總序[1]

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[1]　本文作者張景中，計算機科學家、數學家和數學教育家，中國科學院院士，曾任第四屆中國科普作家協會理事長、第一屆中國高等教育學會教育數學專業委員會理事長。

這套小書的作者劉治平教授在回顧退休前后多年的經歷時這樣說：“我喜歡小孩，更喜歡教小孩。回想起來，自大學教書退休前至今，教小孩學數學有30多個年頭了。其間，我傾注心血，邊學邊教。在做這件事上確實有一點點成績，自己也獲得了莫大的愉悅。”

說“一點點成績”，當然是劉教授自謙。在此期間，他教過北京海淀區的中關村第一小學、中關村第二小學、北京科技大學附屬小學、北京理工大學附屬小學、清華大學附屬小學、北京大學附屬小學等十幾所小學的課外數學班；受著名教育家、人民大學附屬中學校長劉彭芝之邀，在北京市華羅庚學校教過超常兒童奧數班，參與編寫了被廣泛采用的教材；參加過第十一屆世界天才兒童教育大會，所撰寫的文章發表于英國倫敦發行的專刊；還曾應世界天才兒童協會時任主席、臺灣師范大學教授吳武典（1940—）之邀，赴臺參加1999年資優教育研究學術研討會并發表文章。他創辦了北京幼幼培訓學校和北京吉福超常啟蒙教育研究所，發表了教研文章30多篇，受到了孩子、家長、學校老師和有關領導的歡迎和贊賞，被評為海淀區教育系統優秀教師。他曾榮獲教學征文一等獎、中國科教創新貢獻獎及中國當代思想成就獎等。這就是一位退休老人的“一點點成績”！

我們自然要問，這位老教授是如何教孩子們學數學的呢？中小學數學里幾何最難，他又是如何教孩子們學幾何的呢？

這套小書總稱“少兒幾何啟蒙”，順次分為“認識圖形”“學會推理”“立體圖形”和“圖形變換”四個分冊。作者在書中開門見山、直來直去、生動詳盡地展示了自己教小孩的具體過程和核心思路，并結合近年來中小學數學教學中有效的新思路做了若干補充。

講幾何離不開幾何圖形，幾何圖形的基本元素無非是點、直線、線段和圓等。劉教授用生動直白的話語向孩子們介紹這些基本圖形，直來直去地指著黑板說：“這叫什么？這叫‘點’。用筆在紙上畫一個點，可以畫大些，也可以畫小些。點在紙上占一個位置。”

在這里，他不說“這是‘點’”，而說“這叫‘點’”，其背后有深刻的道理。自19世紀以來，數學家開始明白，數學研究的對象（如數、點等）并非客觀的實體，它們“實際上”是什么，不可能也不需要在數學上討論和解決。數學關心的只是這些研究對象組成的結構和關系。柯朗等在名著《什么是數學》中說：“基本的數學概念必須抽象化，這一見解是近代公理化發展中最重要和最豐富的成果之一。”這里，劉教授采用“這叫‘點’”的用語，體現了數學概念抽象化的深刻思想，在孩子們的心里播下數學思維的種子。在講解相關內容時，劉教授為此加了一節“寫給家長和老師的話”，有助于家長和老師在孩子們成長的過程中幫助其深化這方面的認識。

在語言文字生動簡明的基礎上，劉教授在書中對幾何邏輯推理的起點也進行了簡化梳理，并且提出了“信息幾何”這一新概念，不僅關心幾何圖形中幾何性質的邏輯關系，也關心圖形中的組合計量信息。孩子們可以通過“點連線”“線交點”“種樹成行”“擺小棍”“破密碼”“數圖形個數”“連線游戲”等一系列有趣的活動，在玩中學，在學中玩。這些活動貫穿著觀察與猜想，通過歸納找規律，開放思維，放飛想象。例如，引導孩子們觀察、計算11條直線最多能交出多少個點，由少到多，讓孩子們發現其中的規律。又如，在觀賞行、列和均為34的四階幻方后，啟發孩子們找尋其中還有哪些和為34的數組，它們組成什么樣的四邊形。結果，大家在課堂上就找出了幾十個這樣的“數字四邊形”，讓孩子們產生“震撼感”！這樣把幾何圖形和組合計數聯系起來，不僅引出了著名的歐拉網絡公式“交點數+區域數-連線數=1”，還介紹了“二人點連線”“畫圖形畫”等游戲性質的活動，其中一些內容還被英國的《國際天才教育》選為專刊的封面圖（Gifted Education International，Volume 12，No 2，1997）。

在認識了常見的幾何圖形的基礎上，自然要引導孩子們學點推理。書中不僅介紹了實際的教學過程和寶貴的經驗，還引進了有力的初等幾何的新方法，特別是以三共定理為代表的面積法。

傳統的幾何推理方法以全等三角形和相似三角形為基礎。如果圖中沒有現成的全等三角形或相似三角形，就要作輔助線，這就增加了解題的難度。此外，三角形全等要滿足三個條件，三角形相似要滿足兩個條件，這樣從三個或兩個條件推出一個結論，給初學者帶來了困難。

以三角形面積公式為基礎的三共定理學起來容易（都是三角形面積公式的簡單推論），用起來方便（一個條件一個結論，還不用作輔助線），解題效果顯著，而且能夠串通幾何、代數和三角的知識，溝通孩子們學過的知識和將來要學的知識。許多重要的幾何事實用三共定理來證明，立刻就變簡單了。回憶自己在初中學三角形中線的性質，那時要作輔助線，用上平行四邊形對角線的性質等知識；現在有了共邊定理，將兩個面積一比，馬上就看出結果來了。這種方法具有一般性，把中點換成三分點或四分點，也能夠算出相應的結果。書中除了這個例子，還舉出了塞瓦定理等著名結論的簡單推導，很有說服力。

在三共定理中，共高定理和共角定理早就有了，但共邊定理在傳統的教材和教參中未見提到。近年出版的一本高校用的初等幾何教材提到過一個有趣的例子：大數學家華羅庚（1910—1985）用初中數學知識給出了射影幾何的一條基本定理的證明，用了一頁篇幅，但作者后來發現，用基于小學知識的共邊定理，僅一行就推導出來了。實際上，共邊定理的本質是確定兩條直線交點的位置，代數意義就是求解二元一次方程組。這樣一來，平面射影幾何里所有涉及直線相交的定理用共邊定理就都能證明。

另一方面，共角定理的發展直觀而自然地引出了三角函數中的正弦，而且不用坐標就給出了涵蓋鈍角的正弦定義，實現了荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾（1905—1990）提出的“提前兩年學正弦”的設想。我國首創的這種“重建三角”的想法在初中階段進入教學實驗已有十幾年，顯示出了提升學生學習興趣和解題能力的明顯效果。這套小書向小學生講正弦，也是一個大膽嘗試。我國著名數學教育家張奠宙（1933—2018）在他的著作中寫道：“如果能從小學就開始熟悉sin A，當然是一次重大的思想解放……如果三角學真的有一天會下放到小學的話，這大約是一個歷史起點。”

綜觀這套小書，由淺入深，從觀察到計算再到推理，從平面畫圖到制作立體模型，從生動有趣的游戲到大師的著名貢獻（如七橋問題和歐拉公式），劉教授總是用淺顯通俗的語言引入問題，啟發孩子們去想象，誘導孩子們去思考和發現，讓孩子們在快樂、驚奇甚至震撼中進入數學的新天地。

我沒有教過小學，更沒有對小學數學教學做過深入的考察研究。看了這套小書，我感到這樣教孩子們學數學必然有好的效果，能夠讓孩子們愛上數學。當然，孩子們的具體情形各不相同，書中的具體內容也有需要進一步探討、改進之處。但我希望并相信，千千萬萬的孩子會在老師或家長的關懷下從書中獲益，從書中體會到數學是多么好玩，多么值得思考和探索。

2023年12月25日