債券A具有一樣的收益（現金流），所以債券B的合理價格也應該為98元，當債券B的價格為97.5元時，說明債券B的價值被市場低估了，那么債券B與債券A之間存在套利機會。實現套利的方法很簡單，買進價值低估的資產——債券B，賣出價值高估的資產——債券A。所以，套利的策略就是賣空債券A，獲得98元，用其中的97.5元買進債券B，這樣套利的盈利為0.5元，在1年后的到期日，債券B的面值剛好用于支付賣空債券A的面值。

2.靜態組合復制定價

如果一個資產組合的收益等同于一個證券，那么這個資產組合的價格等于這個證券的價格。這個資產組合成為證券的“復制組合”，稱之為靜態組合復制定價。

假設3種零息票的債券面值都為100元，它們當前的市場價格分別為：1年后到期的零息票債券的當前價格為98元；2年后到期的零息票債券的當前價格為96元；3年后到期的零息票債券的當前價格為93元，并假設不考慮交易成本和違約情況，問：如果有一個債券的票面利率為10%，1年支付1次利息，期限為三年，那么這個債券的當前價格應該為多少？如果這個債券的當前價格為120元，是否存在套利機會，如果有，如何套利？

對于債券的當前價格，我們只要構造一個復制組合就可以了。先看票面利率為10%，1年支付1次利息，三年后到期的債券收益情況。面值為100元，票面利率為10%，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息均為10元，在第3年末另外還支付本金面值100元。那么構造同收益的復制組合為：購買0.1張的1年后到期的零息票債券，其收益剛好為100×0.1=10元；購買0.1張的2年后到期的零息票債券，其收益剛好為100×0.1=10元；購買1.1張的3年后到期的零息票債券，其收益剛好為100×1.1=110元。所以該復制組合的收益就與票面利率為10%，1年支付1次利息的三年后到期債券的收益一樣，因此根據無套利定價原理的第二個推論，具有相同收益情況下證券的價格就是復制組合的價格，所以票面利率為10%，1年支付1次利息，三年后到期的債券的當前價格應該為：0.1×98+0.1×96+1.1×93=121.7元。

對于套利，這個債券的當前價格為120元，小于當前市場價格121.7元，因此根據無套利定價原理，存在套利機會，由于市場低估了這個債券的價值，則應該買進這個債券，然后賣空無套利定價原理中的復制組合，即：買進1張票面利率為10%，1年支付1次利息，三年后到期的債券；賣空0.1張的1年后到期的零息票債券；賣空0.1張的2年后到期的零息票債券；賣空1.1張的3年后到期的零息票債券。這樣可以套利121.7-120=1.7元。

3.動態組合復制定價

如果一個自融資交易策略最后具有和一個證券相同的收益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成本，這是動態套期保值策略。自融資交易策略所產生的資產組合的價值變化完全是由于交易的盈虧引起的，而不是另外增加現金投入或現金取出。一個最簡單的例子就是購買并持有策略，這被稱為動態組合復制定價。

假設從現在開始1年后到期的零息票債券A的價格為98元，從1年后開始，在2年后到期的零息票債券B的價格恰好也為98元，并且假設不考慮交易成本和違約情況，那么問：從現在開始2年后到期的零息票債券C的價格為多少？如果從現在開始2年后到期的零息票債券的價格為97元，是否存在套利機會，如果有，如何套利？

與前面不同的是，在這個例子中我們不能簡單地在當前時刻就構造好一個復制組合，而必須進行動態的交易來構造復制組合。從現在開始2年后到期的零息票債券C的收益為在2年后獲得本金100元，這等同于從1年后開始，在2年后到期的零息票債券B的收益情況，而獲得債券B的成本是第1年末的98元，那么如何獲得第1年末的98元呢？購買0.98份的現在開始1年后到期的零息票債券A，所以自融資交易策略的收益等同于一個證券的收益時，這個證券的價格就等于自融資交易策略的成本，這個自融資交易策略就是：先在當前購買0.98份債券A，在第1年末0.98份債券A到期時，獲得0.98×100=98元，在第1年末再用獲得的98元去購買1份債券C。

上述自融資交易策略的收益就是在第2年末獲得本金100元，這等同于一個現在開始2年后到期的零息票債券的收益，所以這個自融資交易策略的初始成本為：98×0.98=96.04元。這就是債券C的價格。

對于套利，如果現在開始2年后到期的零息票債券C的價格為97元，則存在套利機會，市場高估了債券C的價值，所以我們考慮賣空它，并利用自融資交易策略進行套利，構造的套利策略如下：賣空1份債券C，獲得97元，所承擔的義務是在2年后支付100元；在獲得的97元中取出96.04元，購買0.98份債券A；購買的債券A到期，在第1年末獲得98元，再在第1年末用獲得的98元購買1份第2年末到期的1年期零息票債券B；在第2年末，債券B到期獲得100元，用于支付賣空1份債券C的100元。該套利策略盈利為97-96.04=0.96元。

4.存在交易成本時的無套利定價原理

在前面幾個例子中，我們都忽略了交易成本。比如，進行交易時需要向交易所支付一定的費用，還要向經紀公司支付一定的傭金以及需要交一定的稅費，而且在賣空時，可能還需要支付另外的賣空費用等。當存在交易成本時，那么所構造的套利策略不一定能獲利。因為，通過套利策略獲得的收益可能還不夠支付交易成本。所以，無套利定價原理不一定能給出金融產品的確切價格，但可以給出一個產品的價格區間，或者說價格的上限和下限。實際市場情況比較復雜，有時準確的上限和下限都很難具體給出。下面我們來看一個簡單的例子。

假設有兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元，到期時都獲得100元現金流，假設購買債券不需要交易費用且不考慮違約情況，但是賣空1份債券需要支付1元的交易費用，并且出售債券也需要支付1元的交易費用，如果債券A的當前價格為98元，那么債券B的當前價格應該為多少呢，如果債券B的當前價格為97.5元，是否存在套利機會，如果有，如何套利呢？

按照無套利定價原理，在沒有交易成本時，債券B的合理價格為98元，不管大于或小于98元，都存在套利機會。如果賣空和出售債券需要支付交易費用，那么是否當債券B的價格不等于98元時，就存在套利機會呢？比如債券B的當前價格為97.5元，按照前面的套利思路，賣空債券A獲得98-1=97元（賣空A需要支付1元的交易費用），但是97元不夠用于買進債券B，這樣就無法進行無風險套利。所以，當賣空和出售債券需要支付交易費用的情況下，上述套利策略就變得不能套利，這種情況下無套利定價原理是無法給出確切價格的，只能給出一個定價區間。

價格下限的確定。首先假設無交易成本時利用無套利定價原理計算得到債券B的理論價格，然后用理論價格減去賣空債券A的交易費用，即可得到債券B的價格下限為98-1=97元，當債券B的市場價格小于97元時，應該采用的策略為：賣空債券A，買進債券B。此時買進債券B的成本小于賣空債券A的凈收益，套利策略能夠獲利。

價格上限的確定。首先假設無交易成本時利用無套利定價原理計算得到債券B的理論價格，然后用理論價格加上賣空債券B的交易費用，即可得債券B的價格上限為98+1=99元，當債券B的市場價格大于99元時應該采用的套利策略為：賣空債券B，買進債券A。此時賣空債券B的凈收益大于買進債券A的成本，套利策略能夠獲利。

因此在賣空和出售債券需要支付1元交易費用的情況下，債券B的合理價格區間為［97，99］，當債券B的價格低于下限97元時，可以通過賣空債券A，買進債券B獲利；當債券B的價格高于上限99元時，可以通過賣空債券B，買進債券A獲利。因為債券B的當前價格是97.5元，落在此區間內，將無法使用套利策略獲得收益。

雖然債券B的價格落在區間［97，99］內將無法獲得套利機會，但是實際上當債券B的價格小于債券A的價格時，投資者會傾向于購買債券B，反之則購買債券A，因此債券B的價格會接近債券A的價格。

下面我們不僅考慮賣空成本和出售債券成本，而且還要考慮買進成本。假設兩個零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天到期，其面值為100元，到期時都獲得100元現金流，假設不考慮違約情況，賣空1份債券需要支付1元的費用，出售1份債券也需要支付1元的費用，買入1份債券需要支付0.5元的費用，如果債券A的當前價格為98元。問：債券B的當前價格應該為多少，如果債券B的當前價格為97.5元，是否存在套利機會，如果有，如何套利？

價格下限的確定。無交易成本時債券B的理論價格減去賣空A和買進B的交易費用。當債券B的市場價格低于價格下限時的套利策略為賣空A買進B，此策略要獲得正收益的條件是賣空A的凈收益大于買進B的總成本，賣空A的凈收益為98-1=97元，買進B的總成本等于B的市場價格加0.5元，因此B的市場價格應小于97-0.5=96.5元，此時具有套利空間。

價格上限的確定。無交易成本時債券B的理論價格加上賣空B和買進A的交易費用。當債券B的市場價格高于價格上限時的套利策略為賣空B買進A，此策略要獲得正收益的條件為賣空B的凈收益要大于買進A的總成本，買進A的總成本為98+0.5=98.5元，賣空B的凈收益為B的市場價格減1元，因此B的市場價格應大于98.5+1=99.5元，此時具有套利空間。因此債券B的無套利價格區間為［96.5，99.5］元，不存在套利機會。

存在交易成本時，我們可以先不考慮交易成本，根據無套利定價原理計算出理論價格，然后再根據此價格減去最小交易成本確定為下限價格，理論價格加上最小交易成本為上限價格。

2.2.4 不確定狀態下無套利定價原理的應用

第2.2.3節中，未來的收益都是在當前就確定的，但在實際市場中，很多產品的未來收益是不確定的，要根據未來的事件來確定。比如一只股票的價格隨時間變化，因此它的未來收益現在還不能確定，下面來討論這種未來收益不確定情況下的無套利定價原理。

1.同收益同價格

假設有一個風險證券A，當前的市場價格為100元，1年后的市場價格會出現兩種可能的狀態：在狀態1時證券A價格上升至105元，在狀態2時證券A價格下跌至95元。同樣，也有一個證券B，它在1年后的損益為，在狀態1時上升至105元，在狀態2時下跌至95元，假設不考慮交易成本。問：證券B的合理價格為多少？如果證券B的價格為99元，是否存在套利機會，如果有，如何套利？

這個例子與前面幾個例子的不同之處在于，前面例子中的資產為債券，其未來的收益是確定的，但本例中的資產為風險證券，其未來的收益有上漲和下跌兩種可能，即未來的狀態不確定。但根據無套利定價原理，只要兩種證券的收益完全一樣，那么它們的價格也應該是一樣的，因此證券B的合理價格也應該為100元。對于第二個問題，當證券B的價格為99元時，存在套利機會，只要賣空證券A買進證券B，即可套利1元。

2.靜態組合復制定價

假設有一風險證券A，當前的市場價格為100元，1年后的市場有兩種狀態，在狀態1時證券A價格上升至105元，在狀態2時證券A價格下跌至95元。同樣有一證券B，它在1年后的市場也有兩種狀態，在狀態1時上升至120元，在狀態2時下跌至110元，假設借貸資金的年利率均為0，并且不考慮交易成本。問：證券B的合理價格為多少？如果證券B現在的價格為111元，是否存在套利機會，如果有，如何套利？

我們現在考慮如何利用證券A和借貸資金來構建一個與證券B收益相同的組合。證券A、證券B和資金借貸的收益狀態如圖2-6所示。

我們把資金借貸看成另一種無風險證券，它的當前價格為1元，由于年利率為0，在1年后的收益仍然為1元。現在我們構建一個組合：x份證券A和y份的資金借貸（y大于0為借出資金，y小于0為借入資金），要使得組合的收益與證券B的收益完全相同，則：

解得：x=1，y=15，因此，持有1份證券A和借出15份現金的組合的收益與持有1份證券B的收益完全相同，所以證券B的價格等于組合的價格，即1×100+15×1=115元。

對于套利，當證券B的當前價格為111元時，存在套利機會，構造一個套利策略：買進證券B，賣空證券A，借入資金15元，買進證券B的成本為111元，賣空證券A可得100元，加上借入資金15元，還剩下4元，由于組合的收益與證券B的收益完全相同，所以期末現金流為0，期初剩下的4元即為套利策略的盈利。

3.動態組合復制定價

把上述例子中的市場未來狀態從2種擴展到3種，證券A在1年后的未來收益為：狀態1時為110.25元，狀態2時為99.75元，狀態3時為90.25元。證券B在1年后三種狀態下的未來收益分別為125元、112.5元和109元，假設借貸資金的年利率為5.06%，半年期利率為2.5%，不考慮交易成本（見圖2-7）。問：證券B的合理價格為多少？如果證券B的價格為111元，是否存在套利機會，如果存在，如何套利？

如果按照靜態組合復制定價的方法，我們用x份的證券A和y份的資金借貸來構造證券B，則應該有以下的等式。

但是上述方程組無解，這是因為當損益存在三種狀態時，僅僅依靠兩種證券的組合無法復制出任意一種擁有三種狀態的證券。這在金融學中稱為不完全市場，不完全市場是指存在一種收益形式，它無法通過持有市場中存在的證券組合來實現。但是，在某些條件下，隨著時間而調整組合的動態組合策略可復制出依靠靜態組合無法復制的證券。

下面我們看如何通過證券A和資金借貸的動態組合復制出證券B。動態組合是指隨時間變化進行調整的組合，所以我們把1年的持有期拆成兩個半年，這樣在半年后就可以對組合進行調整。假設證券A在半年后的損益，在兩種狀態下分別為105元和95元，但證券B在半年后兩種狀態下的損益事先不知道。證券A和證券B的兩期三狀態損益如圖2-8所示，資金借貸的兩期三狀態損益如圖2-9所示。

首先來看動態策略的構造方法。

第一步，分解圖2-8中第二期的三狀態損益圖。

證券A在第二期價格為105時（見圖2-10）：

證券A在第二期價格為95時（見圖2-11）：

按照靜態組合復制中求解組合的方法，即求解以下的方程。

（1）證券A在第二期價格為105時：

解得：x=1.19，y=-5.90，根據無套利定價原理，求得證券B此時的價格為

（2）證券在第二期價格為95時：

解得：x=0.368，y=72.14，同樣可求得證券B在此時的價格為

第二步，根據第一步得到的和繼續應用靜態組合復制方法計算（見圖2-12）：

根據圖2-12，構造的靜態組合復制方程如下：

解得：x=1，y=13.56，所以可求得證券B的價格為

PB=1×100+13. 56×1=113. 56（元）

對于套利，同樣可根據市場價格與理論價格之間的大小來構造套利組合，當證券B的市場價格為111元時，小于理論價格113.56元，存在套利機會，可賣空證券A得到100元，借入現金13.56元，其中111元用于購買證券B，因此可以獲得2.56元的盈利。