2.2 概率及其計算

2.2.1 概率與條件概率

概率的定義如下：對于一個隨機試驗，全體基本事件有n個，若事件A包含m個基本事件，則事件A的概率為

在調(diào)查學(xué)生身高與體重關(guān)系的試驗中，可以將學(xué)生的身高視為一個變量，我們用X表示，X=175cm的概率可以表示為P(X=175cm)，表示在所有學(xué)生中隨機選出一個學(xué)生，其身高等于175cm的概率。更一般的情況是，變量X=x的概率表示為P(X=x)，為簡化書寫，根據(jù)上下文，這個表達式通常可以縮寫為P(x)。我們也可以描述多個變量同時取值的概率，比如，X=x同時Y=y的概率可以表達為P(X=x,Y=y)或者縮寫為P(x,y)。

事件B已經(jīng)發(fā)生的情況下事件A發(fā)生的概率，稱為給定B條件下A的條件概率。給定Y=y條件下X=x的條件概率，表示為P(X=x|Y=y)。和無條件概率類似，這個表達式也可以縮寫為P(x|y)。通常，X=x在給定Y=y條件下的條件概率，與無條件的X=x的概率相比有較大的變化。一個直觀的例子是，一般人患糖尿病的概率比較低，但是，在直系親屬患糖尿病的條件下，則患糖尿病的概率將大大增加。

在給定數(shù)據(jù)集中根據(jù)頻率估算條件概率時，可以將條件視為一個或多個變量的取值，再根據(jù)一個或多個變量的取值情況對數(shù)據(jù)集進行過濾、計算。我們以某地企業(yè)年產(chǎn)值的統(tǒng)計為例，來具體說明如何在數(shù)據(jù)集的基礎(chǔ)上通過過濾實現(xiàn)條件概率的計算。

例2.1 我們統(tǒng)計某地工業(yè)企業(yè)的年產(chǎn)值分布情況，得到如表2.1所示的數(shù)據(jù)集。

在表2.1中，當(dāng)?shù)乜傆嬘?75家企業(yè)，我們估計其中年產(chǎn)值低于4000萬元的企業(yè)的概率，則有

其中“年產(chǎn)值<4000”表示“年產(chǎn)值小于4000萬元”，以下表示與此類似。現(xiàn)在我們再來估計在年產(chǎn)值大于2000萬元的條件下年產(chǎn)值小于4000萬元的企業(yè)的概率。為此，我們簡單地對表2.1中的數(shù)據(jù)以年產(chǎn)值大于2000萬元為條件進行過濾，相應(yīng)得到新的數(shù)據(jù)集，如表2.2所示。

在表2.2的新數(shù)據(jù)集中共有123家企業(yè)，相應(yīng)地，我們可以估計得到在年產(chǎn)值大于2000萬元的條件下年產(chǎn)值小于4000萬元的企業(yè)的概率：

同時，從表2.1可以計算得到：

令P(A)=P（年產(chǎn)值<4000），P(B)=P（年產(chǎn)值>2000），P(A,B)=P（年產(chǎn)值<4000，年產(chǎn)值>2000），P(A|B)=P（年產(chǎn)值<4000|年產(chǎn)值>2000），有

顯然有

式（2.2）即為概率的乘法公式的變形，后續(xù)將進行介紹。根據(jù)式（2.2），我們可以得到更一般的根據(jù)樣本數(shù)據(jù)表計算條件概率（假設(shè)樣本量足夠大，頻率等價于概率）的方法——過濾法。以例2.1中的數(shù)據(jù)為例，首先根據(jù)表2.1計算各個年產(chǎn)值段企業(yè)分布的概率，如表2.3所示。

現(xiàn)在需要計算概率P（年產(chǎn)值<4000|年產(chǎn)值>2000），先將滿足年產(chǎn)值大于2000萬元條件的企業(yè)數(shù)據(jù)篩選出來，將其余不滿足條件的數(shù)據(jù)刪除，相應(yīng)地得到概率子表，如表2.4所示。

然后在表2.4中將年產(chǎn)值小于4000萬元的企業(yè)篩選出來，其概率P′（年產(chǎn)值<4000，年產(chǎn)值>2000）=15.2%+9.6%=24.8%。同時，考慮到表2.4中所有概率和應(yīng)該為1，故應(yīng)對P′（年產(chǎn)值<4000，年產(chǎn)值>2000）除以32.8%做歸一化處理。所以，最終

一般地，通過過濾法計算條件概率P(A|B)的步驟是：

1）在總的樣本數(shù)據(jù)集中計算各個樣本類別的概率，得到總數(shù)據(jù)表；

2）根據(jù)條件概率式中的條件B，將總數(shù)據(jù)表中不符合條件B的數(shù)據(jù)樣本類別刪除，得到樣本子表；

3）在樣本子表中將符合條件A的樣本類別篩選出來，將各個符合條件A的樣本類別在樣本子表中的概率加和，得到初步的條件概率P′(A|B)；

4）樣本子表中所有樣本類別在總數(shù)據(jù)表中的概率的總和假設(shè)為θ，將初步的條件概率P′(A|B)除以θ，即為條件概率P(A|B)。

條件概率在因果推斷分析中非常重要，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)集進行干預(yù)分析、反事實分析或因果關(guān)系概率的計算，都需要進行條件概率的計算，過濾法是上述計算工作的基礎(chǔ)，在后續(xù)內(nèi)容中我們將多次應(yīng)用過濾法進行計算。