三、按照控制的發(fā)展歷程分類(lèi)

按照控制理論的發(fā)展歷程，有傳統(tǒng)控制理論、經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論、智能控制理論等。

（一）傳統(tǒng)控制

傳統(tǒng)控制是控制理論發(fā)展的早期階段，主要基于如下三種經(jīng)典的控制方法。

1.PID控制 （比例-積分-微分控制）

PID控制適用于一些相對(duì)簡(jiǎn)單、線性的系統(tǒng)，通過(guò)調(diào)節(jié)比例、積分和微分參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制。廣泛應(yīng)用于工業(yè)過(guò)程控制中。

2.根軌跡法

根軌跡法根據(jù)系統(tǒng)特征方程的根隨參數(shù)變化的軌跡來(lái)設(shè)計(jì)控制器參數(shù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足性能指標(biāo)。

3.頻率響應(yīng)法

頻率響應(yīng)法通過(guò)分析系統(tǒng)的頻率特性（如伯德圖、奈奎斯特圖等）來(lái)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定裕度和性能。

（二）經(jīng)典控制

經(jīng)典控制理論包含三種理論，即線性控制理論、采樣控制理論和非線性控制理論。

1.線性控制理論

線性控制理論（Linear Control Theory）是系統(tǒng)與控制理論中最成熟和最基礎(chǔ)的一個(gè)分支，是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。系統(tǒng)與控制理論的其他分支都不同程度地受到線性控制理論的概念、方法和結(jié)果的影響和推動(dòng)。

系統(tǒng)是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分，按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體，如工程系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。在系統(tǒng)理論中，常常抽去具體系統(tǒng)的物理或社會(huì)含義，而將其抽象化為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)加以研究，這種處理方法有助于揭示系統(tǒng)的一般特性。系統(tǒng)最基本的特征是它的整體性，線性系統(tǒng)是實(shí)際系統(tǒng)的一類(lèi)理想化模型，而系統(tǒng)與控制理論中主要研究的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通常可用一組微分方程或差分方程來(lái)表征。所以，當(dāng)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，稱(chēng)相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)是一類(lèi)最簡(jiǎn)單且研究得最多的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

嚴(yán)格地說(shuō)，一切實(shí)際的系統(tǒng)都是非線性的，真正的線性系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界中是不存在的。但是，很多實(shí)際系統(tǒng)的某些主要關(guān)系特性在一定的范圍和條件下，可以精確地用線性系統(tǒng)來(lái)近似表示。因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，線性系統(tǒng)或者可線性化的系統(tǒng)是大量存在的，而這正是研究線性系統(tǒng)的實(shí)際背景。

簡(jiǎn)言之，線性系統(tǒng)理論主要研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和改變這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可能性方法，揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能之間確定的和定量的關(guān)系，建立合理的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。對(duì)于線性系統(tǒng)，常用的模型有時(shí)間域模型和頻率域模型，時(shí)間域模型比較直觀，而頻率域模型則是一個(gè)更強(qiáng)大的工具，數(shù)學(xué)模型建立的基本途徑一般都通過(guò)解析法和實(shí)驗(yàn)法。在系統(tǒng)中加入控制部分來(lái)達(dá)到期望的性能，為數(shù)學(xué)模型提供了解決問(wèn)題的可能性。

經(jīng)典的線性控制理論以拉普拉斯變換為主要工具，模型是傳遞函數(shù)，分析和綜合方法是頻率響應(yīng)法，在20世紀(jì)50年代業(yè)已成熟。后來(lái)，一些新的數(shù)學(xué)工具相繼得到了運(yùn)用，如計(jì)算機(jī)技術(shù)等推動(dòng)了線性系統(tǒng)理論的進(jìn)一步發(fā)展和在實(shí)際中的廣泛運(yùn)用。特別是在航天技術(shù)興起的推動(dòng)下，線性系統(tǒng)理論在1960年前后開(kāi)始了從經(jīng)典到現(xiàn)代階段的過(guò)渡，其重要標(biāo)志之一是卡爾曼（R. E. Kalman）系統(tǒng)地把狀態(tài)空間法引入到系統(tǒng)和控制理論中。并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了能控性和能觀測(cè)性?xún)蓚€(gè)表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的重要概念，這是線性系統(tǒng)理論中兩個(gè)最基本的概念。建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的線性系統(tǒng)的分析和綜合方法通常稱(chēng)為現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論。自20世紀(jì)60年代中期以來(lái)，線性系統(tǒng)理論出現(xiàn)了從幾何方法角度研究線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性的幾何理論，出現(xiàn)了以抽象代數(shù)為工具的代數(shù)理論，還出現(xiàn)了在推廣經(jīng)典頻率法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的多變量頻域理論。與此同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，線性系統(tǒng)分析和綜合中的計(jì)算問(wèn)題，以及利用計(jì)算機(jī)對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行輔助分析和輔助設(shè)計(jì)的問(wèn)題也都得到了廣泛和充分的研究。

2.采樣控制理論

采樣控制系統(tǒng)的組成原理、基本特性和分析設(shè)計(jì)方法是經(jīng)典控制理論中的一個(gè)分支。采樣控制系統(tǒng)不同于連續(xù)控制系統(tǒng)，它的特點(diǎn)是系統(tǒng)中一處或幾處的信號(hào)具有脈沖序列或數(shù)字序列的形式。應(yīng)用采樣控制有利于提高系統(tǒng)的控制精度和抗干擾能力，也有利于提高控制器的利用率和通用性。

（1）采樣控制的概念 隨著微型計(jì)算機(jī)的普及，采樣控制更顯示出其優(yōu)越性。在采樣控制理論中主要采用頻率域方法，它以Z變換為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又稱(chēng)Z變換法。通過(guò)引入Z變換，在連續(xù)控制系統(tǒng)研究中所采用的許多基本概念，如傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)和分析設(shè)計(jì)法，如穩(wěn)定性和過(guò)渡過(guò)程的分析方法，控制系統(tǒng)校正方法等都可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整而推廣應(yīng)用于采樣控制系統(tǒng)。

在現(xiàn)代控制理論中，與采樣控制系統(tǒng)屬于同一范疇的離散系統(tǒng)的分析主要采用時(shí)域方法，它是建立在狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上的，故又稱(chēng)為狀態(tài)空間法。

（2）采樣控制內(nèi)容 采樣控制系統(tǒng)按組成原理分為一般采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)。一般采樣控制系統(tǒng)組成如圖1-8所示。圖中測(cè)量元件的作用是將受控對(duì)象的輸出變量變換為適當(dāng)?shù)奈锢砹恳詫?shí)現(xiàn)反饋，校正裝置的作用是使控制系統(tǒng)獲得令人滿意的性能。與一般連續(xù)型反饋控制系統(tǒng)不同的是，它包含信號(hào)采樣和復(fù)原的裝置。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱(chēng)為采樣器，通常接于誤差信號(hào)e（t）的作用點(diǎn)。采樣器最常見(jiàn)的形式是采樣周期為常數(shù)的等速采樣。當(dāng)系統(tǒng)中包含有幾個(gè)采樣器時(shí)，它們的采樣周期必須相等，相位必須同步。一切具有開(kāi)關(guān)功能的裝置，如機(jī)械開(kāi)關(guān)、數(shù)字電路、掃描裝置等都可用來(lái)作為采樣器。連續(xù)信號(hào)e（t）通過(guò)采樣器時(shí)，隨著采樣開(kāi)關(guān)的重復(fù)閉合和斷開(kāi)，變換為一個(gè)周期脈沖序列e（t）。e（t）的值在采樣開(kāi)關(guān)閉合瞬間等于e（t），而在開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)等于零。由于受控對(duì)象常常是一個(gè)具有連續(xù)特性的系統(tǒng)，為了使脈沖序列e（t）中的高頻分量不致對(duì)它構(gòu)成干擾和引起機(jī)械部件的損壞，e（t）在作用于連續(xù)部件之前需要通過(guò)具有濾波功能的裝置復(fù)原為連續(xù)信號(hào)，這類(lèi)復(fù)原裝置被稱(chēng)為保持器。最簡(jiǎn)單的保持器是一個(gè)低通濾波器，它能將脈沖序列轉(zhuǎn)換成在兩個(gè)相鄰采樣瞬時(shí)之間保持常值的一個(gè)階梯信號(hào)，通常稱(chēng)為零階保持器。它的傳遞函數(shù)如圖1-9所示，其中T為脈沖序列的周期。

數(shù)字控制系統(tǒng)是采樣控制系統(tǒng)中一種重要的類(lèi)型，數(shù)字控制系統(tǒng)如圖1-10所示，除了包含信號(hào)的采樣和復(fù)原外，還包含信號(hào)量化和復(fù)原的過(guò)程。把信號(hào)幅值變換為數(shù)字計(jì)算機(jī)可接收的數(shù)碼稱(chēng)為量化，相應(yīng)的部件稱(chēng)為模-數(shù)轉(zhuǎn)換器，或A-D轉(zhuǎn)換器，使數(shù)碼恢復(fù)為信號(hào)幅值的裝置則稱(chēng)為數(shù)-模轉(zhuǎn)換器，或D-A轉(zhuǎn)換器。通常，數(shù)-模轉(zhuǎn)換器同時(shí)也具備保持器的功能。對(duì)信號(hào)進(jìn)行量化的結(jié)果使其有可能采用數(shù)字計(jì)算機(jī)作為校正裝置，通過(guò)編制相應(yīng)的程序，以實(shí)現(xiàn)按控制規(guī)律所要求的信號(hào)校正。數(shù)字校正裝置在通用性和精確性方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

采樣過(guò)程的數(shù)字處理為簡(jiǎn)化問(wèn)題處理，在采樣控制理論中，將連續(xù)信號(hào)e（t）經(jīng)過(guò)采樣器得到的周期性脈沖序列e（t）理想化為一個(gè)數(shù)字函數(shù)序列，它的表達(dá)式為

式中，T為采樣周期；e（kT）為連續(xù)信號(hào)e（t）在采樣瞬時(shí)kT（k=0，1，2，…）的值；符號(hào)∑表示所列變量的求和；δ（t-kT）為作用于kT時(shí)刻的單位脈沖函數(shù)，它的定義是為了使采樣信號(hào)能恢復(fù)到原連續(xù)信號(hào)，采樣周期T的值不能任意選取，必須符合香農(nóng)定理所給出的條件，即要求不等式T＜π/ω1成立，其中ω1是原連續(xù)信號(hào)的幅頻譜的上限頻率，它的含義是信號(hào)的傅里葉變換后振蕩分量中不包含頻率大于ω1的諧波分量。

（3）采樣控制的特性

1）物理意義：采樣過(guò)程是輸入信號(hào)e（t）對(duì)單位理想脈沖系列δT（t）進(jìn)行幅值調(diào)節(jié)的過(guò)程。可見(jiàn)，e（kT）只描述了e（t）在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，故δT（t）不能給出連續(xù)函數(shù)e（t）在采樣間隔之間的信息。采樣的拉氏變換F*（s）與連續(xù)信號(hào)e（t）的拉氏變換F（s）類(lèi)似，如e（t）為有理數(shù)，則F*（s）也總可以表示為有理函數(shù)形式。

2）采樣系統(tǒng)的基本特性：在采樣控制理論中，系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都是建立在脈沖傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的。脈沖傳遞函數(shù)表征采樣系統(tǒng)的輸出和輸入關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比來(lái)表示。

3）采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性：如果已知采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G（z）=N（z）/D（z），那么系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程D（z）=0的根均位于z復(fù)數(shù)平面上圍繞原點(diǎn)的半徑為1的單位圓內(nèi)。常用的判斷采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法。

①代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：利用雙線性變換可把z復(fù)數(shù)平面上單位圓內(nèi)部映射到r復(fù)數(shù)平面上除虛軸以外的左半平面內(nèi)。因此D（z）=0的根均位于z平面的單位圓內(nèi)，等價(jià)于Z=（r+1）/（r-1）的根均位于r平面的左半平面內(nèi)。通過(guò)對(duì)D（r）=0運(yùn)用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，可判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

②奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：對(duì)反饋中不包含環(huán)節(jié)的采樣控制系統(tǒng)，用G0（z）=N0（z）/D0（z）表示斷開(kāi)反饋（見(jiàn)反饋控制系統(tǒng)）時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。D0（z）=0為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)特征方程。當(dāng)復(fù)數(shù)變量z由z平面的（1，j0）點(diǎn)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜃兓瘯r(shí)，在G0（z）復(fù)數(shù)平面上做出相應(yīng)的G0（z）的軌線。那么，當(dāng)G0（z）軌線沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1，j0）點(diǎn)的次數(shù)恰好等于D0（z）=0在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)時(shí)，采樣控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這是連續(xù)控制系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的推廣。

③根軌跡法：運(yùn)用于采樣系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G0（z）可分析采樣反饋系統(tǒng)的特征方程根的分布，從而可用來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

除了常用的上述判斷采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，還需要了解下面幾個(gè)概念：

①采樣系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)：采樣系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是指典型輸入作用下，系統(tǒng)輸出的響應(yīng)。用R（z）表示輸入作用r（t）的Z變換，G（z）表示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，則輸出響應(yīng)c（t）的Z變換C（z）=G（z）R（z）。通過(guò)對(duì)C（z）求Z變換的反變換即可定出c（t）。通常分析結(jié)果只能反映瞬態(tài)響應(yīng)在采樣時(shí)刻kT（k=0，1，2，…）上的函數(shù)值。

②采樣控制系統(tǒng)的校正：校正是通過(guò)引入某種裝置使控制系統(tǒng)具有所期望的性能指標(biāo)的方法。常用的校正裝置類(lèi)型有模擬校正裝置和數(shù)字校正裝置。在一般采樣控制系統(tǒng)中采用模擬校正裝置，它們常用電阻和電容組成一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)。在數(shù)字控制系統(tǒng)中，采用數(shù)字校正裝置，它用數(shù)字處理或數(shù)字計(jì)算的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的校正，常可通過(guò)編制相應(yīng)的算法程序，由計(jì)算機(jī)來(lái)完成。

③數(shù)字控制器的優(yōu)點(diǎn)：能以較高的準(zhǔn)確度來(lái)實(shí)現(xiàn)所要求的復(fù)雜運(yùn)算，而且只需要通過(guò)改變程序就可產(chǎn)生不同的控制校正作用。相應(yīng)的連續(xù)控制系統(tǒng)校正裝置的設(shè)計(jì)方法（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）在經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男拚螅捎糜谠O(shè)計(jì)采樣控制系統(tǒng)的校正裝置。

3.非線性控制理論

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程的分析要求日益提高，各種較為精確的分析和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，任何一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)都是非線性的。所謂線性只是對(duì)非線性的一種簡(jiǎn)化或近似，或者說(shuō)是非線性的一種特例，如最簡(jiǎn)單的歐姆定理。

歐姆定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為U=IR。此式說(shuō)明，電阻兩端的電壓U與通過(guò)它的電流I成正比，這是一種簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。但是，即使對(duì)于這樣一個(gè)最簡(jiǎn)單的單電阻系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其動(dòng)態(tài)特性嚴(yán)格說(shuō)來(lái)也是非線性的。因?yàn)楫?dāng)電流通過(guò)電阻以后就會(huì)產(chǎn)生熱量，溫度就會(huì)升高，而阻值隨溫度的升高就會(huì)發(fā)生變化。

（1）非線性控制的概念 人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界和改造世界的歷史進(jìn)程總是由低級(jí)到高級(jí)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由表及里的縱深發(fā)展過(guò)程。在控制領(lǐng)域也是一樣，最先研究的控制系統(tǒng)都是線性的，例如，瓦特蒸汽機(jī)調(diào)節(jié)器、液面高度的調(diào)節(jié)等。這是由于受到人類(lèi)對(duì)自然現(xiàn)象認(rèn)識(shí)的客觀水平和解決實(shí)際問(wèn)題的能力的限制，而對(duì)線性系統(tǒng)的物理描述和數(shù)學(xué)求解是比較容易實(shí)現(xiàn)的事情，并且已經(jīng)形成了一套完整的線性理論和分析研究方法。

但是，對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，除極少數(shù)情況外，還沒(méi)有一套可行的通用方法，而且每種方法只能針對(duì)某一類(lèi)問(wèn)題有效，不能普遍適用。所以，對(duì)非線性控制系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和處理，基本上還處于初級(jí)階段。另外，從對(duì)控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確度要求來(lái)看，用線性系統(tǒng)理論處理絕大多數(shù)工程技術(shù)問(wèn)題，在一定范圍內(nèi)都可以得到令人滿意的結(jié)果。

因此，一個(gè)系統(tǒng)的非線性因素常常被忽略，或者被各種線性關(guān)系所代替。這就是線性系統(tǒng)理論發(fā)展迅速并趨于完善，而非線性控制理論長(zhǎng)期得不到重視和發(fā)展的主要原因。

（2）歐姆定理的非線性關(guān)系 歐姆定理并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，而是如下所示的一種非線性關(guān)系。因?yàn)闊崛萘颗c通電時(shí)電阻值的改變量成反比，而通電t時(shí)間后的電阻值為

所以，歐姆定律的非線性方程可表示為

式中，R0是0℃時(shí)的電阻數(shù)值；mc是電阻的熱容量；α為電阻的溫度系數(shù)；t為電流通過(guò)電阻的時(shí)間。注意以上公式的推導(dǎo)只對(duì)正溫度系數(shù)的電阻有效，如金屬膜電阻和金屬絲電阻。

動(dòng)力學(xué)中的虎克定理、熱力學(xué)中的第一定律，以及氣體的內(nèi)摩擦力等也都有類(lèi)似的情況。

對(duì)非線性控制系統(tǒng)的研究，到20世紀(jì)40年代，已取得了一些明顯的進(jìn)展，主要的分析方法有相平面法、李亞普諾夫法和描述函數(shù)法等。這些方法都已經(jīng)被廣泛用來(lái)解決實(shí)際的非線性系統(tǒng)問(wèn)題，但是這些方法都有一定的局限性，不能成為分析非線性系統(tǒng)的通用方法。例如，用相平面法雖然能夠獲得系統(tǒng)的全部特征，如穩(wěn)定性、過(guò)渡過(guò)程等，但大于三階的系統(tǒng)無(wú)法應(yīng)用。李亞普諾夫法則僅限于分析系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題，而且要求非線性元件的特性滿足一定的條件。雖然這些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外有不少學(xué)者一直在這方面進(jìn)行研究，也研究出一些新的方法，如頻率域的波波夫判據(jù)、廣義圓判據(jù)、輸入和輸出穩(wěn)定性理論等。但總的來(lái)說(shuō)，非線性控制系統(tǒng)理論仍處于發(fā)展階段，很多問(wèn)題都還有待研究解決。

（3）非線性控制的特性 非線性控制理論作為很有前途的控制理論，將成為21世紀(jì)控制理論的主旋律，將為人類(lèi)社會(huì)提供更先進(jìn)的控制系統(tǒng)，使自動(dòng)化水平有更大的飛越。嚴(yán)格地說(shuō)，理想的線性系統(tǒng)在實(shí)際中并不存在。在分析非線性系統(tǒng)時(shí)，人們首先會(huì)想到使用在工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)線性化的方法，當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)的非線性程度不嚴(yán)重時(shí)，采用線性方法進(jìn)行研究具有實(shí)際的意義和比較簡(jiǎn)便的計(jì)算。但是，如果實(shí)際系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，則不能采用在工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)線性化的方法進(jìn)行研究，否則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。這時(shí)應(yīng)采用非線性系統(tǒng)的研究方法，運(yùn)用相平面法或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真可以求得非線性系統(tǒng)的精確解，進(jìn)而分析非線性系統(tǒng)的性能，但是相平面法只適用于一階和二階系統(tǒng)；建立在描述函數(shù)基礎(chǔ)上的諧波平衡法可以對(duì)非線性系統(tǒng)做出定性分析，是分析非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)便而實(shí)用的方法，尤其在解決工程實(shí)際問(wèn)題上，無(wú)需求得精確解時(shí)更為有效。

1）實(shí)際系統(tǒng)中的非線性因素：對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)，由于其組成元器件總是或多或少地帶有非線性特性，可以說(shuō)都是非線性系統(tǒng)。例如，在一些常見(jiàn)的測(cè)量裝置中，當(dāng)輸入信號(hào)在零值附近的某一小范圍之內(nèi)時(shí)沒(méi)有輸出，只有當(dāng)輸入信號(hào)大于此范圍時(shí)才有輸出，即輸入、輸出特性中總有一個(gè)不靈敏區(qū)（也稱(chēng)死區(qū)），放大元器件的輸入信號(hào)在一定范圍內(nèi)時(shí)，輸入、輸出呈線性關(guān)系，當(dāng)輸入信號(hào)超過(guò)一定范圍時(shí)，放大元器件就會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，各種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由于機(jī)械加工和裝配上的缺陷，在傳動(dòng)過(guò)程中總存在著間隙，其輸入、輸出特性為間隙特性，有時(shí)為了改善系統(tǒng)的性能或者簡(jiǎn)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，還常常在系統(tǒng)中引入非線性部件或者更復(fù)雜的非線性控制器。通常，在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，最簡(jiǎn)單和最普遍的就是繼電特性。只要系統(tǒng)中包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元器件，就稱(chēng)其為非線性系統(tǒng)。所以，嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際的控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。所謂線性系統(tǒng)僅僅是實(shí)際系統(tǒng)忽略了非線性因素后的理想模型。

2）常見(jiàn)非線性特性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響：從非線性環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分，非線性特性可分為單值函數(shù)與多值函數(shù)兩類(lèi)。在實(shí)際控制系統(tǒng)中，最常見(jiàn)的非線性特性有死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性和繼電特性等。在多數(shù)情況下，這些非線性特性都會(huì)給系統(tǒng)正常工作帶來(lái)不利影響。例如，死區(qū)特性、飽和特性及理想繼電特性屬于輸入與輸出之間為單值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。間隙特性和一般繼電特性則屬于輸入與輸出之間為多值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。下面從物理概念上對(duì)包含這些非線性特性的系統(tǒng)進(jìn)行一些分析，有時(shí)為了說(shuō)明問(wèn)題，仍運(yùn)用線性系統(tǒng)的某些概念和方法。雖然分析不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但便于了解，而且所得出的一些概念和結(jié)論對(duì)于從事實(shí)際系統(tǒng)的調(diào)試工作是具有參考價(jià)值的。

3）死區(qū)/死區(qū)特性：對(duì)于線性無(wú)靜差系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。若控制器中包含有死區(qū)特性，那么當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差可能為死區(qū)范圍內(nèi)的某一值，因此死區(qū)對(duì)系統(tǒng)最直接的影響是造成穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)輸入信號(hào)是斜坡函數(shù)時(shí)，死區(qū)的存在會(huì)造成系統(tǒng)輸出量在時(shí)間上的滯后，從而降低了系統(tǒng)的跟蹤速度。摩擦死區(qū)特性可能造成運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的低速不均勻；另一方面，死區(qū)的存在會(huì)造成系統(tǒng)等效開(kāi)環(huán)增益的下降，減弱過(guò)渡過(guò)程的振蕩性，從而可提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。死區(qū)也能濾除在輸入端小幅度振蕩的干擾信號(hào)，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

4）測(cè)量元器件、放大元器件、執(zhí)行元器件：在非線性系統(tǒng)中，K1、K2、K3分別為測(cè)量元器件、放大元器件和執(zhí)行元器件的傳遞系數(shù)，Δ1、Δ2、Δ3分別為它們的死區(qū)。若把放大元器件和執(zhí)行元器件的死區(qū)折算到測(cè)量元器件的位置（此時(shí)放大元器件和執(zhí)行元器件無(wú)死區(qū)），則有：

①處于系統(tǒng)前向通路最前面的測(cè)量元器件，其死區(qū)所造成的影響最大，而放大元器件和執(zhí)行元器件死區(qū)的不良影響可以通過(guò)提高該元器件前級(jí)的傳遞系數(shù)來(lái)減小。

②飽和特性將使系統(tǒng)在大信號(hào)作用之下的等效增益降低，一般來(lái)說(shuō)，等效增益降低，會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。處于深度飽和的控制器對(duì)誤差信號(hào)的變化失去反應(yīng)，從而使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。在一些系統(tǒng)中經(jīng)常利用飽和特性作信號(hào)限幅，限制某些物理參量，以保證系統(tǒng)安全合理地工作。

若線性系統(tǒng)為振蕩發(fā)散，那么當(dāng)加入飽和限制后，系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)自持振蕩的現(xiàn)象。這是因?yàn)殡S著輸出量幅值的增加，系統(tǒng)的等效增益下降，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)有收斂的趨勢(shì)；而當(dāng)輸出量幅值減小時(shí)，等效增益增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)有發(fā)散的趨勢(shì)，故系統(tǒng)最終應(yīng)維持等幅振蕩，出現(xiàn)自持振蕩現(xiàn)象。

③間隙（回環(huán)）/間隙特性。如在齒輪傳動(dòng)中，由于間隙的存在，當(dāng)主動(dòng)齒輪方向改變時(shí)，從動(dòng)輪保持原位不動(dòng)，直到間隙消失后才改變轉(zhuǎn)動(dòng)方向。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象也是一種間隙特性。間隙特性對(duì)系統(tǒng)的作用一是增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了控制準(zhǔn)確度，這相當(dāng)于死區(qū)的影響；二是因?yàn)殚g隙特性使系統(tǒng)頻率響應(yīng)的相角滯后增大，從而使系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的振蕩加劇，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

④繼電特性。其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性。當(dāng)h=0時(shí)，稱(chēng)為理想繼電特性。理想繼電特性串入系統(tǒng)，在較小偏差時(shí)開(kāi)環(huán)增益大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)一般呈發(fā)散性質(zhì)；而在較大偏差時(shí)開(kāi)環(huán)增益很小，系統(tǒng)具有收斂性質(zhì)，故理想繼電控制系統(tǒng)最終多半處于自持振蕩工作狀態(tài)。繼電特性能夠使被控制的執(zhí)行裝置在最大輸入信號(hào)下工作，可以充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力，故有可能利用繼電特性實(shí)現(xiàn)快速跟蹤。以上只是對(duì)系統(tǒng)前向通道中包含某個(gè)典型非線性特性的情況進(jìn)行了直觀的討論，所得結(jié)論為一般情況下的定性結(jié)論，這些結(jié)論對(duì)于從事實(shí)際系統(tǒng)的調(diào)試工作具有一定的參考價(jià)值。

（4）非線性系統(tǒng)特征 描述線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，其重要特征是可以應(yīng)用疊加原理；描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，不能應(yīng)用疊加原理。由于兩類(lèi)系統(tǒng)的根本區(qū)別，因此它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是完全不同的。現(xiàn)將非線性系統(tǒng)所具有的主要運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)歸納如下：

1）穩(wěn)定性：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與外作用和初始條件無(wú)關(guān)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念，必須針對(duì)系統(tǒng)某一具體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，才能討論其是否穩(wěn)定的問(wèn)題。非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，其中某些平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，另一些平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。初始條件不同，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可能趨于不同的平衡狀態(tài)，從而使運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性不同。所以說(shuō)，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與運(yùn)動(dòng)的初始條件、輸入信號(hào)有直接關(guān)系。

2）時(shí)間響應(yīng)：線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的一些基本特征（如振蕩性和收斂性）與輸入信號(hào)的大小及初始條件無(wú)關(guān)。對(duì)于線性系統(tǒng)，階躍輸入信號(hào)的大小只影響響應(yīng)的幅值，而不會(huì)改變響應(yīng)曲線的形狀。

非線性系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，隨著階躍輸入信號(hào)的大小不同，響應(yīng)曲線的幅值和形狀會(huì)產(chǎn)生顯著變化，從而使輸出具有多種不同的形式。雖然同是振蕩收斂的，但振蕩頻率和調(diào)節(jié)時(shí)間均不相同，還可能出現(xiàn)非周期形式，甚至出現(xiàn)發(fā)散的情況。這是由于非線性特性不遵守疊加原理的結(jié)果。

3）自持振蕩：線性定常系統(tǒng)只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生等幅振蕩。這種振蕩是靠參數(shù)的配合達(dá)到的，因而很難觀察到，并且等幅振蕩的幅值及相角與初始條件有關(guān)，一旦受到擾動(dòng)，原來(lái)的運(yùn)動(dòng)便不能維持，所以線性系統(tǒng)中的等幅振蕩不具有穩(wěn)定性。

有些非線性系統(tǒng)在沒(méi)有外界周期變化信號(hào)的作用下，系統(tǒng)中就能產(chǎn)生具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。如振蕩發(fā)散的線性系統(tǒng)中引入飽和特性時(shí)就會(huì)產(chǎn)生等幅振蕩，這種固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為自持振蕩，其振幅和頻率由系統(tǒng)本身的特性所決定。自持振蕩具有一定的穩(wěn)定性，當(dāng)受到某種擾動(dòng)之后，只要擾動(dòng)的振幅在一定的范圍之內(nèi)，這種振蕩狀態(tài)仍能恢復(fù)。在多數(shù)情況下，不希望系統(tǒng)有自持振蕩，因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間大幅度的振蕩會(huì)造成機(jī)械磨損、能量消耗，并帶來(lái)控制誤差。但是有時(shí)又會(huì)故意引入高頻小幅度的顫振來(lái)克服間隙、摩擦等非線性因素給系統(tǒng)帶來(lái)的不利影響。因此必須對(duì)自持振蕩產(chǎn)生的條件、自持振蕩振幅和頻率的確定，以及自持振蕩的抑制等問(wèn)題進(jìn)行研究。所以說(shuō)自持振蕩是非線性系統(tǒng)一個(gè)十分重要的特征，也是研究非線性系統(tǒng)的一個(gè)重要內(nèi)容。

4）對(duì)正弦信號(hào)的響應(yīng)：線性系統(tǒng)當(dāng)輸入某一恒定幅值和不同頻率ω的正弦信號(hào)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值Ac是關(guān)于頻率ω的單值連續(xù)函數(shù)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)輸出的幅值Ac與ω的關(guān)系可能會(huì)發(fā)生跳躍諧振和多值響應(yīng)，這種振幅隨頻率的改變出現(xiàn)突跳的現(xiàn)象稱(chēng)為跳躍諧振。ω1～ω2的每一個(gè)頻率，都對(duì)應(yīng)著三個(gè)振幅值，因此一個(gè)頻率對(duì)應(yīng)了兩個(gè)穩(wěn)定的振蕩，這種現(xiàn)象稱(chēng)為多值響應(yīng)。產(chǎn)生跳躍諧振的原因是系統(tǒng)中滯環(huán)特性的多值特點(diǎn)。

5）非線性系統(tǒng)的畸變現(xiàn)象：線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)。非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出不是正弦信號(hào)，它可能包含有倍頻和分頻等各種諧波分量，從而使系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生非線性畸變。

（5）非線性系統(tǒng)的分析方法 對(duì)于非線性系統(tǒng)，建立數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題要比線性系統(tǒng)困難得多，至于用非線性微分方程的解來(lái)分析非線性系統(tǒng)的性能就更加困難了。這是因?yàn)槌藰O特殊的情況外，多數(shù)非線性微分方程無(wú)法直接求得解析解。所以還沒(méi)有一個(gè)成熟、通用的方法可以用來(lái)分析和設(shè)計(jì)各種不同的非線性系統(tǒng)，目前研究非線性系統(tǒng)常用的工程近似方法有：

1）相平面法：相平面法是時(shí)域分析法在非線性系統(tǒng)中的推廣應(yīng)用，通過(guò)在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解，所得結(jié)果比較精確和全面。但對(duì)于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的難度。故相平面法僅適用于一階、二階非線性系統(tǒng)的分析。

2）描述函數(shù)法：描述函數(shù)法是一種頻域的分析方法，它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是應(yīng)用諧波線性化的方法，將非線性元器件的特性線性化，然后用頻率法的一些結(jié)論來(lái)研究非線性系統(tǒng)。這種方法不受系統(tǒng)階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故得到了廣泛應(yīng)用。

3）計(jì)算機(jī)求解法：用計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，對(duì)于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)幾乎是唯一有效的方法。隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，這種方法必定會(huì)有更大的發(fā)展。

應(yīng)當(dāng)指出，這些方法主要是解決非線性系統(tǒng)的分析問(wèn)題，而且是以穩(wěn)定性問(wèn)題為中心展開(kāi)的，然而，非線性系統(tǒng)綜合方法的研究成果遠(yuǎn)不如穩(wěn)定性問(wèn)題，可以說(shuō)還沒(méi)有一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的綜合方法能夠用來(lái)設(shè)計(jì)任意的非線性控制系統(tǒng)。

（三）現(xiàn)代控制

現(xiàn)代控制理論是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，具有以下重要特點(diǎn)：

1）能夠處理多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)，可以更全面地描述和控制復(fù)雜系統(tǒng)。

2）基于狀態(tài)空間模型，強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有更深入的理解。

3）適用于非線性和時(shí)變系統(tǒng)，具有更廣泛的適用性。

現(xiàn)代控制理論的主要內(nèi)容如下：

1）狀態(tài)空間模型，指用狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)描述系統(tǒng)，能夠更準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性。

2）能控性和能觀性，用于判斷系統(tǒng)是否可以通過(guò)輸入來(lái)控制其狀態(tài)，以及是否可以通過(guò)輸出觀測(cè)到系統(tǒng)的狀態(tài)。

3）最優(yōu)控制，指在滿足一定約束條件下，尋求使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的控制策略，例如線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）。

4）卡爾曼濾波，用于對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，特別是在存在噪聲干擾的情況下。

5）李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了有力的工具。

現(xiàn)代控制理論為解決復(fù)雜系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供了強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)和方法，但在實(shí)際應(yīng)用中，可能需要結(jié)合經(jīng)典控制理論和智能控制方法，以達(dá)到更好的控制效果。

（四）智能控制

智能控制隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能的發(fā)展而興起。包括模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、專(zhuān)家系統(tǒng)控制等。這些方法能夠處理不確定性、復(fù)雜性和高度非線性的系統(tǒng)，具有自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)和自組織的能力。

智能控制理論為解決傳統(tǒng)控制方法難以應(yīng)對(duì)的復(fù)雜控制問(wèn)題提供了新的思路和方法，具有廣闊的發(fā)展前景。下一節(jié)，就針對(duì)智能控制展開(kāi)介紹。