2.1　球諧函數

利用球諧函數恢復地球重力場是目前最經常使用、發展較成熟的一項技術。球諧函數滿足拉普拉斯方程，位理論上的許多邊值問題都可以利用球諧函數進行解算。球諧函數具有最優的頻率局部化特性，每個球諧階次（n和m）都有單一的頻率與之對應，尤其適合表示全球重力場。

地球外部引力位通常可以用球諧函數表示為傅里葉級數展開的形式：

式中，r、θ、λ為球面上或外部任意一點的球坐標，GM為地球引力常數和地球質量的乘積，RE為地球平均半徑，n、m分別為球諧階次，為球諧函數引力位系數，分別為余弦項和正弦項面諧函數，可表示為

式中，是完全正則化連帶勒讓德多項式。

球諧函數是全局化的調和函數，其空間表現情況與球諧階次的取值有密切聯系。圖2-1展示了三個球諧函數和的空間分布情況。從圖2-1可以看出，當時，球面被分成多個橫向條帶，此時的球諧函數為“帶諧函數”；當時，球面表現為若干個田字格，且在格與格之間正值和負值交替變換，這樣的函數為“田諧函數”；在更加特殊的情況下，例如，當時，球面被眾多扇形區域均勻分割，形成類似西瓜瓣的形狀，被稱為“扇諧函數”。

圖2-1　各種球諧函數

資料來源：Barthelmes F，2013。

由于全球緊支撐特性，球諧函數通常用于構建地球重力場模型。球諧函數可以方便地對重力場信號進行頻譜分析和濾波，利用球諧函數的分析與合成，可以得到空間域下球面上任意一點的重力值。