2.4　地球重力場邊值問題理論

2.4.1　物理大地測量邊值問題

由于地球內部密度分布的復雜性和未知性，根據重力場定義無法從理論上通過密度的空間積分直接確定地球外部重力場，根據高斯定理可知，通過某一表面上的信息即可確定該表面以外的調和函數。物理大地測量邊值問題（Geodesy Boundary Value Problem，GBVP）應運而生，奠定了構建地球表面及其外部重力場的數學理論基礎。邊值問題可簡單描述為：在大地水準面或地球的自然表面以及其他球面、橢球面上給定邊值條件及相應的邊值（重力向量和重力位測量值及其泛函），確定該邊界面及其外部引力位，使其滿足邊值條件并在無限空間內是調和函數。邊值問題根據不同的邊界條件可分為第一、第二、第三外部邊值問題，即相應的Dirichlet外部邊值問題、Neumamn外部邊值問題和Robin外部邊值問題，下面對三類邊值問題的數學原理做簡要介紹。

（1）Dirichlet外部邊值問題（狹義利赫外部邊值問題）

已知邊界面上所求調和函數的極限值，B=E（常），即V（Q）=F（Q），當邊界為半徑為R的球面時，則可表示為

其球面解即為Poisson積分：

（2）Neumamn外部邊值問題（牛曼外部邊值問題）

已知邊界面上調和函數法向n的導數值，即當邊界為半徑為R的球面時，則可表示為

根據球諧函數展開理論及面球函數的級數表達可得該Neumamn外部邊值問題的球面解為（3）Robin外部邊值問題（混合外部邊值問題）已知調和函數及其法向導數的線性組合在邊界面上的值，即當邊界為半徑為R的球面時，則可表示為

其球面解為

式中，αR-β（n+1）=R2，大地測量基本微分方程就是滿足第三外部邊值條件，所以使用邊界面上的重力異常確定地球重力場及大地水準面屬于此類問題。

無論何類邊值問題，在實際應用中的前提都有兩個：一是該邊界面已知；二是調和函數及其泛函在該邊界面上已知。因此，結合地球重力場特點，根據不同的邊界面形成了不同類型的實際應用的邊值問題，如Stokes邊值問題、Molodensky邊值問題和Bjerhammar邊值問題等。