第4章 數學公式

4.1 階乘、排列和組合、二項式定理和復數[9]

33 階乘、排列和組合、二項式定理

（1）階乘：n!=1·2·3…（n-2）（n-1）n

0!=10!!=0（-1）!!=0

MATLAB（關于MATLAB基礎知識，請參見第12篇第8章中階乘函數[30-34]：factorial

格式：y=factorial（n）

描述：factorial（n）表示從1到n所有整數的乘積。由于其結果為雙精度，只有大概15位數字，所以其只能精確求解n≤21，對于更大的n值，其結果將適當擴大，而且前15位是精確的。

（2）排列：

（3）組合

（4）二項式定理：

34 復數運算

若：

則：

z=a+jb的共軛復數：

?MATLAB中復數的定義函數：complex

格式：c=complex（a,b）

c=complex（a）

描述：1）c=complex（a，b）輸入兩個實數，構成一個復數輸出c=a+bi，輸入必須是標量或尺寸相同、數據類型相同的向量、矩陣、多維數組，輸出和輸入的尺寸一樣。注意：如果b是全零，c仍是復數，且它的所有虛部為零。相反，加法a+0i返回的是一個實數結果。2）c=complex（a）返回結果為一復數形式，其實部為a，虛部為0，即使所有虛部均為0，c仍是復數，復數的表達形式為a+i*b或a+j*b，當a和b不是雙精度或b為全零時，“i”和“j”可當作其他變量（不等于）。

4.2 常用函數[9-11]

35 三角函數和反三角函數

（1）基本恒等式

sinαcscα=1　cosαsecα=1

tanαcotα=1　sin2α+cos2α=1

csc2α-cot2α=1　sec2α-tan2α=1

tanα=sinα/cosα　cotα=cosα/sinα

（2）和（差）角公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α±β）=（tanα±tanβ）/（1?tanαtanβ）

cot（α±β）=（cotαcotβ±1）/（cotβ±cotα）

（3）倍角公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1

tan2α=2tanα/（1-tan2α）

cot2α=（cot2α-1）/（2cotα）

sin3α=3sinα-4sin3α

cos3α=4cos3α-3cosα

（4）半角公式

（5）和差與積互化公式

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

tanα+tanβ=sin（α+β）/cosαcosβ

tanα-tanβ=sin（α-β）/cosαcosβ

2cosαcosβ=cos（α+β）+cos（α-β）

（6）反三角函數

sin（arcsinx）=cos（arccosx）=tan（arctanx）=x

arcsinx+arccosx=π/2

arctanx+arccotx=π/2

（*上面四等式左邊兩角之和與差在主值范圍內取值時，等式成立）

?MATLAB中正弦函數與反正弦函數：sin、asin

格式：Y=sin（X）計算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復數）中每個角度分量的正弦值Y，所有分量的角度單位為rad。

格式：Y=asin（X）計算參量X（可以是向量、矩陣）中每個元素的反正弦函數值Y。若X中有的分量處于[-1,1]之間，則Y=asin（X）對應的分量處于[-π/2,π/2]之間，若X中有分量在[-1,1]之外，則Y=asin（X）對應的分量為復數。

注意：sin（pi）并不是零，而是與浮點精度有關的無窮小量eps，因為pi僅僅是精確值π浮點近似的表示值而已；對于復數z=x+iy，函數的定義為：

?MATLAB中余弦函數與反余弦函數：cos、acos

格式：Y=cos（X）計算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復數）中每個角度分量的余弦值Y，所有分量的角度單位為rad。

格式：Y=acos（X）計算參量X（可以是向量、矩陣）中每個元素的反余弦函數值Y。若X中有的分量處于[-1,1]之間，則Y=acos（X）對應的分量處于[0,π]之間，若X中有分量在[-1,1]之外，則Y=acos（X）對應的分量為復數。

注意：cos（pi/2）并不是零，而是與浮點精度有關的無窮小量eps，因為pi僅僅是精確值π浮點近似的表示值而已；對于復數z=x+iy，函數的定義為：

?MATLAB中正切函數與反正切函數：tan、atan

格式：Y=tan（X）計算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復數）中每個角度分量的正切值Y，所有分量的角度單位為rad。

格式：Y=atan（X）計算參量X（可以是向量、矩陣）中每個元素的反正切函數值Y。若X中有的分量為實數，則Y=atan（X）對應的分量處于[-π/2,π/2]之間。

注意：tan（pi/2）并不是零，而是與浮點精度有關的無窮小量eps，因為pi僅僅是精確值π浮點近似的表示值而已；反正切函數的定義為：

?MATLAB中余切函數與反余切函數：cot、acot

格式：Y=cot（X）計算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復數）中每個角度分量的余切值Y，所有分量的角度單位為rad。

格式：Y=acot（X）計算參量X（可以是向量、矩陣）中每個元素的反余切函數值Y。

?MATLAB中正割函數與反正割函數：sec、asec

格式：Y=sec（X）計算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復數）中每個角度分量的正割函數值Y，所有分量的角度單位為rad。

格式：Y=asec（X）計算參量X（可以是向量、矩陣）中每個元素的反正割函數值Y。

注意：sec（pi/2）并不是無窮大，而是與浮點精度有關的無窮小量eps的倒數，因為pi僅僅是精確值π浮點近似的表示值而已。

?MATLAB中余割函數與反余割函數：csc、acsc

格式：Y=csc（X）計算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復數）中每個角度分量的余割值Y，所有分量的角度單位為rad。

格式：Y=acsc（X）計算參量X（可以是向量、矩陣）中每個元素的反余割函數值Y。

36 雙曲函數、反雙曲函數和對數函數

（1）雙曲函數

雙曲正弦

雙曲余弦

雙曲正切

雙曲余切

雙曲正割

雙曲余割

（2）雙曲函數的基本關系

sinh（-x）=-sinhx

cosh（-x）=coshx

tanhxcothx=1

cosh2x-sinh2x=1

sech2x+tanh2x=1

coth2x-cosech2x=1

反雙曲正弦 若x=sinhy，則：

反雙曲余弦 若x=coshy，則：

反雙曲正切 若x=tanhy則：

反雙曲余切 若x=cothy，則：

反雙曲正割 若x=sechy，則：

反雙曲余割 若x=cosechy，則：

反雙曲函數基本公式

（3）對數函數

log_aa=1；　log_a1=0

log_axn=nlog_ax；　alog_ax=x

log_a（x·y）=log_ax+log_ay

log_a（x/y）=log_ax-log_ay

log_ax=log_bx/log_ba；　log_ab·log_ba=1

?MATLAB中雙曲正弦函數與反雙曲正弦函數：sinh、asinh

格式：Y=sinh（X）計算參量X的雙曲正弦函數值Y。

Y=asinh（X）計算參量X中每一個元素的反雙曲正弦函數值Y。

?MATLAB中雙曲余弦函數與反雙曲余弦函數：cosh、acosh

格式：Y=cosh（X）計算參量X的雙曲余弦值Y。

Y=acosh（X）計算參量X中每一個元素的反雙曲余弦函數值Y。

?MATLAB中雙曲正切函數與反雙曲正切函數：tanh、atanh

格式：Y=tanh（X）計算參量X中每一個元素的雙曲正切函數值Y。

Y=atanh（X）計算參量X中每一個元素的反雙曲正切函數值Y。

?MATLAB中雙曲余切函數與反雙曲余切函數：coth、acoth

格式：Y=coth（X）計算參量X中每一個元素的雙曲余切函數值Y。

Y=acoth（X）計算參量X中每一個元素的反雙曲余切函數值Y。

?MATLAB中雙曲正割函數與反雙曲正割函數：sech、asech

格式：Y=sech（X）計算參量X中每一個元素的雙曲正割函數值Y。

Y=asech（X）計算參量X中每一個元素的反雙曲正割函數值Y。

?MATLAB中雙曲余割函數與反雙曲余割函數：csch、acsch

格式：Y=csch（X）計算參量X中每一個元素的雙曲余割值Y。

Y=acsch（X）計算參量X中每一個元素的反雙曲余割函數值Y。

?MATLAB中對數函數：log、log₁₀、log₂

格式：Y=log（X）自然對數函數。

Y=log₁₀（X）常用對數函數。

Y=log₂（X）以2為底的對數并分解浮點數。

37 三角函數、雙曲函數和指數函數的關系

ejx=cosx+jsinx；　ex=coshx+sinhx；

4.3 微積分

38 導數運算法則和基本公式

（1）導數運算基本規則 若c為常數，函數u=u（x），v=v（x）的導數存在，則

（c）′=0（c′為c的導數）（cu）′=cu′

（u±v）′=u′±v′（uv）′=u′v+uv′

設y=f（u）,u=g（x），則

設y=g（t）,x=f（t），則

（2）基本函數的導數公式見表1.4-1。

?MATLAB中一元函數的導數函數：diff

格式：yy=diff（f）求函數f的一階導數，其中f是符號函數。

yy=diff（f，n）求函數f的n階導數，其中f是符號函數。

39 不定積分和定積分

（1）不定積分 不定積分的基本性質：

基本函數積分表：

∫kdx=kx+c（k為常數）

（2）部分常用函數定積分

1）伽馬（Γ）函數：

2）尤拉常數：

?MATLAB中函數的不定積分：int

格式：yy=int（f）求函數f對默認變量的不定積分，用于函數只有一個變量。

yy=int（f,v）求函數f對變量v的不定積分。

?MATLAB中函數的定積分：int

格式：yy=int（f,x,a,b）用微積分基本公式計算定積分。

40 級數

（1）泰勒級數與馬克勞林級數 當n無窮增加時，若，函數f（x）展開成無窮冪級數

稱為泰勒級數。同樣，當a=0時，有馬克勞林級數

（2）幾種重要函數的冪級數見表1.4-2。

?MATLAB中函數的泰勒級數與馬克勞林級數：taylor

格式：yy=taylor（f）將函數f展開成默認變量的6階馬克勞林級數。

yy=taylor（f,n）將函數f展開成默認變量的n階馬克勞林級數。

yy=taylor（f,n,v,a）將函數f（v）在v=a展開成n階泰勒級數。

41 傅里葉級數和傅里葉變換

（1）傅里葉級數 滿足關系式f（x+T）=f（x）的函數f（x）是周期為T的周期函數。若周期函數f（x）在區間上滿足下列狄利克萊（Dirichlet）條件：1）連續或者只有有限個第一類間斷點（在這種間斷點，函數的躍變值有限）；2）只有有限個極值點，則f（x）在區間可以展開成傅里葉級數：

式中 a_k和b_k——傅里葉系數。利用正交函數的性質，可得傅里葉系數的計算公式：

定義在有限區間（O,P）上的函數（在區間“OP”之外無定義）f（x），不考慮是否是周期性的，可以在區間（-P，O）上延拓，按不同方式來定義。

（2）幾種常見的函數的傅里葉級數

（3）傅里葉變換（傅氏變換） 若非周期函數f（t）在（-∞，+∞）上絕對可積，即廣義積分=有限值，則函數f（t）的傅氏變換為

F（ω）的逆變換為

若f（t）是偶函數，則F（ω）變為傅氏余弦變換：

若f（t）是奇函數，則F（ω）變為傅氏正弦變換：

（4）傅氏變換的卷積定理 若F（ω）,G（ω）是f（t）,g（t）的傅氏變換，則F（ω）G（ω）為f和g的卷積變換：

?MATLAB中傅里葉變換與逆變換函數：fourier和ifourier

格式：Fw=fourier（ft,t,w）求“時域”函數ft的Fourier變換Fw。

ft=ifourier（Fw,w,t）求“頻域”函數Fw的Fourier反變換ft。

說明：ft是以t為自變量的“時域”函數；Fw是以圓頻率ω為自變量的“頻域”函數。

42 拉普拉斯變換（拉氏變換）

（1）拉氏變換對 拉氏變換：設f（t）是實變數t（t＞0）的函數，并且，當t＜0時f（t）=0；它是連續函數或分段連續函數；f（t）是指數級的，即當t＞T（T為某一相當大正數）時，≤Meat，M、a是實常數，則

稱為拉氏變換；其中f（t）稱為原函數，F（s）稱為象函數。

相應的有拉普拉斯逆變換式（拉普拉斯變換的反演公式）：

此式亦簡稱拉氏逆變換式（或拉氏逆變換）。記為

f（t）=L-1[F（s）]

式中 F（s）稱為f（t）的象函數，f（t）則稱為F（s）的原函數。象函數和相應的原函數構成拉氏變換對。

為了照顧電路和系統可能在t=0時有沖激信號Aδ（t）存在，拉氏變換的積分下限應取0_-，f（t）的定義域也應從0_-到∞，這樣就能把沖激δ（t）包括進去，即拉氏變換式應為

（2）拉氏變換的若干性質和定理見表1.4-3。

（3）拉氏變換簡表見表1.4-4。

（4）用部分分式法求拉氏逆變換（海維賽德展開定理） 計算拉氏逆變換的基本方法是部分分式法，即將F（s）展開成部分分式，成為可在拉氏變換表中查到的s的簡單函數，然后通過反查拉氏變換表求取原函數f（t）。

設F（s）=F₁（s）/F₂（s）,F₁（s）的階次不高于F₂（s）的階次，否則，用F₂（s）除以F₁（s）得到一個s的多項式與一個余式之和。下面是三種基本的部分分式展開式

當p₁和p₂為共軛復數極點時：

式中 a₁，a₂，…，a_r+1，a_r+2…，a_n和b_r，b_r-1，…，b₁為常數。為了確定這些常數，用F₂（s）的一個因子（s+p_k）乘以F₁（s）/F₂（s）及其展開式的各項（k=1，2，……，n），所得的恒等式對所有s的值都成立，相繼令s=-p_k，即可一一確定各常數。

?MATLAB中拉普拉斯變換與逆變換函數：

laplace和ilaplace

格式：Fs=laplace（ft,t,s）求“時域”函數ft的Laplace變換Fs。

ft=ilaplace（Fs,s,t）求“頻域”函數Fs的Laplace反變換ft。

說明：ft是以t為自變量的“時域”函數；Fs是以復頻率s為自變量的“頻域”函數。

43 Z變換

（1）Z變換 連續信號被采樣后就得出離散函數，處理這類函數應用z變換法。它在離散系統中所起的作用猶如拉氏變換之于連續系統。設z=esT,Z變換的定義為

（2）Z變換表見表1.4-5。

?MATLAB中Z變換與逆變換函數：ztrans和iztrans

格式：FZ=ztrans（fn,n,z）求“時域”序列fn的Z變換FZ。

fn=iztrans（FZ,z,n）求“頻域”序列FZ的Z反變換fn。

說明：fn是以n為自變量的“時域”序列；FZ是以z為自變量的“頻域”序列。

4.4 矩陣和矢量

44 矩陣及矩陣代數運算、特殊方陣、特征根、特征向量和特征方程

m×n階矩陣記作（a_ij）_m×n或A_m×n，簡記為A，即

若m=n，A稱為n階方陣。

?MATLAB中矩陣的定義：在MATLAB中不必說明矩陣的維數和類型，它們是由輸入數據的類型、格式和內容來確定的，MATLAB會自動獲取所需的空間。輸入小矩陣最簡單的方法是使用直接排列的形式，即把矩陣的元素直接排列到方括號“[]”中，每行內的元素用空格或逗號隔開，行與行之間用分號隔開。大矩陣可以分行輸入，用回車鍵代替分號。

（1）方陣A的跡和軼n階方陣A所有主對角元之和，稱為A的跡。記作。

若n階方陣A的n個列向量中有r個線性無關（r≤n），而所有個數大于r的列向量都線性相關，則稱數r為矩陣A的列秩，類似可定義矩陣A的行秩。矩陣A的列秩和行秩一定相等，亦稱之為矩陣A的秩，記作rankA=r，如果r=n，則稱滿秩，必有≠0，故非奇異方陣為滿秩矩陣，簡稱滿陣。若r＜n，則稱A為降秩矩陣，即是奇陣。

?MATLAB中矩陣的跡函數：trace

格式：b=trace（A）返回矩陣A的跡，即A的對角線元素之和。

?MATLAB中矩陣的秩函數：rank

格式：k=rank（A）求矩陣A的秩。

k=rank（A,tol）tol為給定誤差。

（2）矩陣的代數運算和MATLAB中的矩陣運算見表1.4-6、表1.4-7。

（3）一些特殊方陣和MATLAB中的一些特殊方陣的定義見表1.4-8、表1.4-9。

（4）矩陣的特征值、特征向量和特征方程 對n階方陣A和n維列向量a，如有一個數λ，使得Aa=λa，則稱λ為矩陣A的特征值（特征根），a為A的特征值λ所對應的特征向量。

A -λ I稱為特征矩陣。稱為矩陣A的特征多項式。則稱為A的特征方程。特征方程的n個根λ₁、λ₂、…、λ_n就是矩陣A的n個特征值（亦稱本征值）。集合{λ₁，λ₂，…，λ_n}稱為A的譜，記作chA。

?MATLAB中矩陣的特征多項式函數：poly

格式：p=poly（A）求矩陣A的特征多項式系數P。

?MATLAB中矩陣的特征值、特征向量函數：eig

格式：d=eig（A）求矩陣A的特征值d，以向量形式存放d。

[V,D]=eig（A）計算A的特征值對角陣D和特征向量V，使AV=VD成立。

45 矩陣運算及變換

（1）矩陣的導數 如矩陣A的元素a_ij都是變量t的函數，則A對t的一階導數定義為

同樣可定義矩陣的高階導數等（設各元素對t高階可微）。

（2）矩陣的積分 矩陣A的積分定義為

同樣可定義矩陣的多重積分。

（3）矩陣求逆 若A、B二陣滿足等式

AB=I（單位陣）

則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。記作

A=B-1或B=A-1

A的逆陣A-1按下式算出：

式中，稱為A的伴隨矩陣（或附加矩陣），它的第i行第j列元素是的第j行第i列元素的代數余子式。例如A的伴隨矩陣第1行第2列的元素A₂₁是|A|中元素a₂₁的代數余子式。

矩陣A可逆的充要條件是detA=|A| ≠0，即A為非奇異方陣。

?MATLAB中矩陣的逆矩陣函數：inv

格式：Y=inv（A）求方陣A的逆矩陣。

若A為奇異矩陣或近似奇異矩陣，將給出警告信息。

（4）矩陣的相似變換和正交變換

1）相似變換 設A、B是兩個n階矩陣，如有n階滿秩矩陣Q存在，使得

B=Q-1AQ

則稱矩陣A與矩陣B相似，或稱A經過相似變換Q-1AQ化為B，記作B～A。

2）正交變換 若有正交矩陣Q存在：

Q -1=QT

則稱QTAQ=Q-1AQ為矩陣A的正交變換。

46 矢量分析

Δ 為算子（DEL OPERATOR）：

算子

梯度

散度

旋度

（1）有關Δ 的公式（假定A、B、U和V的偏導數存在）

Δ（U+V）=ΔU+ΔV

Δ·（A+B）=Δ·A+Δ·B

Δ×（A+B）=Δ×A+Δ×B

Δ·（UA）=（ΔU）·A+U（Δ·A）

Δ×（UA）=（ΔU）×A+U（Δ×A）

Δ·（A×B）=B·（Δ×A）-A·（Δ×B）

Δ×（A×B）=（B·Δ）A）-B（Δ·A）-（A·Δ）B+A（Δ·B）

Δ（A·B）=（B·Δ）A+（A·Δ）B+B×（Δ×A）+A×（Δ×B）

Δ×（ΔU）=0 Δ·（Δ×A）=0

Δ×（Δ×A）=Δ（Δ·A）-Δ 2A

（2）球面坐標的梯度、散度和旋度（單位矢量u_r,u_φ,u_z）

（3）柱面坐標的梯度、散度和旋度（單位矢量u_r，u_φ，u_z）

（4）高斯定理

式中 n——閉曲面外法向單位矢量；

S——閉曲面。

（5）斯托克定理

式中 C——閉曲線；

dl——C的微小長度矢量；

n——S面的法線單位矢量；

S——以C為邊界的面。

n和C的方向形成右手系。

?MATLAB中求梯度函數：gradient，jacobian

格式：[FX，FY]=gradient（F，h）求二元函數的梯度，FX、FY分別是二元函數的、。

[FX,FY,FZ,…]=gradient（F,h1,h2,h3,…）求多元函數的梯度。

GRAD=jacobian（f）求函數f的梯度。

說明：1）gradient用于求解數值梯度，F是函數的數值矩陣；h是函數沿坐標取點的步長，而h1，h2，h3等分別表示沿x，y，z等方向的不同步長。步長可以缺省，缺省時，默認步長為1；輸出FX，FY，FZ分別表示沿x，y，z方向的偏導數。2）jacobian用于求解表達式形式的梯度，f是關于自變量的函數表達式，輸出GRAD是沿x，y，z方向的偏導數組成的矩陣。

4.5 概率和統計

47 概率的定義、簡單性質和基本運算

（1）概率在相同條件下重復進行n次試驗，當n充分大時，若A發生的頻率f_n（A）越來越趨近于p，則稱p為此試驗中隨機事件A發生的概率，簡稱事件A的概率。記作

P（A）=p

對于任何事件A，均有，由定義，有

0≤P（A）≤1

顯然，P（Q）≡1，P（?）≡0。

概率的簡單性質：若必然事件記作U，不可能事件記作V，則

P（U）=1，P（V）=0，0≤P（A）≤1；

若A?B（事件B包含事件A），則P（A）≤P（B）若_是A的對立事件，則

（2）概率的基本運算 概率加法定理：

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

式中 A+B——事件A、B至少有一個發生；

AB——事件A與事件B同時發生。

若事件A與事件B互斥：AB=V，則事件A+B的概率：

P（A+B）=P（A）+P（B）

若=U，A_iA_j=V（i≠j），則

條件概率：在事件A出現的條件下事件B出現的概率，記作，其計算式為

概率乘法定理：

對于獨立事件，則事件A與B同時發生的概率為

P（AB）=P（A）P（B）

對于概率相同的n個獨立事件的積事件的概率為

48 隨機變量的分布函數和數字特征

（1）隨機變量的分布函數隨機變量的取值小于某一數x的概率是x的函數時，稱為此隨機變量的分布函數。由它可決定隨機變量落入在x的任何范圍內的概率。分布函數分離散型（例如二項分布、泊松分布）和連續型（例如正態分布）兩類。

正態分布：一般地說，如果研究的某個量是被彼此間相互獨立的大量偶然因素所影響，且每一因素在總的影響中只起很小的作用，則由這個總的影響所引起的該量的變化，就近似地服從正態分布，記作N（μ,σ2）。正態分布的密度函數為

式中，μ、σ（σ>0）為常數。

正態分布的分布函數為

正態分布的密度函數φ（x）和分布函數Φ（x）的圖形見圖1.4-1和圖1.4-2。

橫坐標下第四橫線表示：在（-3，3）中，曲線下的面積是99.7%，其他橫線意義類似

（2）數字特征（見表1.4-10）

?MATLAB中采用通用函數計算概率密度函數值：pdf

格式：Y=pdf（‘name’，K,A）

Y=pdf（‘name’，K,A,B）

Y=pdf（‘name’，K,A,B,C）

說明：返回在X=K處，參數A、B、C的概率密度值，對于不同的分布，參數個數是不同的；name為分布函數名，如‘beta’表示Beta分布，‘bino'表示二項分布，‘exp’表示指數分布，‘f’表示F分布等。

?MATLAB中采用通用函數計算分布函數值：cdf

格式：Y=cdf（‘name’，K,A）

Y=cdf（‘name’，K,A,B）

Y=cdf（‘name’，K,A,B,C）

說明：返回以name為分布，隨機變量X≤K的概率之和的累積概率值，即分布函數值。對于不同的分布，參數個數是不同的；name為分布函數名，如‘beta’表示Beta分布，‘bino'表示二項分布，‘exp’表示指數分布，‘f’表示F分布等。

?MATLAB中隨機變量的數學期望、方差和標準差函數：mean，var，std

格式：Y=mean（X）X為向量，返回X的平均值，即數學期望。

D=var（X）

若X為向量，則返回向量的樣本方差。

D=var（A）A為矩陣，則D為A的列向量的樣本方差構成的行向量。

D=var（X，1）返回向量（矩陣）X的簡單方差（即置前因子為的方差）。

D=var（X,w）返回向量（矩陣）X的 以w為權重的方差。

D=std（X）返回向量（矩陣）X的樣本標準差（置前因子為），

即。

D=std（X，1）返回向量（矩陣）X的標準差（置前因子為）

D=std（X，0）與std（X）相同。

D=std（X，flag,dim）返回向量（矩陣）維數為dim的標準差值，

式中 flag=0時，置前因子為,否則置前因子為。

49 統計量的概念

（1）抽樣方法 根據判斷標準，首先確定抽樣屬于計數值還是計量值，分為計數抽樣檢驗和計量抽樣檢驗。每種抽樣檢驗又分為一次抽樣檢驗、二次抽樣檢驗、多次抽樣檢驗和序貫抽樣檢驗。

（2）總體（母體）與樣本（隨機樣本、子樣） 研究某個問題，它的對象的所有可能觀察結果的全體稱為總體（或稱母體），記作X。總體中的每個元素稱為個體。從總體X中任意抽出的部分個體，稱為總體的一個隨機樣本，簡稱樣本（或子樣）樣本中含有個體的個數稱為樣本的大小（或容量）。

（3）抽樣分布、統計量 樣本是隨機變量，是進行統計判斷的依據，它的函數也是隨機變量。如X₁，X₂，…，X_n是來自總體X的一個樣本，g（X₁,X₂,…，X_n）是X₁，X₂，…，X_n的函數，且g中不含任何未知參數，則稱g（X₁,X₂，…，X_n）是一個統計量。如x₁,x₂,…x_n是相應于樣本X₁,X₂,…，X_n的樣本值，即樣本的觀察值，則可定義幾個統計量見表1.4-11所示。

50 參數估計和假設檢驗

（1）參數估計[18,19] 如總體X的分布函數的形式為已知，但它的一個或多個參數為未知，根據來自母體X的一個樣本X₁，X₂，…，X_n，對未知參數θ的值進行估計稱為參數估計。

1）點估計 是求某一個參數的估計值。當總體X的分布函數F（x，θ）的形式為已知，其中有待估參數θ，X₁，X₂，…，X_n是X的一個樣本，x₁，x₂，…x_n是相應的樣本值。點估計就是要構造一個適當的統計量，用它的觀察值作為未知參數θ的估計值。常用構造估計量的方法有矩估計法和極大似然估計法兩種，具體步驟見參考文獻[9，20]。

2）區間估計 是要估計參數的一個范圍，以及這個范圍包含參數θ真值的可信程度。這樣的范圍通常以區間的形式給出，所以稱為區間估計。這樣的區間即所謂的置信區間。

?MATLAB中參數估計函數表見表1.4-12。

（2）假設檢驗（統計檢驗） 在總體的分布函數完全未知或只知其形式，但不知其參數的情況下，為了推斷總體的某些性質，提出某些關于總體的假設。

采用一個合理的法則，對假設作出判斷，認為適當則接受，不適當則拒絕，所以接受假設H₀，即拒絕假設H₁，或者反之。

?MATLAB中假設檢驗所用函數：

（1）功能：一個正態總體，方差σ2已知時，均值μ的檢驗

函數：ztest

格式：[h,p,ci]=ztest（x，mu,sigma,alpha，tail）

式中 h——h=0表示接受H₀，h=1表示拒絕H₀；

p——在假設H₀下樣本均值出現的概率；

ci——μ₀的置信區間；

x——樣本；

mu——H₀中的μ₀；

sigma——總體標準差σ；

alpha——顯著性水平a（缺省時為0.05）；

tail——備擇假設H₁的選擇（H₁為μ>μ₀時tail=1，H₁為μ<μ₀時tail=-1，H₁為μ≠μ₀時tail=0（可缺省））。

（2）功能：方差σ2未知時，均值μ的檢驗

函數：ttest,ttest2

格式：[h,p,ci]=ttest（x,mu,alpha,tail）

說明：一個正態總體，方差σ2未知時，均值μ的檢驗。與上面的ztest相比，除了不需輸入總體標準差σ外，其余全部一樣。

格式：[h,p,ci]=ttest2（x,y,alpha,tail）

說明：兩個正態總體，方差，未知時，均值μ₁=μ₂的檢驗。與上面的ttest相比，不同之處在于輸入的兩個樣本（長度不一定相同），其余全部一樣。

51 正態概率紙和回歸分析

（1）正態概率紙[11] 利用正態概率紙可判定某一隨機變量的一批試驗數據是否遵從正態分布，并可對σ、μ作出估計。

正態概率紙以各分組數據的上值為橫坐標，累積頻率為縱坐標分別描點。若所描出的點大致在一條直線上，則可判定此隨機變量遵從正態分布。然后近似配置一條直線，此直線稱回歸直線。

從縱坐標刻度為50的點引一水平線與回歸直線相交，此交點所對應的橫坐標即為μ的估值；從縱坐標刻度為15.9的點引水平線與回歸直線相交，此交點所對應的橫坐標就是μ估值與σ估值之差，由此可算得σ的估值。

（2）回歸分析[11,21] 把不具有確定函數關系而只具有相關關系的變量，通過統計處理得出反映變量間關系的主流趨向曲線（回歸曲線），并對實際數據偏離該曲線的程度作出概率估計。

設隨機變量y與x之間存在著某種相關關系，且x是可以控制或可以精確觀測其數值的自變量，即可認作是普通的變量。由于y是隨機變量，對于x的每一個確定值，y有它的分布。若y的數學期望存在，其值隨x值而定，即y的數學期望是x的函數，記作μ（x）,μ（x）稱為x的回歸。y=μ（x）就稱為y關于x的回歸函數，又稱為y關于x的回歸方程。

對于一元線性回歸：設變量x和y的n次觀測值為（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,…,（x_n,y_n），若x和y間存在一定的線性關系，則可用下列直線方程進行擬合：

y^=a+bx

式中 a、 b可利用最小二乘法解得：

式中 _、——x_i和y_i的平均值。

一元線性回歸的相關系數，兩變量之間的線性關系的密切程度可用相關系數r表示：

。當時，x、y為完全線性關系；時，x、y有一定的線性關系；而越接近于1，表示線性關系越密切；當時，表示x、y間毫無線性關系。

一元線性回歸的回歸線的精度，可用剩余標準離差s表示：

s越小，則回歸方程預報的y值越準確。

?MATLAB中多元線性回歸分析所用函數：regress

格式：b=regress（y,X）返回基于觀測值y和回歸矩陣X的最小二乘擬合β的結果。

[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X）

說明：給出β的估計b、β的95%置信區間（p*2矢量rint）、殘差r以及每個殘差的95%置信區間（n*2矢量rint）；矢量stats給出回歸的R2統計量和F以及p值。

格式：[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X，alpha）

說明：與上面的regress相比不同點在于給出的結果置信區間為100（1-alpha）%，其他都相同。

4.6 近似計算和數值計算

52 誤差

（1）設a是真值，A是近似值，則是絕對誤差；是相對誤差。

（2）有效數字 如果Δ_a不超過a的某一數位上的半個單位，那么在a中，從這一位往左，除去最左面第一個非零數字前的零外，所有數字都叫有效數字。

（3）幾個誤差計算公式（見表1.4-13）。

（4）高斯誤差定律[1] 隨機誤差的分布密度函數為正態型分布函數：

式中 h——精密度指數，。

該式稱為高斯誤差方程，其圖形稱為誤差曲線（見圖1.4-3）。

53 插值、差分、差商和近似積分

（1）插值 若y=f（x）為定義在區間[a,b]的函數，已知a=x₀，x₁，x₂，…，x_n=b諸點的值為y₀,y₁,y₂,…，y_n，且有一函數滿足P（x_i）=y_i（i=0,1,2,…,n）的關系，則稱P（x）為f（x）的插值函數，x₀，x₁，x₂，…，x_n稱插值節點，[a,b]為插值區間。

一般用插值函數P（x）近似f（x），插值函數的求法有拉格朗日（Lagrange）插值、牛頓（New-ton）插值公式、厄爾米特（Hermite）插值和三次樣條插值等。

如拉格朗日插值多項式（差商插值多項式）為

式中 N_k——節點x₀,x₁,…，x_n上的n次插值基函數，它們滿足條件：

?MATLAB中一維數據插值（表格查找）函數：interp1該命令對數據點之間計算內插值，找出一元函數f（x）在中間點的數值，其中函數f（x）由所給出數據決定。

格式：yi=interp1（x，Y，xi）返回插值向量yi，每一元素對應于參量xi，同時由向量x與Y的內插值決定。參量x指定數據Y的點。若Y為一矩陣，則按Y的每列計算。yi是階數為length（xi）*size（Y，2）的輸出矩陣。

yi=interp1（Y，xi）假定x=1:N，其中N為向量Y的長度，或者為矩陣Y的行數。

yi=interp1（x，Y，xi，method）用指定的算法計算插值：

‘nearest’：最近鄰點插值，直接完成計算；

‘lnear’：線性插值（缺省方式），直接完成計算；

‘spline’：三次樣條函數插值。對于該方法，命令interp1調用函數spline、ppval、mkpp、umk-PP。這些命令生成一系列用于分段多項式操作的函數。命令spline用它們執行三次樣條函數插值；

‘pchip’：分段三次Hermite插值。對于該方法，命令interp1調用函數pchip，用于對向量x與y執行分段三次內插值。該方法保留單調性與數據的外形；

‘cubic’：與‘pchip’操作相同；

‘v5cubic’：在MATLAB5.0中的三次插值。

說明：對于超出x范圍的xi的分量，使用方法‘nearest’,‘linear’,‘v5cubic’的插值算法，相應地返回NaN。對于其他方法，interp1將對超出的分量執行外插值算法。

yi=interp1（x,Y,xi,method,‘extrap’）對于超出x范圍的xi的分量將執行特殊的外插值法extrap。

yi=interp1（x，Y，xi，method，extrapval）確定超出x范圍的xi的分量的外插值法extrapval，其值經常取NaN或0。

（2）差分和差商 設函數y=f（x）在節點x₀<x₁<…<x_n（常取x_k=x₀+kh）處取值y₀，y₁，…，y_n，即f（x_k）=y_k，k=0，1，…，n。

一階向前差分：Δy_k=y_k+1-y_k

二階向前差分：Δ2y_k=Δy_k+1-Δy_k

m階向前差分：Δmy_k=Δm-1y_k+1-Δm-1y_k

一階向后差分：Δy_k=y_k-y_k-1

m階向后差分：Δmy_k=Δm-1y_k-Δm-1y_k-1

一階中心差分：

m階中心差分：

三種差分關系：

t階差商：

差分和差商的關系：

（3）經驗方程 若觀測到的數據是{x_i}和{f（x_i）}，i=1,2,…,Δx_i=x_i+1-x_i，Δy_i=f（x_i+1）-f（x_i），則可利用向前差分法判定經驗方程的類型：

若Δy_i=定值，則方程y=a+bx

若Δ2y_i=定值，則方程y=a+bx+cx2

若Δ3y_i=定值，則方程y=a+bx+cx2+dx3

若=定值，則方程

若=定值，則方程

若=定值，則方程

若Δy_i成等比數列，則方程y=abx+c

若Δlgy_i成等差數列，則方程lgy=a+bx+cx2

若Δ2y_i成等比數列，則方程y=abx+cx+d

（4）近似積分 近似積分法主要有根據積分中值定理的一般公式、牛頓一柯茨插值型求積公式（內插求積公式）和高斯積分法，這里主要介紹高斯積分法和一維高斯積分公式。

高斯積分法是在積分區間選擇某些積分點（稱為高斯點），求出被積函數f（x）在高斯點的值，乘以相應的權數權因子，即求積系數，然后求總和而得積分近似值。

式中 n——積分點的總數；

積分點坐標的值——n次勒讓德多項式P_n（x）的零點。在實際計算中，和的值按表1.4-14選取（n最大的值參見文獻[15]）。

該式在區間[a，b]通過變換可化成區間[-1，1]上的積分：

54 常微分方程、偏微分方程和線性代數方程組的數值計算方法

（1）常微分方程的數值計算方法 對于一階方程（邊界條件為y₀=f（a）,y_n=f（b））的邊值問題，主要的數值解法有尤拉公式、后退的尤拉公式、改進的尤拉公式、龍格-庫塔法、阿達姆斯預測校正法等。對于一階方程組的計算有改進尤拉法、龍格-庫塔法等。高階方程邊值問題一般化為一階方程組求解。一階方程的四階龍格-庫塔法經典公式：

?MATLAB中常微分方程的數值解法：ode

格式：[t,y]=ode23（‘fun’,tspan,y0）2/3階龍格-庫塔法。

[t,y]=ode45（‘fun’,tspan,y0）4/5階龍格-庫塔法。

[t,y]=odell3（‘fun′,tspan,y0）高階微分方程數值方法。

式中 fun——定義函數的文件名，函數fun必須以dx為輸出量，以t、y為輸入量；

tspan[t0,tfina]——積分的起始值和終止值；

y0——初始狀態列向量。

（2）偏微分方程的數值計算方法 雙曲型、拋物型和橢圓型三類方程可用有限差分法和有限元法求解。1）有限差分法用差商代替偏微分方程中的偏導數，得到相應的差分方程，通過差分方程得到偏微分方程的近似解；2）有限元法將連續場域剖分成有限個基本單元，優點是對任意邊界形狀的求解域比差分法有更強的適應性，但不能由場的方程直接離散成代數方程組，必須按變分或伽遼金法與分片插值相結合的原理，離散后得數值解。

?MATLAB提供了一個專門用于求解偏微分方程的工具箱——PDE Toolbox（Paticial Difference Equation）。雙曲型、拋物型和橢圓型等偏微分方程都能求解，由于需要編程來實現，故不詳細介紹。

（3）代數方程組的數值計算方法 線性代數方程組的直接法主要有高斯消去法、高斯-約當消去法（無回代）、克勞特分解法（LU分解法）[16]、杜利特勒分解法、平方根法（系數矩陣正定對稱）、追趕法（系數矩陣是對角占優的三對角陣）等。直接法占內存大。

線性方程組的迭代法主要有雅可比（Jaco-bi）迭代法、高斯-塞得爾迭代法、逐次超松弛迭代法（SOR法）等。迭代法只存非零元素，編程簡單，但對迭代初值要求較高。

非線性代數方程組主要有牛頓-拉夫遜迭代法[17]。

在電磁場數值計算中，常采用預處理共軛梯度法（ICCG法），可節省大量內存（只存非零元素），系數陣與右端向量經過預處理后，系數矩陣條件數下降，收斂速度加快，CPU時間顯著減少。詳細做法參見參考文獻[8]。