1.2 魯棒優(yōu)化

1.2.1 魯棒優(yōu)化的一般概念

魯棒優(yōu)化（Robust Optimization，RO）是一類基于區(qū)間擾動(dòng)信息的不確定性決策方法，其目標(biāo)在于實(shí)現(xiàn)不確定參數(shù)最劣情況下的最優(yōu)決策，即通常所說的最大最小決策問題[1-3]。

魯棒優(yōu)化具有如下特點(diǎn)：

1）決策關(guān)注于不確定參數(shù)的擾動(dòng)邊界，一般不需要獲知不確定參數(shù)精確的概率分布；

2）一般來講，魯棒優(yōu)化模型可通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)成其確定性等價(jià)模型進(jìn)行求解，求解規(guī)模與隨機(jī)規(guī)劃方法相比相對較小；

3）由于魯棒優(yōu)化決策針對不確定參數(shù)的最劣實(shí)現(xiàn)情況，其解往往存在一定的保守性。

上述特點(diǎn)使魯棒優(yōu)化成為一類特殊的不確定優(yōu)化方法，具有獨(dú)特的應(yīng)用條件與效果。

不失一般性，以考慮參數(shù)不確定性的線性規(guī)劃問題為例，構(gòu)建魯棒優(yōu)化的一般模型[1]，表示為

式中，x代表n階待決策向量；c是線性目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)向量；A是約束方程中的m×n階系數(shù)矩陣；b是m階右邊項(xiàng)參數(shù)向量；U是不確定集。

由式（1.1）可以看出，線性魯棒優(yōu)化模型與線性規(guī)劃模型在形式上具有一致性，但兩者參數(shù)的屬性有著本質(zhì)區(qū)別。魯棒優(yōu)化模型考慮了目標(biāo)函數(shù)和約束條件中參數(shù)的不確定性，即參數(shù)c，A，b可在不確定集合U中任意取值，當(dāng)然，其也可以為確定值。

根據(jù)魯棒優(yōu)化的定義，其解具有以下特點(diǎn)：

1）決策在不確定參數(shù)實(shí)現(xiàn)情況未知條件下進(jìn)行，可以獲得一個(gè)確定的解；

2）決策結(jié)果足以應(yīng)對所有不確定參數(shù)的同時(shí)擾動(dòng)；

3）當(dāng)不確定參數(shù)在預(yù)先設(shè)定的不確定集內(nèi)取值時(shí)，模型約束必然滿足。

由此可見，魯棒優(yōu)化模型的有效解是指當(dāng)模型參數(shù)在不確定集合中任意取值時(shí)，能夠保證所有約束均滿足的一組確定的數(shù)值解。

為體現(xiàn)魯棒優(yōu)化解的上述特點(diǎn)，需在魯棒優(yōu)化模型中顯式表達(dá)參數(shù)不確定性給決策結(jié)果帶來的最劣影響，由此，可將式（1.1）所示的魯棒優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)模型轉(zhuǎn)化為其魯棒對等模型，如式（1.2）所示：

該模型中，內(nèi)部嵌套的最大化問題表征了不確定參量對于優(yōu)化的最劣影響，而外部最小化問題則表明了魯棒優(yōu)化所尋求的最優(yōu)解是在最劣情況下的最好解。觀察式（1.2）不難發(fā)現(xiàn)，在將不確定參量作為內(nèi)層優(yōu)化問題的決策變量后，該式變?yōu)橐粋€(gè)確定性的多層嵌套的優(yōu)化問題，其求解思路是將內(nèi)層子問題通過對偶變換等方式處理，形成單層線性或非線性確定性優(yōu)化問題，實(shí)現(xiàn)模型的可解化處理。進(jìn)而，可通過各類分解迭代快速算法（如Benders分解法、割平面法、C&CG算法等），實(shí)現(xiàn)問題的有效求解[4-6]。