1.1　有限元法簡介

有限元法的基本概念：把一個連續的物體劃分為有限個單元，這些單元通過有限個節點相互連接，承受與實際載荷等效的節點載荷，并根據力的平衡條件進行分析，然后根據變形協調條件把這些單元重新組合，使其能夠作為一個整體進行綜合求解。

1.1.1　有限元法的基本思想

工程或物理問題的數學模型（基本變量、基本方程、求解域和邊界條件等）確定以后，有限元法作為對其進行分析的數值計算方法的基本思想可簡單概括為如下3點。

（1）將一個表示結構或連續體的求解域離散為若干個子域（單元），并通過它們邊界上的節點將它們相互連接為一個組合體，如圖1-1所示。

（2）用每個單元內假設的近似函數來分片地表示全求解域內待求解的未知場變量。而每個單元內的近似函數由未知場函數（或其導數）在單元各個節點上的數值和與其對應的插值函數來表示。由于在連接相鄰單元的節點上，場函數具有相同的數值，因此將它們作為數值求解的基本未知量。這樣一來，求解原待求場函數的無窮多自由度問題轉換為求解場函數節點值的有限自由度問題。

（3）利用和原問題數學模型（例如基本方程、邊界條件等）等效的變分原理或加權余量法，建立求解基本未知量（場函數節點值）的代數方程組或常微分方程組。此方程組為有限元求解方程，并表示成規范化的矩陣形式，接著用相應的數值方法求解該方程，從而得到原問題的解答。

1.1.2　有限元法的特點

有限元法具有以下特點。

（1）對復雜幾何構形的適應性。由于單元在空間上可以是一維、二維或三維的，而且每一種單元可以有不同的形狀，同時各單元之間可以采用不同的連接方式，所以，實際工程中遇到的非常復雜的結構或構造都可以離散為由單元組合體表示的有限元模型。圖1-2所示為一個三維實體的單元劃分模型。

（2）對各種物理問題的適用性。由于用單元內近似函數分片地表示全求解域的未知場函數，并未限制場函數所滿足的方程形式，也未限制各個單元所對應的方程必須有相同的形式，因此它不僅適用于各種物理問題，例如線彈性問題、彈塑性問題、黏彈性問題、動力問題、屈曲問題、流體力學問題、熱傳導問題、聲學問題、電磁場問題等，還適用于各種物理現象相互耦合的問題。圖1-3所示為一個熱應力問題應用。

（3）建立于嚴格理論基礎上的可靠性。因為用于建立有限元方程的變分原理或加權余量法在數學上已證明是微分方程和邊界條件的等效積分形式，所以只要原問題的數學模型是正確的，同時用來求解有限元方程的數值算法是穩定可靠的，則隨著單元數目的增加（即單元尺寸的縮小）或者單元自由度數的增加（即插值函數階次的提高），有限元解的近似程度會不斷地被提高。如果單元是滿足收斂準則的，則近似解最后收斂于原數學模型的精確解。

（4）適合計算機實現的高效性。由于有限元分析的各個步驟可以表達成規范化的矩陣形式，最后使求解方程可以統一為標準的矩陣代數問題，因此它特別適合計算機的編程和求解。隨著計算機硬件技術的高速發展及新的數值算法的不斷出現，大型復雜問題的有限元分析已成為工程技術領域的常規工作。