第2章　隨機變量及其分布

一個隨機試驗的結果全體構成一個基本空間S，可以把這個試驗的所有可能的結果用實數表示。例如當拋硬幣時，可能的結果是正面朝上和反面朝上。如果定義一個隨機變量X，當正面朝上時，X取值為1，當反面朝上時，X取值為0。又例如拋一個骰子，它所有可能的結果是1點、2點、……、6點，如果定義一個隨機變量X，當出現i點時取值為i。這樣定義的隨機變量是定義在Ω上取值為實數的函數。也就是說，基本空間S的每個點，都有實數軸上的點與其對應，由此可以利用現代數學工具來研究隨機現象。

對于隨機變量，主要關注它的以下4方面。

（1）分布律：隨機變量在實數軸取不同值的可能性大小的刻畫，是隨機變量的分布規律。

（2）分布函數：單調遞增的用于定義概率值的函數，是分布“規律”的另一種描述。

（3）分位數：分布函數的反函數，用于計算給定概率值的臨界點，在統計學中經常使用。

（4）隨機數：數值模擬中經常需要產生符合某種分布的隨機數，主要用于隨機模擬和計算。

分布函數（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率統計中重要的函數，正是通過它，可用數學分析的方法來研究隨機變量。分布函數是隨機變量最重要的概率特征，分布函數可以完整地描述隨機變量的統計規律，并且決定隨機變量的一切其他概率特征。

分位數（Quantile），也稱分位點，是指將一個隨機變量的概率分布范圍分為幾個數值點，常用的有中位數（二分位數）、四分位數、百分位數等。

隨機數一般指偽隨機數，它是用確定性的算法計算出來的隨機數序列，并不真正隨機，但具有類似于隨機數的統計特征，如均勻性、獨立性等。在計算偽隨機數時，若使用的初值（種子）不變，則偽隨機數的數序也不變。偽隨機數可以用計算機大量生成，在模擬研究中為了提高模擬效率，一般采用偽隨機數代替真正的隨機數。模擬中使用的一般是循環周期極長并能通過隨機數檢驗的偽隨機數，以保證計算結果的隨機性。

本章介紹概率論的基本概念，主要包括以下內容：

（1）隨機變量及其分布函數。

（2）離散型隨機變量及其分布律。

（3）連續型隨機變量及其概率密度。

（4）隨機變量函數的分布。