1.1.1　單量子比特

在經典計算中，經典比特的狀態用0或1表示，而在量子計算中可以用、、、 表示量子比特的狀態，“”是狄拉克（Dirac）括號。為了與經典計算的二進制規則兼容，本書后續章節只使用、這兩種狀態。量子比特是可以處在多種狀態的疊加態的，也就是說量子比特可以處在、這兩種狀態的疊加狀態，那怎么表示這種疊加狀態呢？可以把量子比特表示為二維復向量空間中的一個單位向量。設、為的一組基，則一個量子比特可以表示為

(1.1)

其中，、都是復數，稱為振幅，且滿足歸一化條件。

接下來，考慮將 表示為一個特定的形式。這種形式通常稱為布洛赫（Bloch）球, 如圖1.1所示。

布洛赫球的北極表示，南極表示。根據布洛赫球表示法，可以將任意單量子比特量子態寫為

(1.2)

其中， 和 是實數， 是任意相位。這種表示方式的物理意義是， 和 描述了 在布洛赫球上的位置，描述了 的全局相位。由于對觀測值沒有實質性的影響，所以這里可以忽略。進而，可以表示為

(1.3)

圖1.1　布洛赫球

顯然，這里對應球上的點。

下面證明如果將 表示為式（1.2），則有 和 。首先，將式（1.2）代入式（1.1）：

(1.4)

這樣，可以得到：

(1.5)

然后，計算 ：

(1.6)

這證明了第一個等式。同時，第二個等式也得到了驗證。

因此， 和 是等價的。