1.3.1　黃金分割與斐波那契數(shù)

將任一線段分割成兩段，使，如圖1.9所示，這樣的分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，大小為，也稱黃金率、中末比、黃金分割數(shù)、上帝的比例、神圣分割等。黃金比是工藝、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，它體現(xiàn)了恰到好處的和諧美。

圖1.9　黃金分割示意圖

在數(shù)學(xué)中，黃金分割與斐波那契數(shù)列有著緊密聯(lián)系。首先我們從數(shù)學(xué)的角度解讀《道德經(jīng)》里“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”這段話，我們能獲得一些很有意思的與斐波那契數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想。

圖1.10　斐波那契數(shù)列

如圖1.10，從1開始，在1后面再寫一個(gè)1，依次把兩個(gè)數(shù)相加的和寫在后面，我們能得到這樣一個(gè)無(wú)限數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…這個(gè)數(shù)列就是數(shù)學(xué)中著名的斐波那契數(shù)列（一個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)都為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和）。我們熟知的楊輝三角（圖1.11）也暗藏斐波那契數(shù)列，如圖1.12所示，各斜線方向上的數(shù)之和恰好是斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)。

圖1.11　楊輝三角

圖1.12　對(duì)楊輝三角所做的變換

斐波那契數(shù)列中的任一數(shù)，稱為斐波那契數(shù)。人們發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)出現(xiàn)在大自然的許多場(chǎng)合里。比如，大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰好是斐波那契數(shù)，樹杈的數(shù)目也是斐波那契數(shù)（圖1.13）。

圖1.13　按斐波那契數(shù)列增長(zhǎng)的樹杈

對(duì)于斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，…，從第1項(xiàng)起，依次把這一項(xiàng)的數(shù)與它后面相鄰一項(xiàng)的數(shù)，寫成這樣的分?jǐn)?shù)形式，一直寫下去，越來(lái)越接近值，這個(gè)數(shù)就是黃金比的值。