2.3 單位矩陣與逆矩陣

2.3.1 什么是單位矩陣

單位矩陣是一個方陣, 它在主對角線上的元素都是1, 其余元素都是0。通常用符號I表示單位矩陣。例如,2階單位矩陣可以寫成:

單位矩陣在線性代數中扮演著重要的角色, 因為它是矩陣乘法的單位元, 即任何矩陣和它相乘都等于原矩陣本身。同時, 在求逆矩陣和解線性方程組時也經常會用到單位矩陣。

現在, 通過一個有趣的故事來介紹什么是單位矩陣。假設你是一名廚師, 正在制作一個蛋糕。你需要將每種配料的用量精確地稱出來, 以便蛋糕的味道不會太甜或太淡。但是, 你的秤可能存在一定的偏差, 這就會影響蛋糕的口感。

于是你想到了一個聰明的方法, 你在稱重之前先用一份“特殊”的食譜記錄下每種配料應該加入的量。這份食譜是一份標準的參考, 可以保證每次做蛋糕都做出同樣的美味, 就像圖2-8所示的這樣。

這個“特殊”的食譜就相當于我們所說的單位矩陣。它是一個包含相同數量的行和列的方陣, 并且在對角線上所有元素的值都為1, 其余元素的值都為0。這種矩陣能夠在數學計算中起到類似于標準食譜的作用, 使得我們可以更加精確地計算。

舉個例子, 如果你想要把兩個矩陣相乘, 其中一個矩陣是單位矩陣, 那么矩陣相乘的結果就是另一個矩陣本身。

如果你對這個例子還有疑問, 那就讓我再用另一種方式來解釋吧。假設你是一名小學生, 正在上數學課。老師說: “同學們, 如果我們把任何一個數和1相乘, 結果都是這個數本身。”這時, 你舉起手來問: “老師, 為什么呢?”老師回答道: “因為1是乘法中的單位元素。”

其實, 這就是單位矩陣在矩陣乘法中的作用。它像數字1一樣, 是乘法中的單位元素, 能夠保持另一個矩陣的性質不變。所以, 無論是蛋糕配料還是數學計算, 只要有了標準的參考, 我們都可以更加精確地完成任務。

原理輸出2. 8

為了幫助大家更好地理解和消化單位矩陣的概念, 請大家在ChatGPT的幫助下, 錄制一個長度約為2分鐘的短視頻, 介紹什么是單位矩陣。

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實操練習2. 8

為了讓大家可以用代碼的形式學習單位矩陣, 接下來大家可以讓ChatGPT生成代碼演示, 并在Colab新建一個Notebook文件運行這些代碼。

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2.3.2 什么是逆矩陣

逆矩陣是一個方陣, 如果將其與原矩陣相乘得到單位矩陣, 則稱該方陣具有逆矩陣。逆矩陣的存在條件是原矩陣必須為可逆矩陣, 也就是行列式不為零。

對于一個n×n的可逆矩陣A, 其逆矩陣記為A-1, 可以通過求解線性方程組來計算。具體地說即, 如果Ax=b, 則x=A-1b。

逆矩陣在線性代數和矩陣運算中非常重要, 它用于解決線性方程組, 計算矩陣的行列式、秩等問題。

回到生活中的例子, 假設你還是前面那位廚師, 正在為客人準備一道美味的煎餅。你在制作煎餅的過程中需要調整配料的比例, 但你卻發現自己只有一個配料桶, 里面已經混合了所有的原料, 包括面粉、雞蛋和牛奶等。由于這些原料的比例不正確, 你的煎餅很難做出完美的口感。

那么, 如何解決這個問題呢? 這時候逆矩陣就派上用場了。逆矩陣就像是一把萬能的“配料篩子”, 可以幫助你快速計算出每種原料的比例, 從而制作出完美口感的煎餅。

具體來說, 逆矩陣就是指對于一個給定的方陣, 存在另一個方陣, 使得兩個方陣相乘的結果為單位矩陣。這個“逆矩陣”就如同一個魔術般的配料篩子, 可以將混雜的原料按比例分離出來, 從而使我們能夠得到正確的成分配比, 順利制作出完美的煎餅, 就像圖2-9所示的這樣。

當然, 在實際生活中我們并不需要手工計算逆矩陣, 因為計算機可以很快地完成這個工作。但是, 這個例子可以幫助我們更好地理解逆矩陣的概念, 并且感受到它的重要性, 從而更好地應用于各種實際問題中。

原理輸出2. 9

為了幫助大家更好地理解和消化逆矩陣的概念, 請大家在ChatGPT的幫助下, 錄制一個長度約為2分鐘的短視頻, 介紹什么是逆矩陣。

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實操練習2. 9

為了讓大家可以用代碼的形式學習逆矩陣, 接下來大家可以讓ChatGPT生成代碼演示, 并在Colab新建一個Notebook文件運行這些代碼。

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