房間里，陳帆和牛頓面對面而坐。

對于陳帆中午的話，牛頓表現了極大的探討欲。

伸手拿起寫著公式的演算紙，牛頓帶著期待問道：“你也研究過整數冪有限項級數的計算嗎？”

“嗯，算是吧……”

陳帆點了點頭，他雖然不算是研究過，但是他學過呀。

別說整數冪的有限項級數計算了，無窮級數的應用，廣義二項式定理等等，他都學過，就是不能直接告訴牛頓罷了。

得到肯定的回答后，牛頓雙眼一亮，立馬開始詢問起了陳帆的研究成果。

陳帆知道，他的引導者身份要開始了。

不過，他并沒有著急，而是從二項式定理研究的初始，開始講了起來。

實際上，最早的研究應該是華國成書于1世紀的《九章算術》。

這里面提出了世界上最早的，多位正整數開平方和開立方的一般程序。

后來，到了11世紀中葉，賈憲在《釋鎖算書》中給出了開方作法本原圖，滿足了三次以上開方的需要。

這個圖也是直到六次冪的二項式系數表。

只不過，賈憲并未給出二項式系數的一般公式，也沒能建立一般正整數次冪的二項式定理。

再然后，13世紀的楊輝在《詳解九章算術》中引用了本原圖。

但由于《釋鎖算書》的失傳，本原圖在今天一般被稱為楊輝三角。

至于其他地區，最早是在10世紀，阿爾·卡拉吉才知道二項式系數表的構造方法。

隨后由奧馬·海亞姆將印度人的開平方、開立方運算，推廣到任意高次，從而開始研究高次二項展開式。

后來到13世紀，開始有了高次開方的近似公式，到15世紀，阿爾·卡西在《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，并給出了直到九次冪的二項式系數表。

最后在1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理。

隨著時間的流逝，牛頓不自覺的沉浸在了陳帆的講述之中。

以至于，當陳帆拿起筆，并在一張演算紙上，開始寫出一個二項式展開系數表時，牛頓還有些沒反應過來。

等到陳帆寫完，遞給牛頓時，他先是一愣，才接過了演算紙。

但只看了一眼，牛頓立馬便瞪大了雙眼。

“這，這是什么？”

陳帆沒有說話，而是繼續拿起筆，開始在紙上寫道：

【第一列是常數（0次多項式），第二列呈線性增長（1次多項式），第三列根據2次多項式二次增加，第四列以三次多項式的形式增加……】

隨后將紙遞給牛頓，陳帆認真說道：“你先試著按這個思路填滿整個二項式展開系數表。”

牛頓愣了一下，再次接過演算紙，把兩張紙放在一塊，他頓時驚呼道：“這是二項式定理的展開研究？”

陳帆點了點頭，嚴肅且鄭重的說道：“是的，我想和你分享我的研究思路，希望我們能夠突破這項研究。”

牛頓有些不敢相信自己的耳朵，更不敢相信眼前兩張演算紙上的內容。

他有些遲疑的說道：“你的研究應該比我更深入，我不能……”

沒等牛頓的話說完，陳帆直接打斷道：“在沒有獲得最終的研究成果之前，我們都只是這條路上的探索者，說不定你還會比我先完成這項研究。”

頓了頓，陳帆又笑著補充道：“你完全不需要多想，如果我們倆共同取得了這項研究的突破，我同樣會很高興。再說了，對于你的收留，我也沒什么能夠答謝的，這不是兩全其美嗎？”

陳帆的一番話說完后，牛頓怔怔的看著陳帆，過了一會，他的臉上也露出了一絲笑容。

對于他而言，這些內容的確很有吸引力，而且陳帆的意思也很明確，他是真的想分享這項研究的思路，共同完成這項研究。

當牛頓露出笑容時，陳帆就知道這家伙不會拒絕了，他趁熱打鐵道：“牛頓，我們應該抓緊時間了，我想我們一定能盡快解決這項研究的！”

牛頓鄭重的點了點頭：“謝謝你的信任和分享，我會盡力的！”

說完，他拿起筆，開始按照陳帆所說的，去填滿整個二項式展開系數表。

陳帆也重新將注意力放到眼前的紙和筆上，開始寫出一個函數【y=（1-x^2）^1/2】，并開始作出函數圖。

這是一個單位半徑圓的右上象限方程，以單位半徑描述圓的象限。

這也是他開始引導牛頓走向廣義二項式展開的開始。

做完這一步后，陳帆扭頭看了一眼牛頓。

當看到他遞過去的二項式展開系數表，已經差不多被牛頓完成，且開始整理一般表達式時，陳帆不由得挑了挑眉。

“牛爵士不愧是牛爵士，很高效嘛！”

不多時，牛頓完成了手頭的內容，一抬頭，就看到正盯著自己的陳帆。

他微微一愣，有些不好意思的說道：“讓你久等了。”

陳帆輕聲笑道：“沒有，你完成的剛剛好。”

旋即，他將剛寫的紙張遞了過去：“你看看這個?！?

牛頓有些好奇的接了過來，看了一眼后，下意識的皺了皺眉。

但很快，他的眼睛變得明亮起來，他似乎明白了這個函數的意義。

“看懂了嗎？”

一直在看著牛頓的陳帆，適時出聲問道。

牛頓緩緩點了點頭：“由于圓有一個單位半徑，角z的正弦值等于橫坐標x，因此，我們只需要確定x，來作為z上的冪級數！”

說著，他下意識的拿起筆，準備在紙上開始演算。

只不過，當筆尖快碰到紙張時，他停了下來。

見狀，陳帆微微一笑，快速說道：“我想驗證我的思路對不對，如果可以的話，麻煩你進行一番演算。”

話音未落，牛頓已經毫不遲疑的，開始在紙上演算了起來。

陳帆則在一旁聚精會神的看著。

看了一會，陳帆眼中的笑意也變得更濃了幾分。

得，牛頓不愧是牛頓，只是一點小啟發，他便能從中打開一扇門。

這樣的話，陳帆覺得從二項式定理到微積分的路，或許會走得更快。

實際上，陳帆所寫出的函數，以及那個函數圖，可以說是包含了求正弦函數冪展開，所需要的所有元素。

這也是由牛頓1669年的一頁手稿，“用無限項的方程分析”這一內容，陳帆所想到的，廣義二項式展開的牛頓推導過程中的一步。