1.3.2 有符號二進制數的算術運算
1.原碼、反碼和補碼
數字系統只能識別和處理用0和1表示的二進制形式的數碼。有符號二進制數包含符號和數值信息，符號位一般放在最高位，用0和1分別表示這個數是正數還是負數，數值位則表示該數的大小。用“+”“-”符號表示出來的數稱為真值。將數的“+”“-”符號和數值數碼化后的二進制數稱為機器數。機器數表示形式有三種：原碼、反碼和補碼。
計算機中實際用8位二進制代碼表示一個字符，稱為一個字節。若計算機的寄存器為8位（一個字節），則數的存儲格式如圖1-6所示。最高位（MSB）為符號位，若此符號位為0，則該數為正（+）；若符號位為1，則該數為負（-）。剩下的7位表示該數的絕對值大小。這種自然表示機器數的形式稱為原碼。原碼表示簡單、直觀，但用原碼進行減法運算時，首先需要比較兩個數絕對值的大小，然后用絕對值大的數減去絕對值小的數求出差值，并以絕對值大的數的符號作為差值的符號。這個操作過程比較麻煩，還需使用數值比較電路和減法運算電路，不容易實現。計算機等數字系統均采用補碼進行有符號二進制數的減法運算。為了計算減法方便，因此引入了反碼和補碼。
圖1-6 有符號二進制數在8位寄存器中的存儲格式
正數的原碼、反碼和補碼完全相同。
負數的原碼、反碼和補碼符號位都為1，反碼的數值位是原碼的逐位求反（即1變0，0變1），反碼也因此而得名。補碼數值位為其反碼加1得到，或簡稱“逐位求反加1”。
例如：［+6］原碼=［+6］反碼=［+6］補碼=0 0110
［-6］原碼=1 0110［-6］反碼=1 1001［-6］補碼=1 1010
特殊：［+0］原碼=［+0］反碼=［+0］補碼=0 0000000
［-0］原碼=1 0000000［-0］反碼=1 1111111
［-0］補碼=1 1111111+1=0 0000000
所以有：［+0］補碼=［-0］補碼=0 0000000
【例1-7】求二進制數x=+1011，y=-1011在八位存儲器中的原碼、反碼和補碼的表示形式。
解：無論是原碼、反碼和補碼形式，八位存儲器的最高位為符號位，其他位則是數值部分的編碼表示。在數值部分中，對于正數，原碼、反碼和補碼按位相同，而對于負數，反碼是原碼的逐位求反，補碼則是原碼的逐位求反加1。所以，二進制數x和y的原碼、反碼和補碼分別表示如下：
［x］原碼=0 0001011，［x］反碼=0 0001011，［x］補碼=0 0001011
［y］原碼=1 0001011，［y］反碼=1 1110100，［y］補碼=1 1110101
表1-4列出了帶符號的3位二進制數原碼、反碼、補碼對應關系。
對于n位有符號的二進制數的原碼、反碼及補碼所表示的二進制數的范圍分別為
1）原碼：-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。
2）反碼：-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。
3）補碼：-2n-1～+（2n-1-1）。
表1-4 3位二進制數的原碼、反碼、補碼對照
2.補碼運算
補碼的原理可以用時鐘調整來說明。如圖1-7所示，如果要將時鐘從9點撥到4點，可以向后撥5個格，9-5=4，也可以向前撥7個格，9+7=16。由于時鐘是一個十二進制的計數體制，一個計數系統的計數基數稱為“模”，超過模12以后的“進位”將自動消失，舍去進位（溢出）后，剩下的余數即為需要的結果，即16-12=4，也將表針撥回到了4點。這個例子說明，9-5的減法運算可以用9+7的加法運算代替。所以稱7為-5對模12的補數，也稱為補碼（Complement）。
圖1-7 說明補碼運算原理的例子
在數字系統中，有符號二進制數一律用補碼進行存儲和計算。通過引入補碼，減法運算可以變為加法運算（減去一個正數相當于加上一個負數）。補碼加、減運算規則如下：
［X+Y］補=［X］補+［Y］補
［X-Y］補=［X+（-Y）］補=［X］補+［-Y］補
{［X±Y］補}補=［X±Y］原
【例1-8】試用4位二進制補碼計算6-2。
解：因為（6-2）補=（6）補+（-2）補
=0110+1110
=0100
由計算過程可得：6-2=4。
進行二進制補碼運算時，被加數和加數的補碼的位數要相同，因此兩個二進制數的補碼采用相同的位數表示，即讓兩個二進制數的補碼的符號位對齊。兩個二進制數的補碼相加時，方括號中的1是進位，在計算時自動舍去，因為上述運算是以4位二進制補碼表示的，計算結果仍然保留4位。
【例1-9】試用4位二進制補碼計算7+4。
解：因為（7+4）補=（7）補+（4）補
=0111+0100
=1011
計算結果補碼1011表示-5，而實際正確的結果應該為11。錯誤產生的原因在于4位二進制補碼中，有3位是數值位，它所表示的范圍為-8～+7，而本題的結果需要4位數值位表示，因而產生溢出。
解決溢出的方法：進行位擴展，即用5位以上的二進制數補碼表示，就不會產生溢出了。
即（7+4）補=（7）補+（4）補
=00111+00100
=01011
計算結果01011表示+11，而實際正確的結果也是11。
3.溢出的判別
溢出的判別對有符號數的運算是非常重要的，它表明結果是否超出范圍。“溢出”僅發生在兩個同符號的數（兩個正數或者兩個負數）相加的情況下。如果兩個正數相加的結果大于機器數所能表示的最大正數，稱為正溢出；如果兩個負數相加的結果小于機器數所能表示的最小負數，稱為負溢出。
溢出判別的簡便規則如下：
1）符號判斷法：同符號數相加可能溢出，異符號數相加不會溢出。
2）進位判斷法：若進位位和數的符號位取值相同，則運算沒有產生溢出，否則發生溢出。
通過圖1-8所示的實例來說明兩個同符號的數溢出判別問題。
圖1-8 溢出的判別
對于兩個符號相同的數做加法運算，若進位位和數的符號位取值相同，則運算沒有產生溢出，結果是正確的，如圖1-8a、b所示；若進位位和數的符號位取值相反，則其運算產生了溢出，結果是錯誤的，如圖1-8c、d所示。錯誤產生的原因在于4位二進制補碼中有3位是數值位，所表示的范圍為-8～+7。而圖1-8c、d的計算結果分別為+9（1001為-7的補碼）和-9（0111為+7的補碼），均超過了該表示范圍，因而產生了溢出。當產生溢出時，可通過擴展二進制數的位數來保證計算結果的正確性。
思考與練習
1.3-1 為什么說二進制數的加法運算是算術運算的基礎？
1.3-2 二進制數的減法運算過程有什么規律？
1.3-3 說明反碼與補碼之間的關系。
1.3-4 說明溢出產生的原因。