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哥德爾
讓人謙遜的“不完全性定理”

庫爾特·哥德爾（Kurt G?del，1906—1978）

隨著數百年現代科學的進步，過去人們認為世界是絕對的、確定的和完全的之類的理念，被相對論、不確定性原理與不完全性定理所改變。而證明“不完全性定理[1]”的就是美籍奧地利數學家、邏輯學家哥德爾。它被列入《過去2000年最偉大的發明》一書的“思潮洶涌”部分。

哥德爾提出的定理對邏輯學與哲學均造成了相當大的沖擊，其回響至今仍不絕于耳。但重要的是，這個定理終結了數學家幾個世紀以來一直努力為所有數學構建一套嚴謹公理作為基礎的理想圖景，顯示出數學這門學科的“不完全性”；而數學的這種性質又銜接了科學與藝術。

西方思想體系一度認為，不倦地追求和探索會讓真實世界達到完全可知，宇宙圖景遲早會被徹底地呈現在人類面前。但哥德爾四兩撥千斤，用不完全性定理證明了其不可證實性，使我們認識到人類無法完全認識宇宙，即使在理論上也不行。這個啟示還迫使人類拋棄了以控制者自居的觀念，使我們謙遜地認識到永不能得到所有答案的道理，并且心悅誠服地接受世界的矛盾性與復雜性。

圍繞哥德爾頭像的圖形顯示了“邏輯空間中的哥德爾定理”，它形象地說明了，總存在像G那樣的哥德爾陳述（見題畫中G所代表的綠色區域）——G這類陳述也存在于算術中，我們把像G這樣的陳述叫作在M中“不可判定”的陳述。因此，我們不可能消除綠色區域，把整個背景色都涂成黑色的或白色的。這個結果對每一個可能的形式系統M都成立，只要系統是一致的，即對每一個一致的形式系統M，至少存在一個陳述G，它既不能在M中被證明（如框架中的白色區域），也不能在M中被證偽（如框架中的黑色區域）。哥德爾以不完全性定理擊碎了希爾伯特所抱有的對數學公理化的希望——它代表了人類智慧成就的一個高峰，為數學、哲學、計算機科學、語言學、心理學，甚至宇宙學整體的相關發展提供了基礎。

有些科學家將數學稱為“上帝的語言”，它至簡至繁，樸素優雅，卻可以用于解釋宇宙的各種現象，就像愛因斯坦（哥德爾晚年與其關系很親密）在1922年的一次演講中所說的那樣，“不借助幾何數學描述物理學定律，就像不用語言描述我們的想法一樣”。

人們經常用“天才”來稱呼那些為人類做出杰出貢獻的人物，殊不知，這些天才人物也有著可能不為人知的一面。像人物傳記影片《美麗心靈》中刻畫的諾貝爾經濟學獎獲得者納什，就曾遭受過精神分裂癥的折磨。根據《邏輯人生：哥德爾傳》一書所說的，哥德爾晚年患上了精神性厭食癥，最終亡于饑餓——他的摯友愛因斯坦認為哥德爾是堪與其比肩的智慧巨人。我國知名學者趙鑫珊在《天才與瘋子：天才的精神構造》一書中列舉了古今中外眾多天才人物的創造故事，其中也包括這兩位人物的故事。有的時候，思維的“異常”與奇異科學思想的誕生不無關系，不完全性定理的問世就是經典的一例。

[1]不完全性定理公開發表于1931年，證明了在任何數學系統內部，都必定可以做出在該系統內既不能證實、也不能證偽的命題。換言之，無論多么精確、多么有力，任何數學系統都是不完全的。他證明了任何包含整數系統的理論，它的相容性不能在自身理論體系內得到證明。換句話說，沒有一種自稱為數學基礎的理論能夠證明自身的合理性，從而必須從某一外部體系中獲得合理性。哥德爾提出的這一定理給數學基礎研究帶來了極大的變化，其應用甚廣，除了數學領域之外，還包括計算機科學、經濟學、物理學等領域，在現代邏輯史上具有里程碑式的意義。