2.1.3　旋轉的軸角表示/旋轉向量表示

事實上，我們還可以使用一個旋轉軸和旋轉角度來描述空間旋轉或姿態。若進一步使一個向量的朝向與這個旋轉軸一致，并使這個向量的模長等于旋轉角度，則可以得到描述空間旋轉或姿態的旋轉向量表示形式，一些學者也將其稱為旋轉的軸角表示形式。圖2-8展示了空間中的一點繞單位長度的轉軸旋轉角度而得到點的過程，在此過程中，如果旋轉是繞軸逆時針進行的，則角度為正。

圖2-8　空間旋轉的軸角表示示意圖

可以看出，旋轉向量使用了4個變量來描述3個自由度的旋轉，與旋轉矩陣相比，它是空間旋轉的一種緊湊表達。法國數學家本杰明·奧倫德·羅德里格斯給出了由旋轉向量到旋轉矩陣的轉換關系：

（2-22）

其中為向量的反對稱陣，若，則為

（2-23）

式（2-22）即著名的羅德里格斯旋轉公式，詳細的推導證明這里不再給出，讀者可以參考相關論文、博客。基于式（2-22），我們分別求等式兩側矩陣對角線元素之和，即對式（2-22）取跡，這可以進一步得到由旋轉矩陣到旋轉向量的轉換關系：

（2-24）

當時，我們可以進一步得到單位轉軸矢量：

（2-25）

其中表示旋轉矩陣在第i行第j列的元素值。

然而，雖然旋轉向量能夠給出空間旋轉的緊湊表達，但是其存在下列兩個問題。

（1）不唯一性：我們可以看出，繞旋轉角度和繞旋轉角度是等效的，因此同一個旋轉通常有多種旋轉向量的表示形式。

（2）奇異性：當為單位陣且時，轉軸可以隨意選取。