2.1 周期信號

與所有的信號一樣，周期信號也有時域和頻域兩種表示法。時域表示法就是寫出周期信號的時域表達式或畫出周期信號的波形圖。頻域表示法則是寫出周期信號的頻域表達式或畫出周期信號的頻率譜。

2.1.1 周期信號的時域表示

周期信號是指信號在時間上是不斷重復的，比如圖2.1a中的x（t）。它以時間長度T0進行重復，所以T0被叫作周期信號的周期。它的倒數叫作周期信號的頻率，圖中用f0表示，所以有f0=1/T0。

周期信號的主要特點是，總可以表示為若干個或無數個正弦量信號之和（正弦量信號包括正弦信號和余弦信號，所以正弦量信號可以是正弦信號，也可以是余弦信號）。比如，圖2.1a中的周期信號x（t）可以表示為圖2.1b、c、d中三個正弦信號的疊加。這三個正弦信號的頻率依次為f0、2f0和3f0，其中f0為周期信號x（t）的頻率，所以圖2.1b中的x1（t）被稱為x（t）的基頻分量，而圖2.1c和d中的x2（t）和x3（t）被分別稱為x（t）的二次和三次諧波分量。x1（t）～x3（t）三個正弦信號的振幅依次為A1、A2和A3，相位依次為θ1、θ2和θ3。周期信號還可以包含直流分量，這里的x（t）沒有直流分量。

圖2.1中的情況其實是周期信號的傅里葉級數展開。由于周期信號可以表示為若干個正弦量信號之和，那么就可以把周期信號的討論歸結為對正弦量信號的討論。所以在下面的討論中，我們僅討論正弦量信號，并把討論的重點放在正弦量信號的相位上，因為振幅和頻率是相對比較簡單的（為簡便起見，圖2.1中的時間軸被同時用來表示相位。本書的其他地方有相同的用法）。

2.1.1.1 正弦信號和余弦信號的時間關系

正弦量信號的相位與時間之間的換算很簡單。把相位換算成時間，使用等式t=（θ/360°）×T0；把時間換算成相位，使用等式θ=（t/T0）×360°。比如在圖2.2中，時間t1=T0/4換算成相位就是θ=（t1/T0）×360°=90°；而相位θ=-135°換算成時間是t2=（θ/360°）×T0=-3T0/8。

本小節討論相位與時間的另一個問題，即同頻率同相位的正弦信號和余弦信號的時間關系。這就是圖2.3中的情況。為便于討論，把圖2.3a中正弦信號和余弦信號的相位都設定為零。對于其他的相位值，情況是一樣的（圖2.3b中的相位都等于90°）。

正弦信號的相位是指幅值由負變正的過零點處與原點之間的距離，余弦函數的相位是指幅值到達正向峰值處與原點之間的距離（在信號處理中，信號和函數是同一個意思，可以互換）。

根據這個規定，圖2.3a中正弦信號和余弦信號的相位都等于零。但從時間上看，零相位的余弦信號要比零相位的正弦信號在時間上領先T0/4（T0/4相當于90°相位）。對于相位不等于零的情況，比如正弦信號和余弦信號的相位都等于90°，這實際上是把圖2.3a中的兩條曲線同時左移T0/4。結果是，兩條曲線之間的時間關系保持不變，這就是圖2.3b中的情況。確定圖2.3b中兩條曲線的相位很簡單，比如對于正弦曲線，當t=0時，幅值達到了正向峰值，所以相位是90°；對于余弦曲線，當t=0時，幅值下降到零，所以相位也是90°。由此得出結論：對于同頻率、同相位的余弦和正弦信號，余弦信號總要比正弦信號在時間上早出現T0/4（由于周期信號的原因，早出現T0/4也就是晚出現3T0/4，或者，90°相位也就是-270°相位）。

2.1.1.2 正弦量信號的兩種表示法

圖2.1b、c和d中的三個正弦量信號都被表示為正弦函數，但也可以表示為余弦函數，兩者的差別只是在相位上加或減90°。這可以用圖2.4來說明。

先把圖2.4a中的正弦量信號表示為余弦函數，如圖2.4b所示。圖中余弦函數的峰值出現在t=0的右邊，所以相位是負值，具體為θcos=-60°，并可表示為

式（2.1）的正確性可以通過兩個時間點來測試：①當t=0時，xcos（0）=cos（-60°）=cos60°=0.5；②當2πf0t-60°=0時，即t=（π/3）/（2πf0）=T0/6時，xcos（T0/6）=cos0°=1。圖2.4b中確實如此，所以式（2.1）是正確的。

圖2.4a中的正弦量信號也可以表示為正弦函數，如圖2.4c所示。圖中正弦函數從負變正的過零點出現在t=0的左邊，所以相位為正值，具體為θsin=30°，表達式為

上式的正確性同樣可以通過兩個時間點來測試：①當t=0時，xsin（0）=sin30°=0.5；②當2πf0t+30°=0即t=（-π/6）/（2πf0）=-T0/12時，xsin（0°）=0。圖2.4c中的情況也確實如此，所以式（2.2）也是正確的。

本小節可歸納為：當余弦函數的正向峰值（或正弦函數從負變正的過零點）出現在t=0的左邊時，相位為正值，否則相位為零或負值。如果把余弦函數改寫為正弦函數，相位需增加90°。

2.1.1.3 正弦量信號的分解與合成

先回顧一下三角恒等式

如何來記憶式（2.3）和式（2.4）右邊的加減號呢？對于式（2.3），余弦函數的角度越大，函數值越小（在第一象限內），所以等式左邊的加號到了等式右邊就是減號。對于式（2.4），正弦函數的角度越大，函數值越大（也是在第一象限內），所以等式左邊的加號到了等式右邊仍為加號。

現在令α=2πf0t和β=θ，上面兩式分別變為

從式（2.5）看，一個相位不等于零的余弦函數被分解成一對零相位、同頻率的余弦和正弦函數。從式（2.6）看，一個相位不等于零的正弦函數也被分解成一對零相位、同頻率的余弦和正弦函數（把上面兩式中的θ看作常數，所以cosθ和sinθ也都是常數，可作為正弦量信號的振幅）。

本小節可歸納為：一個相位不等于零的正弦函數或余弦函數總可以表示為一對同頻率、零相位的正弦函數和余弦函數之和。或者反過來，一對同頻率、零相位的正弦函數和余弦函數總可以合成為一個同頻率、非零相位的正弦函數或余弦函數（在把周期信號展開為傅里葉級數時，會看到這個性質）。

2.1.2 周期信號的頻域表示

2.1.2.1 歐拉定理與復指數信號

對于周期信號的頻域表示，需借助歐拉定理（也稱歐拉恒等式），即

歐拉定理的漂亮之處，是把看來毫不相干的正弦量信號與復指數關聯了起來。在上面兩式中，左邊是復指數信號，右邊是正弦量信號。圖2.7用來說明兩者是如何關聯的，而關聯的媒介是復平面內的單位圓。

圖2.7a解釋了式（2.12）的含義。在復平面內，式（2.12）中的ejφ、cosφ和jsinφ都應被看作矢量，而矢量的分解和合成遵守平行四邊形法則。圖中根據式（2.12）把矢量ejφ分解成兩個分別沿縱、橫坐標方向的矢量cosφ和jsinφ。反過來，也可以用cosφ和jsinφ合成矢量ejφ。此外，從式（2.12）還可以算出矢量ejφ的模（矢量的模也稱幅值或長度）。由于等式右邊cosφ+jsinφ的模等于1（復數的模等于實部和虛部平方和的平方根，即cos2φ+sin2φ=1），所以ejφ的模也等于1，表示矢量的末端在單位圓上。

對于式（2.13）可以用圖2.7b來解釋。圖中的e-jφ、cosφ和-jsinφ三個矢量同樣滿足矢量分解和合成的平行四邊形法則，而且同樣可以證明e-jφ的幅值等于1，即矢量的末端也在單位圓上。

如果把式（2.12）和式（2.13）相加和相減，可以得到另一對歐拉恒等式，即

式（2.14）和式（2.15）表示，一個正弦量信號可以用一對正、負指數的復指數信號相加或相減得出。這同樣可以通過復平面內的單位圓來解釋，如圖2.8所示。圖中的ejφ/2和e-jφ/2是兩個幅值為0.5、幅角分別為±φ的復矢量。在圖2.8a中，把矢量ejφ/2和e-jφ/2相加，就得到cosφ（同樣可以用矢量相加的平行四邊形法則，或計算ejφ/2和e-jφ/2在實軸上的投影之和，兩者在虛軸上的投影相互抵消）。

在圖2.8b中，從矢量ejφ/2中減去e-jφ/2，就得到沿虛軸方向的jsinφ（這等于ejφ/2和e-jφ/2在虛軸上的投影之和；兩者在實軸上的投影也相互抵消）。由于j=ejπ/2表示把矢量逆時針旋轉90°，所以矢量sinφ應該是沿實軸的正方向，如圖2.8b中所示。

2.1.2.2 正弦量信號的頻率譜

上一小節講述了每個正弦量信號都可以分解為兩個復指數信號，即式（2.14）和式（2.15）。如果把復指數信號中的幅角φ代換成2πft+θ，式（2.14）和式（2.15）就分別變為

式（2.16）和式（2.17）中，假設頻率f和相位θ都是常數，而t為時間變量。那么當t增加或減小時，等式右邊的兩個復指數信號ej（2πft+θ）和e-j（2πft+θ）就變成一對沿單位圓等速且反向旋轉的復矢量。這樣的一對旋轉復矢量就可以用來表示正弦量信號的頻率譜，簡稱頻譜。

為說明這一點，使用一個實際的正弦量信號，如圖2.9所示。圖2.9a把正弦量信號表示為余弦信號xcos（t），它的振幅為1，頻率為f0，相位為-π/3或-60°。圖2.9b把正弦量信號表示為正弦信號xsin（t），它的振幅和頻率與余弦信號相同，只是相位變成了π/6或30°。

根據式（2.16）和式（2.17），圖2.9中的余弦信號和正弦信號可分別寫為

從式（2.18）看，余弦信號xcos（t）兩個頻率分量的頻率分別為±f0，幅值都等于1/2，相位分別為-π/3和π/3。由此得到，余弦信號xcos（t）的正頻率分量的頻率等于f0，幅值等于0.5和相位等于-π/3；負頻率分量的頻率等于-f0，幅值等于0.5和相位等于π/3。根據這些數據畫出的余弦信號xcos（t）的頻率譜如圖2.10a所示。

對于式（2.19），先說明其中的復指數e-jπ/2和ejπ/2是如何產生的。兩者都是從式（2.17）分母中的j變來的（因為j=ejπ/2，所以1/j=e-jπ/2）。另外，式（2.17）右邊方括號內的減號，在式（2.19）中變成了加號，所以要乘以-1；而-1=ejπ或e-jπ。這使式（2.19）右邊加號后面的第一個復指數從e-jπ/2變成ejπ/2。

由此，正弦信號xsin（t）的兩個頻率分量的頻率也分別為±f0，幅值也都等于1/2，相位也分別為-π/3和π/3。或者說，正弦信號xsin（t）的正頻率分量的頻率等于f0，幅值等于0.5和相位等于-π/3；負頻率分量的頻率等于-f0，幅值等于0.5和相位等于π/3。根據這些數據畫出的正弦信號xsin（t）的頻率譜如圖2.10b所示。由圖2.10可以看出，圖a和圖b完全一樣，因為兩者是同一個信號。由此可以想到，在畫正弦信號的頻率譜時，先把它變成余弦信號后再畫出，會比較容易。

在圖2.10a和b中，上面的圖稱為幅值譜，下面的圖稱為相位譜。這兩張圖與圖2.9a和b中的時域波形包含了相同的信息，但圖2.10顯得比較簡潔、清晰。這是頻域表示法的優點。此外，圖2.10中的8條垂線（包括小圓點）叫作譜線；而由譜線組成的譜圖（即圖2.10a和b中的譜圖）叫作線譜，因為它們都是由垂直的譜線組成的。這與本章下面要講到的非周期信號的連續譜有不同的含義。再有，從圖2.10看，幅值譜都是偶對稱的，相位譜都是奇對稱的。但前提是，時域信號必須是實信號。時域復信號（在通信等領域會遇到）的頻率譜就沒有這樣的對稱性。

2.1.2.3 簡潔的頻域表示法

對于圖2.10中的頻率譜，可以有簡潔的表示法。這就是把圖中的幅值譜和相位譜合起來，變成圖2.11a中的頻率譜。如果余弦信號的相位等于零，圖2.11a中的頻率譜就變成圖2.11b中的頻率譜。由于圖中的每條譜線都是用幅值和相位標出的，所以是一個復數。這種簡潔的線譜圖有時會很有用。

2.1.2.4 雙邊譜和單邊譜

圖2.10所示的頻率譜被稱為雙邊譜。當把正弦量信號展開為兩個復指數時，就得到雙邊譜。與雙邊譜對應的是單邊譜。單邊譜是只包含正頻率部分的頻率譜。如果把圖2.10中的雙邊譜變成單邊譜，只需把信號的幅值加倍，而相位取正頻率的相位。圖2.12表示兩個正弦量信號的單邊譜。兩者分別為余弦信號xcos（t）=6cos（10πt+π/3）和正弦信號xsin（t）=10sin（10πt+π/6）。余弦信號xcos（t）的參數為幅值等于6，頻率等于5Hz，相位等于π/3。對于正弦信號xsin（t），可以先轉換成余弦信號。它的幅值和頻率保持不變，只是相位變成π/6-π/2=-π/3。從圖2.12可以看出，這兩個信號有不同的單邊譜，所以是兩個不同的信號。