1.6 重要數(shù)學(xué)定義和常用的引理

定義1-19 設(shè)，其中，A是m階非奇異矩陣，D=CA-1B為M關(guān)于A的Schur補，記作M/A。

定義1-20 設(shè)F：[a，b]→?是函數(shù)，定義右上Dini導(dǎo)數(shù)為

注1-2 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，其右上Dini導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)相等。

定義1-21[119] 如果n階矩陣A=（aij）滿足條件aii＞0，aij≤0，i≠j，并且有下列條件之一成立：

1）A的所有特征值的實部都為正的。

2）A的所有主子式都是正的。

3）A的所有順序主子式都是正的。

4）A的逆存在且為非負(fù)矩陣。

5）有正向量x，使Ax為正向量。

6）對實向量x，若Ax非負(fù)，則x非負(fù)。

7）若D=diag（A），C=D-A，B=D-1C，則ρ（B）<1，這里，ρ（B）為B的特征值的模的最大值（含絕對值），也稱為B的譜半徑。

8）B=λE-A為非負(fù)矩陣，其中，E為單位矩陣，λ>ρ（B）。

9）若B滿足bii>0，bij≤0，i≠j，且bij≥aij，i，j=1，2，…，n，則B的逆存在。

則稱A為Minkovski矩陣，或非奇異M-矩陣，簡稱M-矩陣。

注1-3 定義1-21中的條件1）～9）互相等價。另外，本書中的M-矩陣都是指非奇異的M-矩陣。

定義1-22 如果n階矩陣A=（aij）存在向量d=（d1，d2，…，dn）T，使得

則稱A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

定義1-23 設(shè)X是一個非空集合，T是X到X中的映射，若果存在x*∈X，滿足Tx*=x*，則稱x*為映射T的不動點。

定義1-24 設(shè)（X，ρ）為度量空間，T是X到X中的映射，如果存在數(shù)α（0<α<1），使得對所有的x，y∈X，都有ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），則稱T是壓縮映射，α稱為壓縮系數(shù)。

顯然壓縮映射為連續(xù)映射。1922年Banach（巴拿赫）給出壓縮映射原理，也稱為Banach不動點定理，是度量空間理論的一個重要工具。

引理1-1（Banach壓縮映射原理）設(shè)（X，ρ）為完備度量空間，T是X到X中的映射，則T有唯一的不動點，即存在唯一的x*∈X，使得Tx*=x*。

注1-4 Banach壓縮映射原理又稱Banach不動點定理。完備度量空間是指該空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。用內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)來定義距離，Banach空間就成為了希爾伯特空間。

引理1-2（Brouwer不動點定理）設(shè)D是?n中有界凸閉集，Φ：D→D連續(xù)，則Φ在D上必有不動點。

注1-5 Brouwer不動點定理可擴(kuò)展到n維拓?fù)湎蛄靠臻g中閉凸體上的連續(xù)映射，并廣泛應(yīng)用于各種方程解存在性定理的證明。

引理1-3 對于任意a，b∈?，ε＞0，則

εa 2+ε-1b2≥2ab

引理1-4 對于任意a，b∈?n，ε＞0，有

2aTb≤εaTXa+ε-1bTX-1b

和

2aTXb≤aTXa+bTX-1b

成立，其中矩陣X∈?n×n，且X＞0。

引理1-5 對于任意X，Y∈?n×n，P∈?n×n，且p＞0，ε＞0，有

X T Y +YTX≤εXTX+ε-1YTY

或

X T Y +YTX≤εXTPX+ε-1YTP-1Y

引理1-6[120] （Schur補定理）線性矩陣不等式

這里Q（x）=QT（x），R（x）=RT（x），等價于

R （x）＞0，Q（x）-S（x）R-1（x）ST（x）＞0

或

Q （x）＞0，R（x）-ST（x）Q-1（x）S（x）＞0

引理1-7（Jensen不等式）對任意正定矩陣Q＞0，標(biāo)量γ＞0，向量函數(shù)ω：[0，γ]→?n，有

引理1-8（Young不等式）對于任意a，b∈?，a＞0，b＞0，p≥1，則

ap -1 b≤（p-1）/pap+1/pbp