前言

源遠流長千景好， 根深葉茂萬花嬌。

阿基牛頓南天遠， 黎曼高斯北辰高。

符號神奇織錦繡， 語言美妙遠塵囂。

物皆數理憑計算， 事盡邏輯任推敲。

這是作者在2018年寫下的《數學頌》，其中談到數學的兩個重要方面——計算與邏輯推理。事實上，由于數理邏輯的出現，邏輯推理也可以變成數學計算。可見，計算能力是學習數學的重要方面。

小學數學主要講算術計算?？梢院敛豢鋸埖卣f，算術計算幾乎是小學數學的全部。雖然小學數學中也有一些幾何計算和一些簡單的代數方程，但是其解決手段還是靠算術計算。也許有人會說，數學思維能力不是更重要嗎？這個固然重要，但是在小學階段，數學思維能力主要靠算術計算能力來培養和支撐。初中生學習代數時，會學到平方差公式、完全平方公式等大量優美的代數公式?？墒?，大家想過沒有，這些公式有什么用處呢？除了更為普遍的意義外，它們是數的計算規律的總結，可以直接用于算術計算。換句話說，它們提供了算術計算的一些更為有效的方法。高中生會學習等差數列、等比數列等的求和方法，這些實際上是一些特殊情形下的加法速算方法，還是在進一步講算術計算。到了大學的線性代數課程，所謂的行列式、方程組、矩陣等都涉及大量的算術計算。至于概率、函數、微積分、幾何，尤其是解析幾何，它們也都離不開算術計算。物理和化學概莫能外。

總之，算術計算能力對于所有層次的學生來說都很重要。小時候計算能力不過關的同學，基本上會被中高考所淘汰。即便是理工科大學生，倘若算術計算能力薄弱，也必然會為其所累。

計算能力不足往往表現為慢和錯，要么計算速度跟不上，要么一算就錯。計算能力不足還有一個表現，就是口算能力太差，對于像兩個兩位數的乘法、三個三位數的加法等如此簡單的計算題，許多孩子還需要動筆，離開了計算工具就不知所措。

有些孩子和家長可能也知道計算的重要性，但就是不清楚該從何處下手加以改進和提高。一些速算視頻的極端表演以及有關最強大腦的片面宣傳，讓很多人錯誤地認為速算達人是天才，計算能力是天賦。其實不然，速算達人要靠勤奮，計算能力要靠訓練。當然，都要靠正確的理論和方法來指導。普通的學生不一定都要達到速算達人那種不可思議的計算速度，但是適當學習一點速算知識，在熟練掌握傳統計算方法的基礎上靈活運用一些計算技巧，從而提高計算的準確性和速度，是十分必要的，也是力所能及的。對于大部分孩子來說，只要正確理解數和運算的概念，懂得原理，掌握方法，適當練習，就可以輕松提升計算能力。這里所說的計算包括筆算和心算，也包括二者的結合。

正是基于以上想法，我非常愉快地接受了出版社的邀請來寫作本書，以助渴望輕松、快速提升計算能力的孩子及其家長一臂之力。

給小學生寫書，并不是件容易的事?？紤]到孩子們的閱讀能力的局限性，在寫作方式上就頗費思量。另外，小學一共有5年或6年，數學教材有10冊或12冊，要在一本書中比較全面系統地介紹與計算有關的內容，選材和呈現都是非常棘手的問題。

本書以別具一格的風格在較短的篇幅內比較全面系統地介紹了小學數學計算幾乎所有的重要方面，內容包括20以內的加減法童子功、一位數加減法進階、多位數加減法的計算技巧、一位乘數的乘法技巧、多位數的乘法技巧、除法的巧妙計算方法以及其他一些重要計算的關鍵內容。在不忽視常規計算方法的基礎上，本書介紹了大量頗具特色的算術計算方法和技巧，其中既有傳承又有創新，特別是九宮速算方法和梅花積方法是新時代速算理論的重要內容，也是我原創的方法。所有想要獲得算術知識更新的朋友都可以從本書中獲益。

第1章介紹20以內的加減法童子功，其中通過蹺蹺板來介紹加法的升降法，通過電梯的升降來講同升同降減法，通過朋友分組來講數字拆分法，通過五指來講以5作為基準數的加減法，通過雙手十指來講以10為跳板的加減法以及補數的妙用，最后將加減法基本功歸結為對于九九加法表的熟練掌握。

第2章是一位數加減法進階，主要介紹非常直觀高效的九宮圖加減法速算理論，具體內容從九宮圖數數方法開始，介紹加減法基本圖式、從圖上看補數對與進位的方法、九宮旋轉法、眾多一位數加減法心算、一些重要的加法圖式、模式法在加減法速算中的應用、重心法等諸多新穎的內容。

第3章首先指出多位數加減法常規運算的關鍵點，然后重點介紹多位數加減法的一些別具特色的計算技巧，其中包括負數的加減法運算、大數字提前進位法與負數的運用、棄九棄十法、眾多多位數的加減法心算、用九宮圖心算多位數加減法的方法。最后，介紹一些簡單數列的求和技巧與小數的加減法運算技巧。

第4章介紹一位乘數的乘法技巧，通過九九乘法表在九宮圖上的完美表現給出快速記憶乘法口訣的訣竅以及運用九宮圖計算多位數乘一位數的旋轉法，通過負數得到乘法口訣的微改進，從而幫助孩子們提高乘法的計算速度。此外，還特別介紹了3，4，5，9這4個乘數的特殊乘法技巧。

第5章在強調常規方法訓練意義的基礎上介紹多位數的多種高效的乘法技巧，其中包括大智若愚法、利用負數做乘法的方法、平方的簡便計算方法、乘法的基準公式、乘法速算基本公式、乘法的虛擬進位法以及任意多位數的乘法口算技巧，最后介紹小數乘法的方法和技巧。該章的大智若愚法是從傳統的鋪地錦方法發展出來的新方法，而虛擬進位法與梅花積乘法則是作者原創的系統方法。

第6章在強調常規方法訓練意義的基礎上介紹除法的巧妙計算方法，其中包括乘法口訣微改進的應用、利用負數做除法的方法、乘除轉化法、分數（百分數）的計算、分數與小數的轉化、利用分數約分做除法的方法、任意多位數的除法口算技巧以及小數的除法運算技巧。該章的梅花積除法與上一章的梅花積乘法一起構成梅花積速算理論。

第7章介紹其他一些重要計算的關鍵內容，主要包括一些常見單位的換算、一些幾何計算和算術四則混合運算，最后還介紹了算術平均數的計算方法、乘積和與乘積倒數和的計算技巧。

本書的特點可以概括為“四個結合”，即常規與特色結合、原理與方法結合、方法與實例結合、系統性與分散性結合。本書主要講特色方法，同時也強調常規方法的基礎地位。在介紹特色方法時，也會考慮到孩子們的接受能力，將原理與方法結合起來講解，以便孩子們在理解原理的基礎上掌握方法。另外，遵循一般與特殊相統一的思維規律，將方法與實例結合起來進行講解，讓孩子們通過具體的實例理解一般的算理和方法。要特別注意，雖然本書中有大量例題，但是目的是通過例題來闡述方法和原理，后者才是重點。所謂系統性與分散性結合，是指本書中的一些計算方法和理論具有系統性和普遍性，但是往往被分散到不同的章節進行介紹，以便孩子們能夠循序漸進地理解和掌握它們。比如，負數技巧不僅適用于加減法，也適用于乘除法，當然更是梅花積速算理論的基礎。而梅花積速算理論不僅包括乘法的梅花積方法，也包括除法的梅花積方法。又如，九宮速算方法不僅可以用于加減法速算，也可以用于乘除法速算。這些理論和方法分散在不同的章節，合起來就形成了完整的系統性方法。

下面談一下關于本書的使用與學習方法。很多計算技巧很實用，但是涉及分數和負數，可是關于分數和負數的概念一般要在小學高年級或初中才介紹，因此我們在相關章節的標題后標注星號，以示區別。建議孩子們分3個階段閱讀本書：小學低年級時閱讀不帶星號的章節并加以練習，小學高年級時閱讀帶有星號的章節并加以練習，最后在學習完全書的基礎上再完整地通讀，加以系統化整理并進行綜合訓練。讀書時，一要注意方法與實例結合，不僅要善于通過實例理解方法，而且要善于將方法用于更多的實例；二要注意常規訓練與特色訓練的結合，一定要在熟練掌握常規方法的前提下學習特色方法，不然就是本末倒置；三要加強訓練和練習，如果只是紙上談兵而不加以練習，就不能有效地掌握方法，更不可能真正提升計算能力；四要將單項訓練與綜合訓練結合起來，因為不進行單項訓練就失去了綜合訓練的基礎，而不進行綜合訓練就不能融會貫通，也就失去了實現計算能力飛躍的機會。最后，對于不想花費太多時間來學習的孩子，還有一個選擇性學習的方法，但是一定要注意方法的系統性，盡量融會貫通。比如，你只想學習乘除法的負數技巧，或者只想學習梅花積速算方法，這都是可以的，因為它們各自具有普遍的適用性。書中可能只講了較為簡單的例子，但是你要善于將所學的方法用于更一般的情形。

好了，萬事俱備，只欠東風。工具和方法都有了，剩下的就靠你自己了。只要你能夠參考上述建議，按部就班地進行學習和練習，就一定能夠提升自己的計算能力。

最后，感謝我的家人，他們任勞任怨的付出使我能夠遠離煩瑣的家務，從而專注于研究和寫作。感謝本書的責任編輯劉朋，他為本書的編寫提供了富有啟發性的建議并做了大量細致耐心的編輯工作。感謝廣大讀者朋友，你們的鼓勵和期待是我編寫本書的靈感源泉和不竭動力。

2024年7月于煙臺大學