第1課
1、2、3，爬上山：詩歌的模式

數(shù)學(xué)與詩歌之間有著深刻的聯(lián)系，但它們最初都源于一個(gè)頗為簡單的規(guī)則：令人安心的計(jì)數(shù)節(jié)奏感。數(shù)字1、2、3、4、5對(duì)小孩子產(chǎn)生的吸引力，就像我們給他們念一首押韻的歌謠（“上山打老虎”）。當(dāng)走出兒歌的世界時(shí)，我們依然可以在更復(fù)雜的詩歌結(jié)構(gòu)中得到滿足：無論是五步抑揚(yáng)格的節(jié)奏還是六節(jié)詩和維拉內(nèi)拉詩的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。隱藏在這些詩歌規(guī)則背后的數(shù)學(xué)原理既深刻又神奇，這一章我們就來探索其中的奧妙。

想想你童年時(shí)期的那些兒歌，我敢保證你肯定記得其中的內(nèi)容。這就是規(guī)律的力量——我們的數(shù)學(xué)大腦鐘愛它。在潛意識(shí)里，我們自然而然地接受了兒歌的節(jié)奏和韻律，這有助于我們記憶，講述偉大英雄故事的傳統(tǒng)詩歌因此得以口口相傳。很多傳統(tǒng)韻文都涉及累加，每節(jié)另起一行，而且每節(jié)的最后一句都回到最初。有一首古老的英語民謠《綠草如茵》（Green Grow the Rushes，O），共有12節(jié)，每一節(jié)的最后一句都是略帶傷感的“一就是一，永遠(yuǎn)孤獨(dú)的一”。而通常在逾越節(jié)上表演的希伯來語兒歌《誰人知一》（Echad Mi Yodea）利用節(jié)奏和計(jì)數(shù)，把猶太教重要的知識(shí)傳授給孩子們。兒歌的結(jié)尾是“四是女族長，三是男族長，二是圣約之碑，一是我們的上帝，在天堂與人間”。

我們可能在學(xué)校里學(xué)過很多數(shù)學(xué)記憶法，比如怎樣才能記住π的前幾位小數(shù)。“我多么希望能計(jì)算出圓周率”（“How I wish I could calculate pi”），這句話并不表示我希望能計(jì)算出π的值，而是表明了一種記憶方法。每個(gè)單詞所包含的字母數(shù)量就是π的前幾位小數(shù)，即3.141 592。如果你還想記住更多的小數(shù)位，更長的一句話是：“在沉甸甸的量子力學(xué)講座之后，我多么需要喝上一杯，把自己徹底灌醉！”（“How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!”）這句話已經(jīng)存在了至少一個(gè)世紀(jì)，據(jù)說是英國物理學(xué)家詹姆斯·金斯的奇思妙想。如今社會(huì)上又出現(xiàn)了一類頗為小眾的愛好——用“圓周率文”寫詩，也就是由π的小數(shù)位來決定詩歌中單詞的長度。[1]最讓我感興趣的一篇圓周率文是邁克爾·基思的《靠近烏鴉》（Near a Raven），模仿埃德加·愛倫·坡的名作《烏鴉》：

Poe, E.

Near a Raven

Midnights so dreary, tired and weary.

Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.

During my rather long nap — the weirdest tap!

An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.

“This,” I whispered quietly, “I ignore.”[2]

你沒有必要把這首詩背誦下來——據(jù)估算，僅僅40個(gè)小數(shù)位的π就足以計(jì)算出整個(gè)已知宇宙的周長，誤差小于一個(gè)氫原子大小。所以，這首詩的第一節(jié)就足夠我們應(yīng)付日常活動(dòng)了。

上面這首詩基于一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，但它的內(nèi)容與數(shù)學(xué)無關(guān)。然而，還有不止一首廣為人知的詩歌提出了一些具體的數(shù)學(xué)難題。你可能知道：

在去圣艾夫斯的路上，

我遇見一個(gè)男人，他有7個(gè)太太。

每個(gè)太太有7個(gè)布袋，

每個(gè)布袋里有7只貓，

每只貓有7只小貓。

小貓，貓，布袋，太太，

到底有多少人和貓要去圣艾夫斯？

記得小時(shí)候我還曾嘗試把所有的7都乘起來，后來才發(fā)現(xiàn)落入了書中最古老的圈套。

詩歌也能表述更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，正如我在前言中提到的，這是梵文傳統(tǒng)里標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。12世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家和詩人婆什迦羅把他的全部數(shù)學(xué)研究成果用韻文寫下來。下面這首詩摘自他寫給女兒莉拉沃蒂的一本書：

一群蜜蜂，五分之一飛向加曇婆花，

三分之一飛向Silindhri花，

二者數(shù)目之差的三倍蜜蜂飛向Kutaja花，

還有一只蜜蜂獨(dú)自在空中飛舞，

在茉莉花和露兜花芳香的引誘下不知何去何從。

告訴我蜜蜂的數(shù)量，親愛的女士。

這是多么美好的代數(shù)表達(dá)方式啊！

遺憾的是，現(xiàn)在我們已經(jīng)不再用詩歌來書寫數(shù)學(xué)，但數(shù)學(xué)與詩歌之間的美學(xué)聯(lián)系依然存在：二者的終極目標(biāo)都是對(duì)美的追求，一種崇尚表述經(jīng)濟(jì)性的美。詩人和數(shù)學(xué)家都稱贊過彼此的專長。美國詩人埃德娜·圣·文森特·米萊在1922年創(chuàng)作的一首十四行詩中向歐幾里得的幾何學(xué)致敬：“唯歐幾里得見識(shí)過赤體之美。”對(duì)愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·羅恩·哈密頓來說，數(shù)學(xué)和詩歌都能“把思想從塵世沉悶的騷動(dòng)中解放出來”。據(jù)稱，愛因斯坦說過，數(shù)學(xué)是邏輯思維的詩歌。如果說一個(gè)數(shù)學(xué)證明有任何值得稱道之處，那就在于它與一首詩有很多共同之處。在這兩種情況下，每個(gè)字都不可或缺，沒有閑言贅語，都是以一種自圓其說、簡明扼要、結(jié)構(gòu)合理的方式來表述一個(gè)完整的思想。

我現(xiàn)在要給你看一個(gè)證明，因?yàn)樗鼰o比美妙，是一首純粹的詩歌。這項(xiàng)證明被普遍認(rèn)為來自歐幾里得（盡管我們真的不知道是誰最初想到這個(gè)問題的），其命題是存在無窮多的質(zhì)數(shù)。你或許知道，質(zhì)數(shù)是2、3、5、7等無法被分解為更小整數(shù)的數(shù)字。例如4就不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)槟憧梢园阉纸獬?×2，6可以被分解成2×3。所有大于1的自然數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以被分解（專業(yè)術(shù)語叫作“因式分解”）成質(zhì)數(shù)的乘積，更精彩之處在于，分解的方式是唯一的，前提是你認(rèn)同2×3與3×2基本上是一樣的。順便說一句，你或許覺得數(shù)字1也應(yīng)當(dāng)是質(zhì)數(shù)，因?yàn)樗鼰o法被分解。但是我們沒有把它包括進(jìn)來，因?yàn)槿绻?是質(zhì)數(shù)，我們就可以說6=1×2×3=1×1×2×3=1×1×1×2×3=…，每個(gè)數(shù)字的分解方式就不唯一了——這可真糟糕！為了避免這種現(xiàn)象，我們把質(zhì)數(shù)定義為除了1和它本身不再有其他因子且大于1的自然數(shù)。

理解質(zhì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)學(xué)研究至關(guān)重要，就如同從事科學(xué)研究要理解化學(xué)元素一樣，因?yàn)槊糠N化學(xué)物質(zhì)都是由元素的精確組合組成的（例如，每個(gè)水分子或H₂O，都有兩個(gè)氫原子和一個(gè)氧原子），每個(gè)整數(shù)也都有特定的質(zhì)數(shù)組合方式。早期數(shù)學(xué)研究最令人興奮的發(fā)現(xiàn)之一就是，不像化學(xué)元素，質(zhì)數(shù)是永遠(yuǎn)存在的。實(shí)際上，這種對(duì)比在當(dāng)時(shí)更明顯，因?yàn)楣畔ＥD人認(rèn)為世界上只有4種元素：土、氣、火、水，它們組合成世間的一切事物。

以下就是存在無窮多質(zhì)數(shù)的證明過程：

如果質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有限，那么我們會(huì)得到一個(gè)有限的列表嗎？

從2開始，然后是3，然后是5。

我們把所有的質(zhì)數(shù)相乘，再加1，得到一個(gè)新的數(shù)字。

這個(gè)數(shù)字是2的倍數(shù)加1，因此不能被2整除；

這個(gè)數(shù)字是3的倍數(shù)加1，因此不能被3整除；

這個(gè)數(shù)字是5的倍數(shù)加1，因此不能被5整除；

列表上所有的數(shù)字都不能被它整除。

這個(gè)數(shù)字要么是一個(gè)質(zhì)數(shù)，要么是能被不在列表上的一個(gè)質(zhì)數(shù)整除的數(shù)字。

不管怎樣，這個(gè)列表都是不完整的，而且我們無法寫出完整的列表。

因此，質(zhì)數(shù)不可能是有限的。

證明完畢。

我告訴你，這其實(shí)是一首詩！

詩歌與數(shù)學(xué)之間的共鳴在美國詩人埃茲拉·龐德1910年的作品《羅曼斯精神》中得到了完美的闡釋：“詩歌是被賦予靈感的數(shù)學(xué)，它帶給我們的方程不是抽象的圖形、三角形、球體等，而是人類情感的方程。”龐德還做過這樣一個(gè)類比：數(shù)學(xué)和詩歌都可以被多層次解讀。[3]我想說的是，數(shù)學(xué)家對(duì)什么造就了最偉大的數(shù)學(xué)有著非常相似的理解：數(shù)學(xué)概念包含了被多重解讀的可能性，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也出現(xiàn)在諸多不同的環(huán)境中，因此它們具有普遍性。關(guān)鍵在于，一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式所具有的那種優(yōu)雅和簡潔，就像一首詩歌，可以包含多個(gè)層次的含義，它的含義越寬廣，被解讀的可能性越多，藝術(shù)性就越強(qiáng)。數(shù)學(xué)就像沃爾特·惠特曼一樣，無論從字面意義上還是從比喻意義上看，都是一個(gè)包羅萬象的存在。我們只是希望它不要自相矛盾！

我們很難給詩歌下一個(gè)準(zhǔn)確的定義。有時(shí)候它必須押韻，幾乎總是有斷行，還要符合節(jié)拍和格律，等等。大體上說，詩歌必須受到某些限制，不管是格律（例如五步抑揚(yáng)格）、押韻，還是每節(jié)中特定的行數(shù)。即使是那些極端的自由詩也可能有斷行、節(jié)和韻律。有人說，理解事物是如何被組合在一起的，會(huì)破壞其神秘感，事情就變得沒意思了。我們不想知道魔術(shù)師是怎么變魔術(shù)的，我們想要相信魔術(shù)的存在。區(qū)別在于，詩歌不僅僅是技巧，透徹地理解一個(gè)事物會(huì)讓你更欣賞它嗎？這就是我對(duì)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的基本數(shù)學(xué)概念的看法。

自愿服從某個(gè)特定的約束能激發(fā)創(chuàng)造力，規(guī)矩的存在意味著你必須不拘一格、別出心裁、深思熟慮。“俳句”只有17個(gè)音節(jié)，因此每個(gè)音節(jié)都不能被浪費(fèi)。另一個(gè)更接地氣的例子是幽默的“五行打油詩”，從鋪墊到抖包袱僅用短短5行。愛爾蘭詩人保羅·馬爾登對(duì)此有過精彩的評(píng)論，他說詩歌體“是一件緊身衣，就像緊身衣對(duì)胡迪尼[4]來講也是一件緊身衣一樣”。這句話創(chuàng)下了“緊身衣”在一個(gè)句子中使用次數(shù)最多的紀(jì)錄，這種觀點(diǎn)是完全正確的——約束本身就是天才作品的一部分。

詩歌的約束有很多種。在西方傳統(tǒng)中，特定的押韻格式受到人們的青睞。人們還喜歡受制于一系列節(jié)奏和韻律，也就是古典詩歌中的抑揚(yáng)格和揚(yáng)抑格。這兩類約束背后都隱藏著計(jì)數(shù)、規(guī)律和數(shù)學(xué)。但是其他傳統(tǒng)詩歌會(huì)使用不同的規(guī)律和模式，包括更明確地使用數(shù)字。我們就從這里開始討論詩歌約束中的數(shù)學(xué)概念吧。

首先讓我給你講述一個(gè)11世紀(jì)日本宮廷里的故事。作為一名貴族女性和皇后藤原彰子的侍女，紫式部創(chuàng)作了被認(rèn)為是最早期的小說之一的《源氏物語》。這部講述宮廷愛情故事和英雄主義的史詩小說是日本的經(jīng)典之作，在一千多年后的今天依然吸引著眾多讀者。這部小說有一個(gè)極為明顯的特征，那就是人物在對(duì)話時(shí)廣泛使用詩歌的形式，無論是直接引用經(jīng)典的日本詩歌，還是將其稍加修改，抑或只說出某些詩句的前半部分（就像我們經(jīng)常說“小洞不補(bǔ)”，而不是完整地表述“小洞不補(bǔ)大洞吃苦”）。《源氏物語》里的詩歌大都是“短歌”，屬于較為常見的日本古典詩歌體裁“和歌”的一個(gè)類型，有些類似于當(dāng)代的俳句。這類詩歌有5行和31個(gè)音節(jié)，俳句的格式是5—7—5，共有17個(gè)音節(jié)，而絕大多數(shù)和歌（即短歌）的格式是5—7—5—7—7，共有31個(gè)音節(jié)。（實(shí)際上，“音節(jié)”的表述并不精準(zhǔn)，確切地說是“聲音”，二者的區(qū)別有些微妙，但相當(dāng)重要。請(qǐng)日本詩歌專家原諒我在此處不做深入探討。）[5]

在一名數(shù)學(xué)家看來，這類詩歌與質(zhì)數(shù)的關(guān)系再明顯不過了。我們先來看看俳句：3行，長5和7個(gè)音節(jié)，一共17個(gè)音節(jié)。3、5、7、17都是質(zhì)數(shù)。再看看短歌，有2行5音節(jié)和3行7音節(jié)——2、3、5、7、31都是質(zhì)數(shù)。這里有什么意味深長的含義嗎？我讀到過有人說，5—7源于早期的“自然”12音節(jié)詩句，一句詩被分成兩個(gè)部分，其間稍加停頓。在我看來，5—7當(dāng)然比枯燥無趣的6—6或不平衡的4—8更令人興奮，也更能彰顯活力，或許這就是它形成的原因。質(zhì)數(shù)不能被進(jìn)一步分解，所以5—7能將一句詩分割成獨(dú)立的、不可再分的表義單位。而4、6、8都存在固有的“斷層線”，從而削弱了詩句的結(jié)構(gòu)。

《源氏物語》面世幾個(gè)世紀(jì)后，一種游戲在16世紀(jì)日本貴族家庭的會(huì)客廳里流行起來，叫作“源氏紋”。女主人從一組不同香味的香中私下挑選出5支，這5支香的香氣可能相同，也可能不同。之后她逐一將其點(diǎn)燃，客人們要根據(jù)氣味猜測哪些香是相同的，哪些是不同的。你可能覺得所有的氣味都不相同，也可能覺得第一支香與第三支香的氣味相同，其余的氣味各不相同。各種可能性用下面的圖形來表示：

最左邊的圖形表示所有氣味都是不同的；它旁邊的圖形表示第一支香與第三支香的氣味相同；第三個(gè)圖形表示第一、第三、第五支香氣味相同，第二、第四支香的氣味相同；最右側(cè)的圖形表示第二、第三、第四支香氣味相同，第一、第五支香的氣味相同。為了讓人們便于描述他們猜測的結(jié)果，每一種可能性都用《源氏物語》中的一章來命名——從“各不相同”、部分相同到“完全相同”，一共存在52種可能性。[6]《源氏物語》后來的一些版本甚至在章節(jié)標(biāo)題旁畫出相應(yīng)的圖案。這些圖案本身也有了自己的生命——它們被用于設(shè)計(jì)和服和徽章。

與此同時(shí)，在數(shù)千英里[7]之外的英國都鐸王朝，喬治·普登漢姆在他的書《英國詩歌藝術(shù)》中列舉了以下圖形：

它們看起來就像平躺的源氏紋！尤其是比較下面兩個(gè)圖形：

這究竟是怎么回事？普登漢姆描述的是一個(gè)五行詩節(jié)中可能存在的押韻格式，用圖形來幫助讀者進(jìn)一步理解。（或者正如他所說，“我給你舉了一個(gè)直觀的例子：因?yàn)槟憧梢愿玫乩斫馑薄＃?/p>

一首詩或一首詩中的一節(jié)的押韻格式，簡單來說就是該行最后一個(gè)單詞的押韻。我們見到的早期的詩歌都是帶有簡單韻律的歌曲和童謠：

Mary had a little lamb

Its fleece was white as snow

And everywhere that Mary went

The lamb was sure to go.

（詩歌大意：瑪麗有只小羊羔/它的羊毛像雪一樣白/無論瑪麗走到哪里/羊羔都跟在她身后。）

這是一首以abcb為押韻格式的“四行詩”，也就是第二行與第四行押韻，其他行不押韻。相比之下，下面是約翰·多恩的一首四行詩《日出》：

Busy old fool, unruly sun,

Why dost thou thus,

Through windows, and through curtains call on us?

Must to thy motions lovers’ seasons run?

（詩歌大意：忙碌的老傻瓜，任性的太陽，/你為什么這樣，/透過窗戶、透過窗簾呼喚我們？/情人的季節(jié)一定要按你的節(jié)奏運(yùn)行嗎？）

這里的押韻格式是abba。

如果讓一個(gè)孩子給你寫一首詩，很有可能你會(huì)看到一首四行詩。為了測試這個(gè)理論，我剛剛讓我的女兒埃瑪給我寫一首詩《獻(xiàn)給媽咪的書》。3分鐘后，她就交給我一首絕妙的數(shù)學(xué)詩歌：[8]

Endless numbers

You could count them till you die

It can outlive the universe

That is Pi.

（詩歌大意：無窮的數(shù)字/你可以一直數(shù)到死/它比宇宙更持久/那就是π。）

我覺得它的韻律既算是abab，也算是abcb，取決于你是否認(rèn)為numbers（數(shù)字）與universe（宇宙）押韻。

四行詩一共有15種可能的押韻格式。從押韻最多到最少排列，有aaaa（乏味得要死）、aaab、aaba、aabb、abaa、abab、abba、abbb、aabc、abac、abbc、abca、abcb、abcc和abcd（根本不押韻）。普登漢姆說，其中只有3種押韻格式是被允許的，即使對(duì)這些格式他也吝于表達(dá)贊美之情。他說aabb“最粗俗不過”（意思是司空見慣），abab是“尋常之舉，不足為奇”，還說abba“不那么常見，但也足夠令人心神愉悅，可以允許存在”。約翰·多恩一定松了一口氣！

四行詩的討論就到此為止吧。對(duì)于一首五行詩，也就是普登漢姆用圖形表示的內(nèi)容，存在更多的押韻格式。我們很容易就能發(fā)現(xiàn)，五行詩的押韻格式與源氏紋中香的組合是完全一樣的，因?yàn)槲覀兌际窃趯ふ乙粋€(gè)集合（5支香或5句詩）中哪些元素是匹配的。然而，普登漢姆遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于日本人，因?yàn)樗暦Q五行詩只有7種可能的押韻格式：“其中一些格式比另一些格式更嚴(yán)格、更難以入耳”，而源氏紋的玩家都知道事實(shí)上有52種可能的組合。

由于源氏紋游戲的出現(xiàn)，早在西方數(shù)學(xué)家關(guān)注這類問題之前，日本數(shù)學(xué)家就對(duì)一個(gè)物體集合（香或其他任何東西）能以多少種方式被劃分的問題表現(xiàn)出濃厚的興趣。這種方法現(xiàn)在被稱為集合的“貝爾數(shù)”，該數(shù)字增長的速度非常快。第四貝爾數(shù)是15（也就是四行詩所有可能的押韻格式），第五貝爾數(shù)是52，第六貝爾數(shù)是203，第十貝爾數(shù)就到了115 975。實(shí)際上，我親身體驗(yàn)過第六貝爾數(shù)的悲慘經(jīng)歷，因?yàn)槲也萋实卮饝?yīng)為11歲的女兒米利耶安排一次夏季的過夜派對(duì)，6個(gè)十一二歲的小女孩似乎在一夜之間有203種可能性分裂成相互敵對(duì)的小派系。日本數(shù)學(xué)家松永良弼早在18世紀(jì)中期就發(fā)現(xiàn)了一種能計(jì)算任意大小集合貝爾數(shù)的巧妙方法，例如第十一貝爾數(shù)是678 570。我不知道為什么這些數(shù)字要以20世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家埃里克·坦普爾·貝爾來命名，他只是在1934年寫了一篇有關(guān)這類數(shù)字的論文。他自己在論文中也明確表示，他不是第一個(gè)研究這些數(shù)字的人，這些數(shù)字在歷史上得到了諸多數(shù)學(xué)家的關(guān)注。這算是“斯蒂格勒定律”的另一個(gè)例證，該定律發(fā)現(xiàn)，沒有一項(xiàng)科學(xué)發(fā)現(xiàn)是以其最初發(fā)現(xiàn)者的名字來命名的（即使是“斯蒂格勒定律”本身也適用于這個(gè)定律）。

韻律是詩歌形式的定義特征之一，它的代表性體裁包括十四行詩、維拉內(nèi)拉詩、亞歷山大詩體等等。以維拉內(nèi)拉詩為例，全詩共有19行，包括5個(gè)aba韻律的三行詩節(jié)，和最后一個(gè)abaa韻律的四行詩節(jié)。它還有一些額外的體系：首個(gè)詩節(jié)的第一行和第三行必須與后續(xù)詩節(jié)的最后一行，以及四行詩節(jié)里的最后兩行交替重復(fù)。或許最著名的一首維拉內(nèi)拉詩就是迪倫·托馬斯對(duì)人類精神的偉大贊歌《不要溫和地走進(jìn)那個(gè)良夜》。十四行詩有14行詩句，不同的語言具有不同的傳統(tǒng)韻律，但是莎士比亞和大多數(shù)英語作家都采用3個(gè)abab韻律的四行詩，跟著一個(gè)押韻的對(duì)句。

莎士比亞是一位多產(chǎn)的詩人——1609年出版的《莎士比亞十四行詩》包含154首詩。但是他恐怕無法跟法國作家雷蒙·格諾相提并論，后者的《一百萬億首詩》利用數(shù)學(xué)的隨機(jī)性把100萬億首十四行詩放在一本書里。這怎么可能？請(qǐng)容我解釋一下，所有人都喜歡十四行詩，但是如果我想把100萬億首詩放在這本書里，編輯肯定會(huì)殺了我。于是，為了能繼續(xù)活下去，我決定舉一個(gè)小小的例子來演示一下。為此我突發(fā)奇想，寫了幾首五行打油詩供讀者欣賞。

五行打油詩是一種短小幽默的詩歌，通常由五行aabba押韻格式的詩句組成，在維多利亞時(shí)代的作家愛德華·李爾的推動(dòng)下于19世紀(jì)在英國流行開來。下面這首典型的五行打油詩摘自他1861年的暢銷書《胡謅詩集》：

There was an Old Lady whose folly,

Induced her to sit on a holly;

Whereon by a thorn,

Her dress being torn,

She quickly became melancholy.

（詩歌大意：怪老婆婆做怪事，坐上冬青當(dāng)椅子，荊棘一刺衣服破，憂郁懊惱悔已遲。）

李爾有時(shí)候被稱為“五行打油詩之父”，盡管他從未使用過“l(fā)imerick”（五行打油詩）這種表述方式（這個(gè)詞最早出現(xiàn)在1898年），當(dāng)然，它的發(fā)明人也不是李爾。然而，憑借他那本人見人愛的作品，他讓這種詩歌體廣為流傳，那本書包括212首讓人印象深刻的五行打油詩。目前還不清楚這種詩歌體裁怎么會(huì)沿用愛爾蘭一個(gè)縣的名字。一種說法是，它源于一項(xiàng)廣受歡迎的客廳游戲（當(dāng)然也和李爾無關(guān)），其中有一句話：“你要不要來利默里克（Limerick）？”

借助隨機(jī)原理所產(chǎn)生的驚人力量，我在此正式對(duì)212首五行打油詩表達(dá)我的鄙視，并提供一種無須花費(fèi)太多力氣，也不需要任何藝術(shù)修養(yǎng)就能創(chuàng)作出大量這類詩歌的方法。下面是我自己寫的兩首不太好的五行打油詩（分列左右兩側(cè)），只是為了給你展示我的方法。

有個(gè)女人名叫簡，

出行火車常常選，

每次去國外，

她都受不來，

美妙飛行在藍(lán)天。

這人來自緬因間，

下雨待在家門前，

潮濕多不快，

她是多么崇拜，

西班牙一周的休閑。

從兩首詩的第一句開始，你就可以創(chuàng)作出數(shù)量眾多的五行打油詩，因?yàn)槟憧梢噪S機(jī)從左右兩側(cè)選擇下一句。例如，你可以投擲一枚硬幣來決定每一行詩句的選擇。如果正面朝上，你就選擇左邊；如果背面朝上，你就選擇右邊。更有趣的是，有一個(gè)網(wǎng)站甚至讓你不必刻意去找一枚硬幣。我剛剛嘗試擲出5次硬幣，結(jié)果是正、反、反、正、反，于是我的五行打油詩就是這樣的：

有個(gè)女人名叫簡，

下雨待在家門前，

潮濕多不快，

她都受不來，

西班牙一周的休閑。

既然要讓這首詩無論選擇哪一邊的句子都能“讀得通”，你就必須深入了解詩的整體結(jié)構(gòu)。正如我在前面提到的，五行打油詩的押韻方式是aabba，所以每首詩都需要3個(gè)相同的韻腳，兩首詩就需要6個(gè)相同的韻腳。在上面的例子中，我選擇了“簡”“選”“天”“間”“前”“閑”。如果還想創(chuàng)作第三首打油詩，你或許可以考慮把“偏”“免”“年”“欠”“甜”等字作為韻腳。

在我們這個(gè)由兩首五行打油詩組成的小小集合里，五行中的每一行都有兩個(gè)選擇。第一行有兩種可能，每一種可能的后面都跟著第二行的兩種可能，這意味著對(duì)前兩行我們就有2×2=4種可能。后面是第三行的兩種可能，前三行的可能就是2×2×2=8。因此每增加一行，可能性就增加一倍。那么在這兩個(gè)五行詩句中，我們就有了2×2×2×2×2=32首貨真價(jià)實(shí)的打油詩。但是如果我們?cè)賹懸皇状蛴驮姡恳恍芯陀辛?個(gè)選擇，也就是一共有下面這么多首打油詩：

3×3×3×3×3=243

這是第三首打油詩，供大家欣賞：

巴林女孩笑嫣嫣，

大雪冰雹令她厭，

寒冷多作怪，

旅行樂開懷，

非洲草原惹人羨。

祝賀你，你現(xiàn)在已經(jīng)是一位了不起的詩界精英，你名下的五行打油詩作品數(shù)量比愛德華·李爾整部詩集的數(shù)量還多31首。如果你在這個(gè)集合里再加進(jìn)第四首打油詩，那么全部打油詩的數(shù)量就躍升到4×4×4×4×4，也就是1024首。既然我只貢獻(xiàn)了其中的243首，那么一口氣創(chuàng)作1000多首五行打油詩這項(xiàng)舉世聞名的偉大成就，你應(yīng)當(dāng)占75%以上的功勞。

現(xiàn)在我們來看看雷蒙·格諾究竟是如何創(chuàng)作他的100萬億首詩的。方法其實(shí)如出一轍，只是規(guī)模更大。他的作品都是十四行詩，格諾采用的押韻格式是abab、abab、ccd、eed（翻譯成英語傾向于使用莎士比亞風(fēng)格的abab、cdcd、efef、gg押韻格式）。《一百萬億首詩》里有10首十四行詩，連續(xù)排印在10頁紙上。所有詩的第一行韻腳均相同，所有詩的第二行韻腳也相同，其余行都是如此。實(shí)際上，這10首十四行詩呈現(xiàn)出一首三維詩歌的形態(tài)。也就是說，一共有140行詩句，其中40行（每首詩4行）的韻腳均為a。因此，要想創(chuàng)作出一首十四行詩，對(duì)其中的每一行我只需要在10行備選詩句中任意做出選擇。于是我可以選擇第三首詩的第一行、第一首詩的第二行、第四首詩的第三行，以此類推。如果我根據(jù)π的小數(shù)位來選擇詩句，誰也不能阻止我聲稱自己創(chuàng)作了一首“π詩”（請(qǐng)?jiān)彛?/p>

那么這本小冊(cè)子一共包含了多少首詩？我們可以來算算，第一行有10種可能，每一種可能都跟隨著第二行的10種可能，也就是說，前兩行共有10×10=100種可能。推廣到第14行，全部的可能就是10的14次方，100 000 000 000 000，即100萬億。這算是有史以來篇幅最長的一本書嗎？如果你以不間斷的方式每分鐘閱讀一首詩，需要190 128 527年才能把所有的詩讀完。（雷蒙·格諾也做過類似的推算，但他的答案是190 258 751年，這不禁讓我開始懷疑自己的計(jì)算能力。不過我很快就發(fā)現(xiàn)，他忘記了計(jì)算閏年。或許格諾心懷憐憫，慷慨地允許讀者在2月29日休息一天。）哲學(xué)家可能會(huì)問：是格諾自己創(chuàng)作了這些詩句嗎？它們?cè)谑裁匆饬x上存在？我不知道，但格諾隸屬于一個(gè)作家和詩人組織，他們積極主張嘗試所謂的“潛在文學(xué)”。這個(gè)組織的名稱是“烏力波”，稍后我會(huì)進(jìn)一步討論他們的作品和思想。但包含100萬億首詩的書無疑是潛在文學(xué)的絕佳例證。

詩歌中的數(shù)學(xué)理論不僅限于押韻格式，哪里有結(jié)構(gòu)，哪里就有數(shù)學(xué)，而押韻格式只是規(guī)范詩歌結(jié)構(gòu)的方式之一。如果我們放棄了押韻，那就需要?jiǎng)e的東西來代替它。其中的一種就是可以追溯到中世紀(jì)的六節(jié)詩，我想要專門談?wù)勥@種詩歌，它優(yōu)雅的結(jié)構(gòu)之所以有效，是因?yàn)樗婕皵?shù)字6的有趣數(shù)學(xué)知識(shí)。

一首六節(jié)詩由6節(jié)組成，每節(jié)6行。每一節(jié)每一行的最后一個(gè)單詞以不同（但特定）的順序與后續(xù)詩節(jié)中每一行的最后一個(gè)單詞相同。最后的三行詩作為“特使”，要包含所有6個(gè)結(jié)尾單詞。

如果可能，我打算給你舉一個(gè)完整的例子，這樣你就能了解六節(jié)詩的具體結(jié)構(gòu)。可供選擇的詩歌很多，盡管這種詩歌最早出現(xiàn)在800多年前，但它一直被沿用至今，并且經(jīng)歷過極其輝煌的年代。詹姆斯·布雷斯林（當(dāng)時(shí)是加州大學(xué)伯克利分校的英語課程教授）說，20世紀(jì)50年代是“六節(jié)詩的時(shí)代”。從但丁到吉卜林，從伊麗莎白·畢曉普到埃茲拉·龐德，再到美國當(dāng)代詩人大衛(wèi)·菲利的作品（《街人晚宴上的嘉賓艾倫》）和英國人科娜·麥克菲的作品（2002年那首極度悲傷的《試管嬰兒》），她在個(gè)人網(wǎng)站上自稱“造事者”（thingwright）。我選用的例子是夏洛特·珀金斯·吉爾曼的一首詩，她最廣為人知的作品是1892年的短篇小說《黃色墻紙》。

致冷漠的女人

一首六節(jié)詩

夏洛特·珀金斯·吉爾曼

你把幸福寄托于千萬戶家庭，

或在其中勞累過度，以求無聲的和平；

誰的靈魂全部集中于一小群人的生活

那是你對(duì)那個(gè)小團(tuán)體的愛

誰告訴你不需理解或關(guān)心

關(guān)于這個(gè)罪惡和悲傷的世界？

你可相信這個(gè)悲傷的世界

令你無動(dòng)于衷而只顧自己的小家庭？

你已獲準(zhǔn)回避他人的關(guān)心

為人類進(jìn)步而奮進(jìn)，也為人類的和平

我們有足夠的力量拓展我們的愛

直到它覆蓋所有領(lǐng)域的生活？

首要責(zé)任被賦予人類的生活

是為了推動(dòng)進(jìn)步和造福世界

為了正義、智慧、真理和愛；

而你無視它，蜷縮于自己的家庭，

滿足于那毫無根基的和平，

滿足于把其他一切都拋在腦后，毫不關(guān)心。

然而你們畢竟是母親！而母親的關(guān)心

是人類邁出的第一步，向著美好的生活，

所有的國家都享受著無憂無慮的和平

團(tuán)結(jié)起來提高水平，為了全世界

讓幸福進(jìn)入我們的家庭

為世界傳播強(qiáng)烈而豐富的愛。

你滿足于保持這種強(qiáng)大的愛

永遠(yuǎn)將它限制在最初的一步；粗魯?shù)仃P(guān)心

動(dòng)物的幼崽、伴侶和家庭，

與其白白淡出你的生活，

不如讓它的強(qiáng)大力量滋養(yǎng)全世界

直到每個(gè)人類的孩子都能享受和平。

你將無法維持你小小的自我和平，

和你那小小的不成熟的愛，

而被忽視、忍饑挨餓、不受控制的世界

痛苦地爭奪著母愛和關(guān)心

而它狂暴、痛苦、破碎的生活

敲擊著你那自我封閉的家庭。

我們都可以擁有自己的家庭并享受歡樂與和平

當(dāng)女人的生活，融入充滿力量的愛

與男人聯(lián)合起來，共同關(guān)心全世界。

我們來仔細(xì)分析一下六節(jié)詩的結(jié)構(gòu)。從上一節(jié)到下一節(jié)，每次都要用同樣的方式來調(diào)換結(jié)尾詞的位置。這是一種有序的無序，具體方式是用最后一個(gè)結(jié)尾詞的倒序與第一個(gè)結(jié)尾詞的正序交錯(cuò)，直到我們把它們都用完為止。我們可以在夏洛特·珀金斯·吉爾曼的六節(jié)詩中看到這樣的模式。第一節(jié)的結(jié)尾詞是“家庭/和平/生活/愛/關(guān)心/世界”。從最后一個(gè)結(jié)尾詞開始倒序排列，就是“世界/關(guān)心/愛/生活/和平/家庭”，與原來正序排列的結(jié)尾詞交錯(cuò)，就形成了：

也就是“世界/家庭/關(guān)心/和平/愛/生活”。正如你看到的，這恰恰是第二節(jié)的結(jié)尾詞的順序。這種特定的重新排列方式讓詩歌的節(jié)與節(jié)之間呈現(xiàn)出美妙的連續(xù)性，因?yàn)橐还?jié)最后一行的結(jié)尾詞就是下一節(jié)首行的結(jié)尾詞。同樣的變化方式持續(xù)下去，我們對(duì)第二節(jié)重復(fù)這種逆向交錯(cuò)的變化，就得到第三節(jié)結(jié)尾詞的順序。如果這樣做，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)“世界/家庭/關(guān)心/和平/愛/生活”變成了“生活/世界/愛/家庭/和平/關(guān)心”。用同樣的方式我們得到了第四、第五和第六節(jié)結(jié)尾詞的排列順序。這里還有一個(gè)我們不曾察覺的精妙結(jié)構(gòu)：我們?nèi)绻堰@種變化模式推進(jìn)到第七節(jié)，也就是對(duì)第六節(jié)結(jié)尾詞的順序“和平/愛/世界/關(guān)心/生活/家庭”進(jìn)行逆向交錯(cuò)，就會(huì)得到“家庭/和平/生活/愛/關(guān)心/世界”。看起來有點(diǎn)兒眼熟，的確如此，它就是第一節(jié)結(jié)尾詞的排列順序。因此，在我們尚未察覺的時(shí)候，6個(gè)詩節(jié)完成了一次完整的迭代，如果繼續(xù)下去，我們就回到了起點(diǎn)。我認(rèn)為我們的確在潛意識(shí)中體驗(yàn)并欣賞了如此精美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，盡管我們可能沒有意識(shí)到。這種變化還具有令人愉悅的內(nèi)部對(duì)稱性：每個(gè)結(jié)尾詞在不同的詩節(jié)中出現(xiàn)在不同行的末尾，從第一行到第六行，這真是一個(gè)引人注目的設(shè)計(jì)思路。

通常對(duì)于如此古老的詩歌體裁，我們總是能找到一個(gè)舉世公認(rèn)的發(fā)明人——12世紀(jì)的詩人阿爾諾·達(dá)尼埃爾。當(dāng)時(shí)它被視為一種極其精巧的詩歌形式，只有專業(yè)的吟游詩人才能掌握。我不知道達(dá)尼埃爾是怎么想到這個(gè)主意的——它是一個(gè)非常簡單又方便記憶的排列，你可能會(huì)想，一旦你了解了接下來的過程，假設(shè)每個(gè)詩節(jié)的數(shù)量和行數(shù)都是6，那么在6次變化之后，你自然就會(huì)回到最初的起點(diǎn)。但是，如果我們創(chuàng)造出一種“四節(jié)詩”，還用同樣的方式改變結(jié)尾詞的排列順序，那會(huì)發(fā)生什么？我們先寫出第一個(gè)四行詩節(jié)，假設(shè)結(jié)尾詞的順序是“北/東/南/西”。記住前面的規(guī)則，用結(jié)尾詞的逆序與正序交錯(cuò)，于是第二節(jié)結(jié)尾詞的順序就是“西/北/南/東”。重復(fù)這個(gè)過程，得到第三節(jié)的結(jié)尾詞“東/西/南/北”，然后是第四節(jié)的結(jié)尾詞“北/東/南/西”。哎呀！我們?cè)诘谒墓?jié)就回到了最初結(jié)尾詞的順序！所以這種方式無法讓我們呈現(xiàn)出4個(gè)結(jié)尾詞順序不同的詩節(jié)。更糟糕的是，你可以看到“南”的腳下生了根，它在每一節(jié)中都是第三行的結(jié)尾詞。

如果嘗試用6以外的數(shù)字來創(chuàng)作符合六節(jié)詩規(guī)則的詩歌，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它有時(shí)有效，有時(shí)無效。在20世紀(jì)60年代，人們開始尋找n是哪些數(shù)值時(shí)可以完美地契合這個(gè)規(guī)則。這種類型的“廣義六節(jié)詩”被烏力波起名為“格尼納”（quenina），用來紀(jì)念雷蒙·格諾。后來人們發(fā)現(xiàn)這是個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，例如3、5、6、9、11都可以，但4、7、8、10就不行。更令人驚訝的是，人們直到現(xiàn)在還不能確定是否有無窮多的n值能創(chuàng)作出符合格尼納規(guī)則的詩歌，盡管數(shù)學(xué)家讓-紀(jì)堯姆·迪馬在2008年的一篇論文中描述了n必須具備的特征。有那么一類特定的數(shù)字總能符合格尼納規(guī)則，它們都是質(zhì)數(shù)，叫作“索菲·熱爾曼質(zhì)數(shù)”。這個(gè)名稱源于一位卓越的數(shù)學(xué)家，她曾在多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出杰出的貢獻(xiàn)，但為了進(jìn)入大學(xué)讀書她不得不使用一個(gè)假名，還總要請(qǐng)同學(xué)幫助她整理課堂筆記，就是因?yàn)樗頌榕浴钱吘故?8世紀(jì)的巴黎。所謂的熱爾曼質(zhì)數(shù)就是當(dāng)你把它乘以2再加1時(shí)，結(jié)果仍然是一個(gè)質(zhì)數(shù)。例如，3就是一個(gè)熱爾曼質(zhì)數(shù)，因?yàn)?×2+1=7仍然是一個(gè)質(zhì)數(shù)。但7就不是熱爾曼質(zhì)數(shù)，因?yàn)?×2+1=15不再是一個(gè)質(zhì)數(shù)。我在這里無法列出證明過程，但每一個(gè)熱爾曼質(zhì)數(shù)的確都符合格尼納規(guī)則，我對(duì)這類數(shù)字頗有好感。實(shí)際上，我知道至少有一首“三節(jié)詩”（3個(gè)詩節(jié)，每節(jié)3行，最后一行包括了所有3個(gè)結(jié)尾詞）曾被正式發(fā)表，作者是英國詩人柯爾斯滕·歐文。

來自夏威夷的塔露拉跳著草裙舞

柯爾斯滕·歐文

愚蠢的姓名何時(shí)才會(huì)結(jié)束，這些小小的標(biāo)簽

綁在孩子的腳趾上，那都是父母的放任

和暴君般的遠(yuǎn)見惹惱了當(dāng)?shù)氐姆ㄍィ?/p>

今天你們?nèi)诵瓮奥罚x開法庭

各回各家，取下自己財(cái)物上的標(biāo)簽

正如當(dāng)初的放任

什么才是一個(gè)合理的名字，連珠妙語由不得你放任

就是因?yàn)楦瘮〉姆ㄍ?/p>

和廁所里污穢不堪的標(biāo)簽

標(biāo)簽被放任之時(shí)，一個(gè)不叫塔露拉的女孩以法庭之令昭示世界。

押韻格式和格尼納規(guī)則都是針對(duì)詩句結(jié)尾的限制條件，我們看到了由此引發(fā)的一些有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。但是當(dāng)思考詩句中的某些規(guī)律時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了更多值得研究的內(nèi)容。下面我們就來探索一番。

除了押韻格式，許多詩歌的句子通常還包含特定的節(jié)奏，我們叫作“格律”。例如，莎士比亞的戲劇就有很多的“五步抑揚(yáng)格”（iambic pentameter）。這個(gè)詞中的“penta”來自希臘語的“五”，“iamb”是一個(gè)雙音節(jié)詞語，重音在第二個(gè)音節(jié)上。因此，iambic pentameter共有10個(gè)音節(jié)，每個(gè)單詞中的第二個(gè)音節(jié)都重讀。我在下面的例子中用下劃線強(qiáng)調(diào)了重讀音節(jié)（摘自《羅密歐與朱麗葉》陽臺(tái)上那一場）。

But soft, what light through yonder window breaks?

It is the East, and Juliet is the sun.

（大意：輕聲！那邊窗子里透出來的是什么光？那就是東方，朱麗葉就是太陽！）

這種“抑揚(yáng)、抑揚(yáng)、抑揚(yáng)、抑揚(yáng)、抑揚(yáng)”的格律可以用形象化的點(diǎn)和線來表示，就像莫爾斯碼。一個(gè)抑揚(yáng)格是“·━”，五步抑揚(yáng)格就是：

·━·━·━·━·━

重讀音節(jié)和非重讀音節(jié)組成的基本模式被稱為“音步”。舉兩個(gè)常見的例子與我們前面討論過的抑揚(yáng)格做一下比較：揚(yáng)抑格（━·），如“Quoth the Raven ‘Nevermore’”（烏鴉答曰，“永不復(fù)焉”）；揚(yáng)抑抑格（━··），如羅伯特·勃朗寧在《迷失的領(lǐng)袖》中的第一句“Just for a handful of silver he left us”（只為了一把銀錢他離開了我們），這句話實(shí)際上是3個(gè)揚(yáng)抑抑格加上一個(gè)揚(yáng)抑格。對(duì)于給定數(shù)量的音節(jié)，有多少種可能的音步？每個(gè)音節(jié)存在兩種可能——重讀音節(jié)或輕讀音節(jié)，于是單音節(jié)所能形成的音步數(shù)量就是2（·或━）。對(duì)于雙音節(jié)，我們可以在兩邊各添加一個(gè)·或者一個(gè)━，因此一共有4個(gè)音步。我們還可以繼續(xù)添加·或者━，形成三音節(jié)的8個(gè)音步。音步的數(shù)量呈倍數(shù)增長，因此出現(xiàn)這樣一個(gè)數(shù)字序列1、2、4、8、16等等，即2的冪。

然而，在另一類詩歌中，出現(xiàn)了一些與此截然不同的模式。我第一次讀到這個(gè)現(xiàn)象，是在喬丹·埃倫貝格對(duì)幾何學(xué)的精彩贊歌《圖形》（Shape）一書中。他提到，一位數(shù)學(xué)家朋友曼紐爾·巴爾加瓦給他講述了梵文詩歌中的音步。就像英語詩歌一樣，梵文詩歌的音節(jié)模式也相當(dāng)重要，但是英語強(qiáng)調(diào)重讀音節(jié)的位置，而梵文更加關(guān)注音節(jié)的長度。梵文音節(jié)分為laghu（輕）和guru（重）。重要的一點(diǎn)，laghu表示單音節(jié)，guru表示雙音節(jié)。這可把問題搞復(fù)雜了，比如想知道四音節(jié)有多少種可能的音步，我們就不能簡單地把三音節(jié)的音步數(shù)量乘以2。那該怎么辦？我們只能從頭開始分析，單音節(jié)只有一種可能：laghu。雙音節(jié)有兩種可能：laghu laghu或guru。對(duì)于三音節(jié)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)3種可能：laghu laghu laghu、laghu guru或guru laghu。對(duì)于四音節(jié)，我們采取聰明一點(diǎn)兒的方法，把它分為兩個(gè)部分，音步的起始要么是laghu，要么是guru。如果從laghu開始，那么我們可以選擇三音節(jié)的任意一個(gè)音步跟在它的后面，形成四音節(jié)。如果從guru開始，我們只能在雙音節(jié)的兩個(gè)音步中挑選一個(gè)跟在它的后面。因此，四音節(jié)的音步共有3+2=5種可能。

laghu laghu laghu laghu

laghu laghu guru

laghu guru laghu

guru laghu laghu

guru guru

更重要的是，你可以無限制地沿用這種方法。五音節(jié)的音步要么是laghu+（一個(gè)四音節(jié)音步），要么是guru+（一個(gè)三音節(jié)音步）。因此，五音節(jié)的音步數(shù)量等于四音節(jié)的音步數(shù)量加上三音節(jié)的音步數(shù)量，也就是5+3=8。我們還可以繼續(xù)這個(gè)過程，每個(gè)數(shù)字都是前兩個(gè)數(shù)字之和。于是我們就得到一個(gè)梵文音步數(shù)列：

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

你以前可能見過這個(gè)數(shù)列。英語國家稱它為“斐波那契數(shù)列”，由比薩的萊昂納多在13世紀(jì)推廣到歐洲，他的昵稱就是“斐波那契”。（有時(shí)候這個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)是兩個(gè)1，但原理是一樣的。）正如我們所說，從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。例如13=5+8，21之后的一項(xiàng)就是13+21=34。斐波那契數(shù)列具有很多有趣的特性，其中之一就是相鄰兩項(xiàng)之比，…無限逼近著名的“黃金律”≈1.618。

斐波那契在1202年的《計(jì)算之書》中介紹了這個(gè)數(shù)列，用的是一個(gè)極其愚蠢的與兔子有關(guān)的例子。最開始的時(shí)候你有一對(duì)新出生的兔子，這對(duì)兔子在一個(gè)月之后交配，又過了一個(gè)月，母兔產(chǎn)下一對(duì)幼崽。我們必須丟棄現(xiàn)實(shí)中的一些限制條件，假設(shè)兔子永遠(yuǎn)不會(huì)死，而且不停地繁殖，也不考慮無關(guān)緊要的近親繁殖問題。那么一年后將有多少對(duì)兔子？我們可以看到，這個(gè)數(shù)列適用于同樣的規(guī)則。在任意一個(gè)月，兔子的數(shù)量是一個(gè)月之前的數(shù)字，加上這個(gè)月新出生的數(shù)字，也就是（從出生到繁殖需要兩個(gè)月）兩個(gè)月之前兔子的數(shù)量。于是數(shù)列中的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。但是這個(gè)數(shù)列早在斐波那契之前就被印度的詩歌學(xué)者發(fā)現(xiàn)了。格律專家維拉安卡（公元600年到800年之間）、戈帕拉（公元1135年以前）和赫馬錢德拉（約公元1150年）都知道這個(gè)數(shù)列，也了解其生成的方式。還有證據(jù)表明，這個(gè)數(shù)列曾出現(xiàn)在更早期的平伽拉（約公元前300年）的作品中。或許我們?cè)摻o“斐波那契數(shù)字”改個(gè)名字了。

數(shù)學(xué)與詩歌是兩項(xiàng)最古老的創(chuàng)意表達(dá)方式，它們之間的聯(lián)系可以追溯到人類寫作的最初階段。人類歷史上已知的最古老的署名作品來自一位非同凡響的女性，名叫恩西杜安娜，她生活在4 000多年前的美索不達(dá)米亞城邦烏爾。她或許創(chuàng)作了有史以來的第一部詩歌集——包含了42首詩歌的《神廟贊美詩》。但是作為月神南納的最高女祭司，她還需要掌握天文學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)。無論是對(duì)數(shù)字的運(yùn)用，尤其是數(shù)字7，還是對(duì)計(jì)算和幾何學(xué)的涉獵，這些內(nèi)容都體現(xiàn)在她的詩歌中。《神廟贊美詩》的最后一句提到了“具有真正無上智慧的女人”的數(shù)學(xué)工作：

她測量上方的天穹

在地面布下測量線。[9]

詩歌與數(shù)學(xué)之間的愛情，由一見傾心到蓬勃發(fā)展。數(shù)學(xué)一直存在于詩歌的深處，支撐著它的韻律，隱藏在它的結(jié)構(gòu)中。正如19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾施特拉斯所說：“一個(gè)沒有幾分詩才的數(shù)學(xué)家永遠(yuǎn)不會(huì)是一個(gè)完美的數(shù)學(xué)家。”至于詩歌，它僅僅是數(shù)學(xué)借用其他方式的某種延續(xù)。

[1] 數(shù)字0用10個(gè)字母的單詞來表示。如果你也想創(chuàng)作一篇圓周率文，這里是π小數(shù)點(diǎn)后的40位：3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1。

[2] 大意為：午夜如此陰郁、勞累而疲憊。靜靜地沉思，贊頌?zāi)切┰缫堰^時(shí)的愛情書卷。在我漫長的打盹兒中——最奇怪的敲門聲！一種不祥的震動(dòng)聲在我房間的前門響起。“這個(gè)，”我輕聲說，“我不理會(huì)。”——譯者注

[3] 龐德說：“所謂‘意象’，就是在剎那間呈現(xiàn)出一種理智和情感的復(fù)合體……正是這種‘復(fù)合體’的瞬間呈現(xiàn)給人一種豁然開朗的感覺，一種脫離了時(shí)間和空間束縛的自由感，一種瞬間成長的感覺，我們能在偉大的藝術(shù)作品中體驗(yàn)到這樣的感覺。”（“A Few Don’ts by an Imagist”，Poetry，Chicago，March 1913.）他解釋說，就像在詩歌中一樣，同一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式通常可以在幾個(gè)不同的層面上被解釋。

[4] 哈里·胡迪尼，匈牙利裔美國魔術(shù)師，以緊縛逃脫類魔術(shù)而聞名。——譯者注

[5] 想了解完整的學(xué)術(shù)探討，可以嘗試閱讀The Poetics of Japanese Verse——Imagery, Structure, Meter by Koji Kawamoto (University of Tokyo Press，2000)。我還推薦Abigail Friedman的The Haiku Apprentice: Memoirs of Writing Poetry in Japan（Stone Bridge Press，2006），作者在書中講述了她在東京擔(dān)任美國外交官期間學(xué)習(xí)寫俳句的經(jīng)歷。至于互聯(lián)網(wǎng)資源，初學(xué)者最好的落腳點(diǎn)是www.graceguts.com，網(wǎng)站創(chuàng)建人是詩歌和俳句專家邁克爾·迪倫·韋爾奇。

[6] 源氏紋的全部52個(gè)圖案，以及《英國詩歌藝術(shù)》（The Arte of English Poesie）中的部分內(nèi)容可參考數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家高德納的文章《兩千年組合學(xué)》，這篇文章出現(xiàn)在由羅賓·威爾遜和約翰·J.沃特金斯編輯，由牛津大學(xué)出版社于2013年出版的《組合學(xué)：古代與現(xiàn)代》（Combinatorics: Ancient & Modern）一書中。高德納和我一樣，認(rèn)為人類最好的溝通方式就是講故事，無論是在數(shù)學(xué)還是其他領(lǐng)域。這個(gè)想法貫穿了他的計(jì)算機(jī)編程哲學(xué)，他曾經(jīng)說，如果我們把程序當(dāng)成文學(xué)作品，成效將得到大幅提高。他還在1974年寫了一部小說《研究之美》，這本書超越了當(dāng)時(shí)的年代，但仍值得一提，因?yàn)樵谖铱磥恚@是唯一一本在一項(xiàng)數(shù)學(xué)研究（即約翰·康威發(fā)現(xiàn)一類新型數(shù)字的過程）被正式發(fā)表之前將其介紹給讀者的小說。

[7]1英里≈1.609千米。——編者注

[8] 這首具有重要意義的詩歌創(chuàng)作于2021年，版權(quán)歸10歲的埃瑪·哈特所有。經(jīng)她慷慨允諾，在此刊出。

[9] 《神廟贊美詩》有若干翻譯版本，但是我最喜歡薩拉·格拉茲的譯本。格拉茲是一名廣受尊崇的數(shù)學(xué)家和詩人，她既出版過抽象代數(shù)學(xué)的教科書，也出版過一本詩集《數(shù)字頌歌》（Ode to Numbers，Antrim House，2017），書名來自智利詩人巴勃羅·聶魯達(dá)的一首詩。