解答帕普斯所提出的問題

首先，我發現，如果問題只涉及三條、四條或五條線段，那么，所求的點可以用初等幾何學的知識來解決，即僅使用圓規、直尺和我前文中解釋過的定理，但是五條線段皆平行的情況除外。對于五條線段皆平行的特殊情況，以及給定六條、七條、八條或九條線段的情況，總能利用與立體軌跡[23]相關的幾何學知識找到所求的點，即利用三種圓錐曲線中的一種，但是九條線段皆平行的情況除外。對于九條線段皆平行的特殊情況，以及給定十條、十一條、十二條或十三條線段的情況，必須利用比上一條圓錐曲線高一級的曲線，才可找到所求的點，但是十三條線段皆平行的情況除外。對于十三條線段皆平行的特殊情況，以及給定十四條、十五條、十六條或十七條線段的情況，必須利用比上一條圓錐曲線高一級的曲線。以此類推。

其次，我發現，當僅給定三條或四條線段時，所求的點不僅會全部落在其中一種圓錐曲線上，而且有時還會落在一個圓周上，甚至是落在一條直線上[24]。

當給定五條、六條、七條或八條線段時，所求的點落在僅比圓錐曲線高一級的曲線上，我們不難想象出這種滿足條件的曲線。當然，所求的點也可能落在一個圓錐截面，一個圓，或一條直線上。當給定九條、十條、十一條或十二條線段時，所求曲線只比前面的曲線高一級，但任何此類曲線都可以滿足條件。以此類推至無限。

最后，圓錐曲線之后第一條也是最簡單的一條曲線，是由拋物線與直線相交而生成的，下文將描述其相交的方式。

至此，我相信我已經完成了帕普斯所說的古人尚未完成的工作。接著，我將嘗試用幾句話來證明，因為我不想再耗費過多筆墨。

在圖1-5中，令AB、AD、EF、GH，…為給定位置的任意多條線段[25]，求點C，使得由它引出的線段CB、CD、CF、CH，…與給定線段所成的角分別為∠CBA、∠CDA、∠CFE、∠CHG，…，且其中幾條線段的乘積等于其余線段的乘積，或者，至少這兩個乘積成一定比例——這一條件并不會增加問題的難度。

（圖1-5）