1.4　脈沖雷達

脈沖雷達波形示意如圖1-7所示。雷達發射的是一個周期性脈沖序列，相鄰兩個脈沖的間隔稱為脈沖重復間隔（Pulse Repetition Interval，PRI，記為T），其倒數稱為脈沖重復頻率（Pulse Repetition Frequency，PRF，記為fPRF）。在每個脈沖重復間隔內，前一部分時間用于發射脈沖，其時寬Tp稱為脈沖的時寬或脈沖持續時間，后一部分時間用于接收目標散射的回波信號。如此重復，發射、接收交替進行。發射脈沖的時寬在一個脈沖重復間隔中所占的比例Tp/T稱為占空比。每個脈沖既可以是單頻脈沖，也可以是調制脈沖。以下首先介紹單脈沖雷達波形，包括單頻脈沖雷達波形和線性調頻脈沖雷達波形，然后介紹脈沖串雷達波形。

1.4.1　單頻脈沖雷達波形

單頻脈沖雷達的時域表達式為

式中，f0表示雷達載頻；rect表示如下矩形窗函數。

單頻脈沖雷達的頻域表達式為

單頻脈沖雷達的時域波形（實部）和頻譜如圖1-8所示。單頻脈沖的帶寬B定義為頻譜主瓣的3dB寬度，表達式為B=0.88/Tp≈1/Tp。可見單頻脈沖的時寬和帶寬成反比。

考慮收發同置雷達感知單個靜止目標的例子，雷達發射波形被目標散射，回波經過延時τ被雷達接收，目標回波的時域表達式為

式中，α為散射系數；τ為延時，與目標到雷達的距離R成正比，即τ=2R/c。因此，通過測量延時τ即可測量目標到雷達的距離。目標回波的頻域表達式為

為了提高接收端的信噪比，從而更準確地檢測目標、測量距離，通常需要對目標回波進行匹配濾波處理。匹配濾波器的沖激響應函數為雷達發射信號的時域反褶后的復共軛，表達式為

式中，上標*表示取共軛。根據傅里葉變換的性質，匹配濾波器的頻域表達式為

事實上，匹配濾波器是在特定時刻最大化輸出信噪比的濾波器。為了證明這一點，考慮一般的濾波器，其沖激響應為h（t），頻率響應為H（f），則濾波器輸出信號y（t）的時域表達式和頻域表達式分別為

式中，運算*表示卷積。假設輸入中包含功率譜密度為的高斯白噪聲，則輸出噪聲仍為高斯噪聲，方差為

本節希望在t=τ時刻最大化匹配濾波器輸出的信噪比χ。信噪比χ的表達式為

由式（1-24）和柯西-施瓦茨不等式可得

由此可得

當滿足時取等號，即。這就證明了匹配濾波器可以最大化t=τ時刻的輸出信噪比。需要說明的是，在實際處理中，為了保證濾波器的因果性，即當t＜0時，h（t）=0，通常取，其中TM≥Tp，相應的匹配濾波器輸出將在t=TM+τ處取得峰值。為方便表達，以下的分析中仍設。

對單個靜止點目標，匹配濾波器輸出的時域表達式和頻域表達式分別為

式中，C（t）表示sT（t）的自相關函數，表達式為

自相關函數C（t）的頻譜為，自相關函數的最大值C（0）為脈沖的能量Ep。式（1-33）表明，對單個靜止點目標，匹配濾波器的輸出就是發射波形自相關函數的延遲。根據柯西-施瓦茨不等式，有

因此，由式（1-33）可知，匹配濾波器輸出y（t）的峰值出現在t=τ處。單頻脈沖的自相關函數是一個三角脈沖，表示為

因此，匹配濾波器輸出的三角脈沖的寬度為2Tp，在τ=2R/c處取最大值αC（0）=αTp。單頻脈沖雷達的匹配濾波器輸出如圖1-9所示。設置兩個幅度相同的目標，距離分別為R0和R0+30m，圖中橫軸為相對R0的距離，匹配濾波器輸出為兩個三角脈沖的疊加。當脈沖的時寬為0.1μs時，匹配濾波器輸出存在兩個峰值，表明場景中有兩個目標。當脈沖的時寬增大到0.2μs時，匹配濾波器輸出只有一個峰值，即兩個目標的響應發生了混疊，兩者難以區分。因此，單頻脈沖的時寬如果過大，則不利于分辨多個目標。這與1.3.1節對距離分辨率的分析是一致的，單頻脈沖的時寬越小，則帶寬越大，距離分辨率越高。

當目標相對雷達有徑向運動時，目標散射回波為

式中，fd為多普勒頻率，由式（1-11）給出。此時，按照靜止目標回波設計的匹配濾波器并不能與運動目標回波完美地匹配，而是存在多普勒失配現象，匹配濾波器輸出的幅度、信噪比都會隨之變小。為了刻畫匹配濾波器中的多普勒失配現象，需要引入模糊函數的概念。模糊函數用于刻畫存在多普勒失配現象時匹配濾波器輸出端的特性。波形x（t）的模糊函數定義為

模糊函數（τ，fd）表示雷達發射波形為x（t）、接收回波為x（t）exp（j2πfdt）時匹配濾波器的輸出，匹配濾波器沖激響應函數由式（1-25）給出。對于多普勒頻率為fd的運動目標，式（1-25）中的匹配濾波器的輸出幅度為

模糊函數的一個重要性質是，這可以根據柯西-施瓦茨不等式證明，即

特別地，有。這表明，在靜止目標的真實位置對應的延時τ處，匹配濾波器輸出的峰值幅度達到最大。單頻脈沖雷達波形的模糊函數的幅度為

單頻脈沖雷達波形的模糊函數等高線如圖1-10所示。從式（1-42）可以看出，對固定的fd，單頻脈沖雷達波形模糊函數（τ，fd）的峰值總是出現在τ=0處，峰值幅度為

這說明，在單頻脈沖雷達中，即便存在多普勒頻率fd，匹配濾波器輸出的峰值也會出現在t=τ時刻，可以正確反映出單個目標的延時。然而，匹配濾波器輸出的峰值隨多普勒頻率fd呈sinc規律變化，多普勒失配會導致匹配濾波器輸出的幅度減小、信噪比降低。

前面提到，在單頻脈沖中，時寬越小，距離分辨率越高。然而，單頻脈沖的時寬也不宜過小。這是因為單頻脈沖的能量A2Tp與時寬Tp成正比，大的脈沖時寬將帶來更高的能量，雷達接收端的信噪比也更高，更有利于雷達檢測到遠距離的目標。這說明，單頻脈沖雷達的距離分辨率和最大探測距離之間存在矛盾，其根源在于單頻脈沖的時寬和帶寬成反比。脈沖壓縮是解決距離分辨率和最大探測距離之間矛盾的有效技術。該技術用既有大時寬又有大帶寬的調頻脈沖代替單頻脈沖。調頻脈沖包括線性調頻脈沖和非線性調頻脈沖，其中線性調頻脈沖應用較為廣泛，下一節將對其進行詳細介紹。

1.4.2　線性調頻脈沖雷達波形

線性調頻（Linear Frequency Modulation，LFM）信號也稱chirp信號，其特點為頻率隨時間線性升高或降低。線性調頻脈沖雷達波形的時域表達式為

式中，f0表示雷達載頻；γ=±B/Tp表示線性調頻率，Tp表示時寬，B表示帶寬。BTp稱為時寬帶寬積，通常要求BTp?1。線性調頻脈沖雷達波形的瞬時頻率為，即瞬時頻率隨時間呈線性變化。當γ＞0時，為正向線性調頻脈沖雷達波形（up-chirp）；當γ＜0時，為反向線性調頻脈沖雷達波形（down-chirp）。線性調頻脈沖雷達的時域波形與頻譜如圖1-11所示。以星載合成孔徑雷達RADARSAT系統的參數為例，B=17.2MHz，Tp=42μs。線性調頻波形的頻域表達式可以根據駐相原理近似計算，參見文獻［1］。當BTp?1時，近似結果為

式中，C1為常數。可以看出，線性調頻信號的頻譜形式也是隨頻率變化的chirp信號。與1.4.1節類似，線性調頻脈沖雷達測距也是通過匹配濾波器實現的，匹配濾波器輸出仍為自相關函數的延遲，參見式（1-33）。線性調頻信號的自相關函數，即匹配濾波器輸出，如圖1-12所示，其表達式為［1，3］

式中的自相關函數可以分解為緩變部分分和捷變部。緩變部分為三角脈沖，在t=0附近近似為常數；捷變部分在t=0附近可以近似為sinc（Bt），其3dB寬度為0.88/B≈1/B，相應的距離分辨率為。因此，線性調頻脈沖的自相關函數在t=0附近可以近似為

式（1-47）也可以從頻域驗證，因為根據式（1-45），C（t）的頻譜近似為一個帶寬為B的矩形窗，因此C（t）近似為sinc函數。可以看出，線性調頻脈沖的匹配濾波器輸出的時寬為1/B，與原始時寬Tp相比大幅壓縮，壓縮倍數為時寬帶寬積BTp，通常有BTp?1。這說明，線性調頻脈沖既能用大時寬積累足夠的信號能量，確保增加雷達的作用距離，又能用大帶寬確保精確的距離分辨率。

線性調頻脈沖的匹配濾波器輸出由一個主瓣和多個旁瓣組成，其位置在圖1-12中標出。其中，匹配濾波器輸出的第一旁瓣高度為-13dB。旁瓣過高不利于對弱目標的檢測。為了說明旁瓣高度對弱目標的影響，假設場景中有一強一弱兩個目標，兩目標間距為5ρR，弱目標的幅度比強目標低26dB。如圖1-13（a）所示，在匹配濾波器輸出中，由于弱目標的峰值高度與峰值附近強目標的旁瓣高度接近，導致弱目標被強目標遮擋。抑制旁瓣可以減少強目標對弱目標的遮擋，而加窗是一種能有效抑制旁瓣的信號處理技術。加窗是指將原信號與一個窗函數相乘，其中窗函數是一種對信號加權的對稱實函數，權重在中心位置最大，向兩側逐漸衰減。常用的窗函數有矩形窗（不加窗）、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。加窗后，匹配濾波器的頻域表達式由式（1-26）變為

式中，W（f）為頻域窗函數。

加窗對匹配濾波器輸出的影響如圖1-13所示。其中，圖1-13（a）顯示了不加窗時強目標對弱目標的遮擋；在圖1-13（b）中，窗函數選擇Hanning窗，加窗后濾波器輸出的旁瓣被抑制，可以清晰地分辨出兩個目標，有效抑制強目標旁瓣對弱目標的遮擋。4種常用的窗函數及加窗后的濾波器輸出如圖1-14所示，各窗函數的比較如表1-1所示。從圖1-14和表1-1中可以看出，窗函數的旁瓣越低（以最大旁瓣幅度計算），主瓣通常越寬。因此，在多目標場景中，加窗可以抑制強目標旁瓣對弱目標的遮擋，而代價是輸出的主瓣展寬、距離分辨率受損，不利于分辨相距較近的目標。需要說明的是，加窗后的濾波器不再是匹配濾波器，濾波器輸出端無法達到式（1-32）中的最優信噪比。

與1.4.1節類似，當目標相對雷達有徑向運動時，接收回波中存在多普勒頻率fd。如果采用按照靜止目標設計的匹配濾波器，也會存在多普勒失配現象，導致輸出的信噪比降低。為了分析存在多普勒失配現象時的匹配濾波器輸出，需要考慮線性調頻脈沖雷達波形的模糊函數。線性調頻脈沖雷達波形的模糊函數幅度為

式中，是為了與式（1-42）中單頻脈沖雷達波形的模糊函數區分開來，兩者的關系為，即兩者可以由模糊函數在延時-多普勒平面的剪切變換互相轉換。線性調頻脈沖雷達波形的模糊函數等高線如圖1-15所示，圖中時寬與帶寬的積為BTp=722.4（與前述RADARSAT系統的參數一致）。圖1-15說明，線性調頻脈沖雷達波形的模糊函數呈現出距離-多普勒耦合現象［1］。對于運動目標，當存在多普勒頻率fd時，式（1-25）的匹配濾波器輸出幅度的峰值并非出現在t=τ時刻，而是出現在時刻，相應的距離測量誤差為。此外，存在多普勒失配現象，匹配濾波器的峰值幅度也會減小。當τ=0時，線性調頻脈沖雷達的模糊函數幅度與單頻脈沖雷達的模糊函數幅度表達式相同，見式（1-43）。

1.4.3　脈沖串雷達波形

1.2節介紹了相參積累的概念，由多個相參脈沖組成脈沖串，通過脈沖相參積累，可以有效提高雷達檢測時的信噪比χ。脈沖串雷達波形的時域表達式為

式中，m表示第m個脈沖；sp（t）表示時寬為Tp的單脈沖的基帶波形，單脈沖可以是式（1-20）中的單頻脈沖或式（1-44）中的線性調頻脈沖等。在以下分析中，假設T＞2Tp，即占空比小于50％。

與單脈沖雷達類似，脈沖串雷達測距也是通過匹配濾波實現的。首先考慮靜止目標的匹配濾波。假設場景中存在一個靜止目標，目標散射回波表達式為

脈沖串雷達波形的匹配濾波通常采用逐個脈沖處理的方式實現。首先假設τ≤T-Tp，此時目標對第m個脈沖的散射回波αsp（t-τ-mT）可以在第m個脈沖重復間隔內采集到。在每個脈沖重復間隔內用單脈沖的匹配濾波器hp（t）進行濾波，得到

式中，Cp（t）為單脈沖的自相關函數。ym（t）的峰值為ym（τ+mT）=αCp（0）=αEp。對不同脈沖重復間隔內的匹配濾波器輸出進行積累，得到

z（t）的峰值為z（τ）=αMCp（0）=αMEp，是ym（t）峰值的M倍。為了分析脈沖相參積累的信號處理增益，假設接收回波中包含功率譜密度為的高斯加性白噪聲，根據1.4.1節中的推導，單脈沖匹配濾波器輸出ym（t）在t=τ+mT處的信噪比為

式中，Np是單脈沖匹配濾波器輸出端的噪聲方差，參見式（1-29）～式（1-32）。通過不同脈沖間的積累，輸出的信號峰值由變為。而不同脈沖內的噪聲是各自獨立的，積累后的噪聲方差變為原來的M倍。積累后匹配濾波器輸出端的信噪比為

因此，M個脈沖積累能得到的信號處理增益為Gsp=M。

以上討論中假設τ≤T。當τ＞T時，脈沖串雷達波形的匹配濾波器輸出中會出現距離模糊現象。假設τ=τ1+kT，k為非負整數，則目標對第m個脈沖的散射回波將在第m+k個脈沖重復間隔中被采集到，m=0，1，…，M-k-1，此時只有M-k個脈沖的散射回波可以在一個相參處理間隔內被采集到。按照逐個脈沖匹配濾波處理流程，式（1-52）變為

式中，m=0，1，…，M-k-1，即ym（t）中只有后M-k項不為0。式（1-53）變為

式（1-57）說明，延時為τ=τ1+kT的靜止目標散射回波的匹配濾波器輸出峰值出現在t=τ1處，并不能反映其真實距離。這意味著匹配濾波器輸出中一個距離單元可能對應不止一個真實距離，這就是距離模糊現象。脈沖串雷達的最大無模糊距離為，當目標場景中目標實際距離范圍超過Rua時，就會產生距離模糊現象。為了抑制距離模糊現象，可以采用非均勻脈沖串等技術［1］。

在實際信號處理中，接收端采樣后的目標散射回波sR（t）是一個離散時間信號。因此，單脈沖的匹配濾波器輸出ym（t）也是一個離散時間信號。設在一個脈沖重復間隔內雷達采集了L個采樣點的數據，采樣率為fs，采樣間隔為Ts=1/fs。一個發射脈沖內的采樣點l對應的維度稱為快時間。快時間與距離單元相對應，假設采樣率等于帶寬，即fs=B，則第l個距離單元的距離為，l=0，1，…，L-1。在一個相參處理間隔內有M個脈沖，脈沖數m對應的維度稱為慢時間。這樣，回波信號和匹配濾波器輸出都可以被排列成數據矩陣，即sR［l，m］=sR（lTs+mT），y［l，m］=y（lTs+mT），其中l=0，1，…，L-1，m=0，1，…，M-1。圖1-16為脈沖串雷達波形信號處理流程，其中給出了將雷達接收回波轉化為數據矩陣的過程。

以下介紹脈沖串雷達測量運動目標的距離和徑向速度的算法。在式（1-38）中，一個隱含的假設是目標在一個脈沖時寬內到雷達的距離R（t）變化較小，因此延時τ為固定值。而在脈沖串雷達中，在不同脈沖重復間隔內，目標到雷達的距離R（t）變化明顯，因此式（1-38）不再適用。假設目標做徑向勻速運動，即R（t）=R0+vrt，其中R0=R（0）為目標初始距離，則目標散射回波可以表示為

在脈沖串雷達波形中，通常采用“走-停”模型刻畫運動目標的散射回波。實際目標相對雷達的運動是連續的。而在“走-停”模型中，將目標相對雷達的運動分解成“走”和“停”兩種狀態。“走”表示雷達不發射脈沖時，目標相對雷達有徑向運動；“停”表示雷達發射脈沖時，忽略目標相對雷達的徑向運動，因此第m個脈沖重復間隔內的目標距離R（t）可以近似為恒定值R0+mvrT，有

進一步假設目標在一個相參處理間隔內的運動不超過一個距離單元，即，此時，可以認為目標運動引起的延時變化不超過Cp（t）的3dB寬度，近似有，因此有

其峰值位于處，即。于是y［l，m］可以表示為

式中；為歸一化多普勒角頻率。因此，目標速度估計可以通過離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）實現，或者通過快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）實現，即

式中，，k=-M/2，-M/2+1，…，M/2-1。其中，求和的結果為如下模糊sinc函數。

因此，Y［l，k］的幅度為

Y［l，k］在rl=R0、ωk=ωd附近取得峰值，峰值為。相比單脈沖匹配濾波器輸出ym（t），在慢時間維做FFT后信號峰值變為原來信號幅度的M倍，信號能量變為原來的M2倍。而不同脈沖的噪聲之間是不相關的，則在慢時間維做FFT后噪聲方差變為原來的M倍。因此，在慢時間維做FFT后的信噪比變為Mχp，與式（1-55）中靜止目標相參積累的結果相同。根據式（1-64），可以分析脈沖串雷達波形測量目標距離、速度的分辨率和最大無模糊范圍。單脈沖自相關函數Cp（t）的3dB寬度約為，則距離分辨率為；如前所述，最大無模糊距離為；模糊sinc函數的3dB寬度約為，則速度分辨率為；ωk的取值范圍為-π～π，因此最大無模糊多普勒頻率為，即無模糊多普勒頻率范圍為-fd，ua～fd，ua；最大無模糊速度為，即在不產生速度模糊的條件下，雷達能測量的速度范圍為-vua～vua。