蓉省數學會，

行政樓三樓，副會長辦公室，

“老師，今年的題會不會出得太難了？”

一個二十多歲的青年端著咖啡，坐在沙發上，跟對面一個五十來歲的中年說道。

兩人才剛討論完一個學術問題，此時都有些疲憊，決定先坐下來休息休息。

馬景堂揉著太陽穴，搖了搖頭，“就是要難點才好！”

心里感嘆著歲月不饒人，當年他年輕時，思維何等敏捷，現在只是討論了一個小時，就有些力不從心了，他已經過了數學家出成績的三十到五十歲黃金期了。

“去年題出得簡單，倒是有不少考滿分的，看著花團錦簇，一片繁榮的樣子，結果怎么著？”

“最后偌大一個蓉城，竟然沒有一個參加IMO的選手！”

談到這個話題，馬景堂也正好有話要說，這一年來他可沒少被其他省數學會的老家伙們調侃，所以今年他特意打招呼，把題往難了出。

楊寒莞爾，想到了老師被調侃的畫面。

蓉省也算是數競強省，去年卻連進IMO的選手都沒有，說是浪費了人才也不為過，的確是奇恥大辱了。

“老師竟然直接把那道題當成了壓軸題，”

但是楊寒還是不太贊成老師的做法，“那道題難度可不低，甚至比一些CMO的題都難了，今年恐怕一個滿分都沒有了?！?

“省賽滿不滿分的不重要，能進IMO，能在IMO拿到金牌才重要！”

馬景堂滿不在乎的輕輕擺了擺手，“再說了，最后那道題可是那位出的，要是能做出來，說不定還能入那位的眼，對那些小家伙來說反倒是好事?！?

“這倒也是?！?

楊寒點頭表示認同。

“就是不知道今年還能不能出個滿分了。”

……

李斌走下講臺，來到陳輝身旁，看向陳輝的試卷。

就這么短短的功夫，第一道大題的空白就已經寫滿了字跡，這個小家伙已經在第二題的空白處書寫解題過程了。

“這么快的嗎？”

這下子李斌可不會認為陳輝是在瞎寫了。

填空題可以隨便寫點數字，大題是需要過程的，若是不會，連瞎寫都做不到。

不管做得對不對，至少說明這孩子數學素養是很不錯的。

“看來今年蓉省有兩個很不錯的苗子?。　?

李斌有些開心，結合所有人的反應，他知道，并不是今年的題太簡單，而是考生里出了兩位妖孽。

雖然天天在數學會里打雜，但他還挺喜歡這里的，若是蓉省的選手取得好成績，蓉省數學會也會與有榮焉。

簡單掃了一眼解題過程，確定陳輝第一道大題解答沒有問題后。

李斌再次邁步，向右邊中間那位同學走去。

一路走過，其他同學們大多還在做填空題第7題，第8題，當然，也有的同學選擇性的放棄了第8題，開始看大題了。

而現在距離考試開始已經過去半個小時了！

別看考試時間還剩兩個多小時，但李斌知道，后面的四道大題才是硬菜，兩個半小時可不好啃。

嗯，當然是對一般人來說。

比如眼前這位，同樣已經做完了第一道大題，開始審第二題的題目了。

速度也就比第一排蓉城二中那個家伙慢點。

時間飛快流逝，做完第二道大題，看向第三道，鄧樂巖感覺很是疲憊。

去年他還是初三的時候就參加了省賽，還入了國決，當然，最后只拿到了銅牌。

去年省賽他還拿了滿分，所以這次來考試根本沒當回事，只有他自己知道這一年的時間他成長有多恐怖。

天才的一年，跟普通人的一年是不一樣的。

但顯然，今年的題比去年難了許多，即便是一年后的他做起來，都感覺很是吃力，讓他有種去年做CMO題目的滯澀感。

尤其是那個煩人的監考老師，還不停的在旁邊晃悠，讓他很是惱火，恨不得給他找張椅子，把他按上去。

陳輝絲毫沒有受到影響，他早就習慣了在任何環境下學習，一旦他全神貫注的去做某件事情，外界很難對他造成影響。

飛快的寫完第二道平面幾何的證明題，陳輝看向了第三道大題。

【設 A，B為正整數，S是一些正整數構成的一個集合，具有下述性質：

（1）對任意非負整數 k，有 A^k∈S;

（2）若正整數 n∈S，則 n的每個正約數均屬于 S;

（3）若 m，n∈S，且 m，n互素，則 mn∈S;

（4）若 n∈S，則 An+B∈S。

證明：與 B互素的所有正整數均屬于 S.】

“數論？”

陳輝皺眉。

他并不擅長數論。

但他也沒有自暴自棄，將已知性質和結論轉化成數論語言，他輕易的就找到了目標。

就是要去構造一個與B互素的數，假設為p，再證明p∈S即可。

再根據性質3，若pi，pj互素，則pi·pj∈S，又根據素數分解定理，每個大于1的正整數都可以唯一地表示為若干個素數的乘積，并且這些素數的冪次是唯一的。

所以P可以寫成p1^α1·p2^α2···pm^αm，其中p1到pm均為素數。

也就是說，只需要證明pi^k∈S（k為任意非負整數），就能證明P∈S。

很快，陳輝就有了思路，根據題目，如果pi能夠被A整除，那么根據性質1和性質2，輕易就能得出pi^k∈S。

可若是pi不能整除A呢？

不能整除，就說明pi與A也互素，同時因為Pi為P的分解素數，P與B互素，那么pi與B也互素。

性質123都已經用了，所以接下來必然會用到性質4。

An+B∈S

這個性質應該怎么利用呢？

陳輝絞盡腦汁，卻一籌莫展，這還是他洞察力提升后，第二次遇到這種情況，這讓他想到了在數競隊張安國給他出的題，當時他也是像現在這般。

后來他知道張安國那道題有常規的解法，只是他當時不知道而已。

所以，這道題必然也有某個解法，或者公式定理是自己沒有想到的！

可陳輝沒有深入研究數論，大腦中也并沒有關于數論的體系，一時之間竟然都不知道該從什么地方去尋找這種解法或者公式定理。

解法，公式定理，說白了，就是前人搭的梯子。

牛頓說過，他能有那般成就，不過是站在了巨人的肩膀上。

所以，解法當然要從前輩先賢身上去找！

陳輝大腦飛速運轉，開始頭腦風暴。

擅長數論的數學家很多，但目前陳輝了解的也就那么幾個，費馬、歐拉、高斯。

費馬研究的東西天馬行空，費馬大小定理，親和數，素數分布，這些定理在數論中的地位舉足輕重。

但他一生只玩高端局，并且都是讓后人幫他證明，高中生的題目應該還輪不到費馬出馬吧？

高斯主要研究的是代數數論，比如二次互反律，算術幾何平均之類的問題，顯然跟這道題的調性不符。

所以，是歐拉嗎？

一番分析，陳輝將目標鎖定在了這位數學國王身上。

他有些振奮，他對歐拉的了解其實是要比其他兩人更多的。

這還是因為當時學習歐拉積分時，聽了安老師的建議。

否則他就只能抓瞎了。

死馬當成活馬醫，沒有選擇的選擇，就是最好的選擇。

陳輝開始回想歐拉一生中提出的，關于數論方面的定理。

他也不是擰巴的人，如果從歐拉身上找不到解題方法，那就放棄這道題，回去好好研究數論，明年再來便是。

歐拉一生發表了超過 1500篇論文，提出的定理公式理論浩繁如星海。

經過提升的記憶力幫了陳輝大忙，有極強的洞察力輔助，雖然只是看了一遍歐拉的生平，但對歐拉提出的重要的公式和定理他都記得很清楚。

既然想到歐拉，那么自然能想到他在數論領域大名鼎鼎的歐拉定理。

歐拉定理！

很快，陳輝眼前亮起刺目的光芒。

找到了！

他找到了！

解題的鑰匙果然藏在歐拉身上！

歐拉定理：

若a和n是正整數，且a和n互素（即最大公約數為1），則a的φ(n)次方對n取模的結果為1，即aφ(n)≡1(modn)

陳輝陷入前所未有的興奮狀態，無數思路如同泉水般在大腦中涌現。

【由歐拉定理，A^aφ(pi^k)·n+B≡n+b(modpi^k)，則令a0=1，an=A^aφ(pi^k)·A^n+B，則an≡A^n+B(modpi^k)，又因為(pi，A)=1，(pi，B)=1，所以當n從0取到pi^k時，an可以取到pi^k的完全剩余系，此時必有at=t·pi^k∈S，所以pi^k∈S！

綜上所述……】

證明完畢！