第1講　論證與計算（一）

第1節　三角形中的三邊關系

一、典型例題講解

【例1】　如果你用3根小木棍擺成了一個如下圖所示的三角形，仔細看一看，你能從中發現什么？

解：由于“兩點之間線段最短”，故知在這個已經構成的三角形中必定有三角形的兩邊之和大于第三邊，即

a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b

進而聯想到以下情形。

a＞c-b　　　 b＞c-a　　　　c＞b-a

因此，三角形中兩邊之差小于第三邊。

【例2】　用下圖所示的3根小木棍，你能不能擺出一個三角形？據此，你能想到什么？

解：在上圖中，a = 2，b = 3，c = 6，由于2+3≯6，所以用它們擺不成三角形。

可知，在給定的3條線段中，若兩條線段相加之和不大于（小于或等于）第三邊，則它們構不成三角形。

進而聯想，用邊長為1、2、3的一組小木棍或邊長為2、3、5的一組小木棍，必定也擺不成三角形，對吧？

【例3】　若在給定的3根小木棍中，有兩根小木棍的長度之和大于第三根，這時你能否說用這樣的3根小木棍就一定能圍成一個三角形？

解：不能肯定（因為已知條件不夠，即不充分）。

經觀察，我們有以下兩個發現。

①若較短的兩根小木棍的長度之和大于最長者，則它們能圍成一個三角形，如下圖所示。

②若所取的兩根小木棍中不含最短者，則它們不一定能圍成一個三角形，如下圖所示。

進而聯想，數學語言是非常嚴謹的，馬馬虎虎、隨隨便便地說是不行的。不能因為知道了“三角形的兩邊之和大于第三邊”而不動腦子隨便說“在3根小木棍中，若兩根的長度之和大于第三根，我們就一定能用它們擺成一個三角形”。為什么呢？請仔細地想一想，“在3根小木棍中，兩根的長度之和大于第三根”有兩種不同的情況：一是3根長度像2、3、4這樣的小木棍，因為2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，所以用它們一定能擺成一個三角形；二是3根長度像1、2、4這樣的小木棍（如上圖所示），此時雖然4+1＞2，4+2＞1，但1+2≯4，所以用它們不能擺成一個三角形。

數學家說，在3根小木棍中，“兩根小木棍的長度之和大于第三根”是三者能圍成三角形的必要條件。但只有這一條還不行，還必須增加那兩根小木棍是“較短的兩根小木棍”這一個條件才行。這好比“有飯吃”是“能活”的必要條件，但是光“有飯吃”不行，還必須滿足“有水喝”等條件。

【例4】　3條邊皆為整數且最長的邊為5的三角形有幾個？

解：較短的兩條邊之和大于5時就可以構成三角形。

因此，可以構成的三角形共有9個，即5+3+1=9。

【例5】　3條邊皆為整數且最長的邊為11的三角形有幾個？

解：較短的兩條邊之和大于11時，可構成三角形。這里a=11，如右圖所示?？芍?em>a、b、c之間的關系有以下情形。

①a=11，b=11，共有11個三角形。

②a=11，b=10，共有9個三角形。

③a=11，b=9，共有7個三角形。

④a=11，b=8，共有5個三角形。

⑤a=11，b=7，共有3個三角形。

⑥a=11，b=6，有1個三角形。

因此，共有36個三角形，即11+9+7+5+3+1=36。

【例6】　3條邊皆為整數且最長的邊為19的三角形最多可能有幾個？

解：另外兩條較短的邊之和大于19時，這3條邊就能構成三角形。這里已知a=19，如右圖所示。

b=19時，c的取值有19個，即c=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19。

b=18時，c的取值有17個，即c=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18。

b=17時，c的取值有15個，即c=3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17。

……

b=12時，c的取值有5個，即c=8、9、10、11、12。

b=11時，c的取值有3個，即c=9、10、11。

b=10時，c的取值有1個，即c=10。

因此，最多有100個三角形。

【例7】　3條邊皆為整數且最長的邊為99的三角形有多少個？

解：另外兩條較短的邊之和大于99時，這3條邊即可構成三角形?；仡櫱斑厧椎览}的情況，總結如下。

最長的邊為5的三角形的個數為：5+3+1=9（個）。

最長的邊為11的三角形的個數為：11+9+7+5+3+1=36（個）。

最長的邊為19的三角形的個數為：19+17+15+…+5+3+1=100（個）。

?。∥覀儼l現了規律。最長的邊為99的三角形的個數為

知識拓展：學習用歸納法找規律，求奇數的個數。

1、3、5、7、9→5個奇數

1、3、5、7、9、11、13、15、17、19→10個奇數

1、3、5……25、27、29→15個奇數

1、3、5……35、37、39→20個奇數

……

1、3、5……95、97、99→50個奇數

哦，明白了！連續奇數序列中所包含的奇數個數為

（末數-首數）÷2+1

二、練習與提高

（1）有下面兩組小木棍，擺一擺，想一想。

①用3根一樣長的小木棍擺一個等邊三角形，再用橡皮泥將其黏住。

②用兩根一樣長的小木棍和一根較短的小木棍擺一個等腰三角形，再用橡皮泥將其黏住。

③一個等邊三角形必定是一個等腰三角形，對嗎？反過來說，每個等腰三角形都是等邊三角形，對嗎？

（2）擺直角三角形。

①用下圖所示的3根小木棍擺一個直角三角形，再用橡皮泥將其黏住。注意：這3根小木棍的長度不是隨意的，若以一根火柴棍為單位去測量，它們的長度分別是3、4和5。

②若改用下圖所示的長度分別為2、4和5的3根小木棍，還能擺成直角三角形嗎？

③改用下圖所示的長度分別為4、4和5的3根小木棍，還能擺成直角三角形嗎？

④改用下圖所示的3根長度分別是3、4和6的小木棍，能擺成直角三角形嗎？

⑤通過動手做，你有什么發現？

（3）邊長只可能為2、3、7或11的等腰三角形共有多少種？

提示：等邊三角形也是等腰三角形。

（4）請試一試用下面6組小木棍能不能擺成直角三角形。

第一組：6、8、10。

第二組：9、12、15。

第三組：5、12、13。

第四組：7、24、25。

第五組：8、15、17。

第六組：12、35、37。

也可以采用另外一種方法，請幾個小朋友在地上將打好結的繩子拉直，看看能不能得到直角三角形。

（5）小明喜歡幾何，老師常常鼓勵他。一天，老師給了他9根長度各不相等而都是整厘米數的小木棍，其中最長的是55厘米。老師叫小明用它們擺成一些三角形。小明很高興，心中非常感激老師的關懷和培養。但是，好長時間過去了，小明連一個三角形也沒擺成。小朋友，你能猜出這是怎樣的9根小木棍嗎？你能和小明討論一下，為什么不能用這9根小木棍擺出三角形？

（6）如下圖所示，在△ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB上的任意一點，連接AD、BE、CF。

求證： 。