1.2　變化的位置

我：“假設(shè)有一條直線，點在直線上移動。”

直線上的點

由梨：“又是點。”

我：“如果沒有任何標示，我們不知道點所在的位置。在直線上畫上數(shù)字刻度后，普通的直線就變成了數(shù)線。”

表示點位置的數(shù)線

由梨：“嗯，數(shù)線。”

我：“舉例來說，假設(shè)以表示點的位置，

我們會用這個數(shù)學式表示點在位置1上。”

由梨：“若是呢？”

我：“表示點前進很多！”

由梨：“那若是呢？”

我：“表示突然移動到非常遠的地方……以此類推。”

由梨：“一點都不難嘛。”

我：“非常好。不過，點在移動，比方說點從位置移動到位置。”

點從位置移動到

由梨：“嗯，點移動了。”

我：“此時，

位置變化

表示位置變化了多少。”

由梨：“好的。”

我：“雖然由可了解‘位置變化’（位置變化，也稱位移），卻不知道速度。”

由梨：“因為不知道點移動了1秒還是3萬年。”

我：“沒錯。如果不知道移動花費的時間，也就沒辦法知道速度。所以，在求點的速度時，必須注意每個時刻的位置。舉例來說

● 在時刻，點的位置為。

● 在時刻，點的位置為。

——像這樣來討論。”

由梨：“花費時間是吧。”

我：“沒錯。花費時間就是‘時間變化’，表示為

“時間變化”

做到這里就能計算速度

速度的公式會變成這樣。”

由梨：“我了解了，但是好麻煩啊。”

我：“好麻煩？”

由梨：“位置、時間、速度都跑出來了，好麻煩呀——”

我：“位置是指‘在哪里’，時間是指‘什么時候’，速度是指‘往哪個方向跑多快’，一點都不麻煩哦。”

由梨：“時間、位置一起改變，所以看起來很復雜啊。”

我：“遇到許多變量同時變化，看起來很復雜時，可以畫關(guān)系圖輔助理解，抓住變化的規(guī)律。”

由梨：“原來如此。”

我：“想要知道隨著時間改變，位置如何變化時，可以畫出‘位置圖’；想要知道隨著時間改變，速度如何變化時，可以畫出‘速度圖’。那么，實際來畫畫看，我們先來畫個‘位置圖’吧。”

問題3（繪制“位置圖”）

點以固定速度在直線上移動。

在時刻0，點的位置為

在時刻，點的位置為。

假設(shè)點一直以固定速度持續(xù)移動，試畫表示時間與位置關(guān)系的“位置圖”。

由梨：“點是以固定速度在移動，所以‘位置圖’會不斷向右上方延伸嘛。”

我：“咦？”

由梨：“啊，我漏掉了。一開始的位置是。”

我：“這樣不對，由梨。就算再怎么嫌麻煩，也不能省略這么多東西。如果橫軸和縱軸沒有任何標示，這圖形會沒有任何意義。”

由梨：“對哦。我想想……橫軸為時間、縱軸為位置嘛。”

我：“沒錯。由這個關(guān)系圖可以知道，點在時刻0時位于位置。因為時。”

由梨：“嗯……為什么這個關(guān)系圖有兩個0呢？”

我：“啊，那是時間的0和位置的0。一般會一起寫成原點，但這里把它們分開來寫。”

由梨：“嗯——”

我：“接著討論關(guān)系圖上其他時間的位置吧，像是時的值為多少？”

由梨：“嗯……速度為、花費時間為1，只前進了，加上一開始的位置是，所以的值會是？”

我：“沒錯。時，試著把答案寫進‘位置圖’中吧。”

在時間時，位置

由梨：“哈哈，出現(xiàn)在的上方了。”

我：“因為是時的位置。同理，如果改變時間……

的時候

的時候

的時候

的時候

……

會像這樣變化。比較新位置和一開始的位置，會發(fā)現(xiàn)時間，位置增加；時間，位置增加；時間，位置增加。換句話說，從起始位置開始的‘位置變化’跟時間成正比關(guān)系。”

由梨：“是啊。”

我：“經(jīng)過一般化，時間與位置的關(guān)系會是

在關(guān)系圖上，呈現(xiàn)斜率為的直線。”

由梨：“又是一般化。”

解答3（繪制“位置圖”）

表示點的時間與位置關(guān)系的“位置圖”如下。

點P的“位置圖”

由梨：“呵呵，哥哥真的很喜歡列數(shù)學式耶。”

我：“喜歡啊。只要知道和，就能夠用數(shù)學式，求出任何時間所對應的位置。這個‘任何時間所對應的’很吸引我啊。”

由梨：“哦——這就是對數(shù)學式的愛啊。”

我：“‘位置圖’就像是這樣，那‘速度圖’會如何呢？”

由梨：“因為速度固定不變，所以呈現(xiàn)水平線？”

我：“是的。點的速度在任何時間皆為定值。若以小寫字母表示在時間點的速度：

這個數(shù)學式在‘速度圖’上呈現(xiàn)為一條水平線。橫軸為時間，縱軸為速度。”

點的“速度圖”

由梨：“速度一直沒有改變啊。”

我：“沒錯。因為前提條件是點的速度固定不變，所以即便位置改變了，速度也不會出現(xiàn)變化。”

由梨：“呵呵……啊哈哈哈哈！”

我：“突然怎么了？”

由梨：“我突然想到以前哥哥舉過在堅硬冰塊上面滑動的例子。”

我：“啊啊，的確有這回事。點的移動跟不受外力在冰上滑動一樣。”