1.4.1　極限的四則運(yùn)算法則

定理1-4　在同一個(gè)變換過程中，如果lim f(x)=A，lim g(x)=B，則

（1）lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±lim g(x)=A±B；

（1-31）

（2）lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·lim g(x)=A·B；

（1-32）

（3）。

（1-33）

由以上定理可以得到下面的推論：

推論1-3　如果有限個(gè)函數(shù)f₁(x),f₂(x),…,f_n(x)的極限都存在，則有

（1）lim[f₁(x)±f₂(x)±…±f_n (x)]=limf₁(x)±limf₂(x)±…±lim f_n (x)；

（1-34）

（2）lim[f₁(x)·f₂(x)·…·f_n (x)]=limf₁(x)·limf₂(x)·…·lim f_n (x)。

（1-35）

推論1-4　如果函數(shù)f(x)的極限存在，k為常數(shù)，n為正整數(shù)，則有

【例1-20】　計(jì)算。

解：

【例1-21】　計(jì)算。

解：因?yàn)榉帜?img alt="" class="pic-h-1-10" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_39679.jpg?sign=1754621582-atiq1tj4XL36qRTIE4lAxKKBk3m8pIP8-0-02ee1e29216c6550e72ecdcd638b47c0">，所以可以使用極限的除法法則，

【例1-22】　計(jì)算。

解：因?yàn)榉帜?img alt="" class="pic-h-1-2" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P38_39684.jpg?sign=1754621582-EqP89q7cio8nGfZNkehL5M331zWM41HR-0-06666550c8fc7a3b345c72f6a8ce5dd4">，所以不能直接使用極限的除法法則。注意到分子有，分子和分母有公因子(x-1)。根據(jù)極限定義，x→1是指x無限趨近于1但x≠1，所以可以因式分解后約分，消去公因子。

定義1-14　如果當(dāng)x→x₀（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)都趨近于0或者無窮大，則極限可能存在，也可能不存在。通常把這類形式的極限叫作未定式，并記為型或型。

由于未定式不滿足前提條件，無法直接代入極限的四則運(yùn)算法則求解，需要先進(jìn)行代數(shù)恒等變形，滿足前提條件后，再代入極限的四則運(yùn)算法則求解。

【例1-23】　求極限。

分析：分母，所以不能直接使用極限的四則運(yùn)算法則，因?yàn)?img alt="" class="pic-h-2-21" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P39_39713.jpg?sign=1754621582-9w7xSR0M5W5yRW389SznM6Ao5SJEbBRj-0-2daa3ebfae84fdcfab36e0b505e53b4a">0，所以原式是一個(gè)型未定式。函數(shù)是無理函數(shù)，考慮使用有理化進(jìn)行恒等變形。

解法一：將分子、分母同時(shí)乘以共軛因式，

解法二：將無理部分變量代換，令，則x=t2-1，t→1。

【例1-24】　求。

分析：此例中，分子、分母在x→∞過程中的極限均不存在，所以不能直接利用商的極限運(yùn)算法則。注意到，但是，所以可以將分子、分母同時(shí)除以x的最高次冪（即x5），使之各部分極限存在，再做進(jìn)一步的計(jì)算。

解：。

【例1-25】　求極限。

分析：與上一個(gè)例題類似，考慮將其中的xp轉(zhuǎn)化為，使之極限存在，所以將分子、分母同時(shí)除以x的最高次冪x3。

解：。

一般地，如果a_n, b_m為不等于0的常數(shù)，當(dāng)x→∞時(shí)，有：