1.2.2 多因子模型的數學語言

前面我們提到，股票多因子模型也常被叫作股票Alpha策略，下面我們就來解釋一下這背后的原因。

一只股票的漲跌可以分成兩個部分：股票自身的特性與當時大盤整體的表現。

例如，某一天上證指數上漲1.5%，而上證指數中的股票A上漲1.7%，股票B上漲1.2%，這個時候我們就可以認為，兩只股票自身特性所帶來的收益分別是0.2%（1.7%-1.5%）、-0.3%（1.2%-1.5%），而兩只股票共有的大盤表現就是1.5%。

在上面的例子中，我們將股票的收益率進行了簡單的分解：由股票自身特性所帶來的收益稱為Alpha收益，而歸屬于大盤整體表現的收益，稱之為Beta收益。

當然，Alpha收益和Beta收益都是可正/可負的。通俗來講，所謂的Alpha收益就是跑贏了大盤多少個點。

所以，我們就有下面這個公式：

R_it=Alpha_it+Beta_t

式中，R_it是股票i在t時刻的收益率，Alpha_it為t時刻股票i的Alpha收益率，Beta_t為t時刻的大盤收益率。對于一只股票是如此，對于多只股票的組合也是如此。因為股票組合就是一系列股票的加權組合。

式中，P_t是股票組合的整體收益率，w_it為某一時刻股票組合中股票i的權重，Alpha_it為t時刻股票i的Alpha收益率，Beta_t為t時刻的大盤收益率。整個組合超過大盤的部分就是整個組合的Alpha收益率。

對于Beta收益，也就是大盤的漲跌，投資者可以通過賣空股指期貨的方式進行對沖。即我們可以不考慮大盤的漲跌，只要組合具有正的Alpha收益，那么即使整體收益率是負的，也可以獲得不錯的收益。

例如我們持有某一個股票組合，股票全部來自中證500指數。在某一年的牛市中，我們的組合上漲了55%，中證500指數上漲了53%。那么我們在持有組合的同時，在股指期貨上做空中證500股指期貨，先不考慮升水、貼水等其他交易成本的影響，股指期貨給我們帶來53%的虧損，則最終的收益是55%-53%=2%。這樣我們就剝離出來了Alpha收益。

或許有的讀者覺得2%過少，但是如果我們將場景切換為熊市，市場下跌53%，這個時候只要Alpha收益為正，最后的收益就是正的。

對沖基金的常規做法就是使用多因子模型構建股票組合，然后利用股指期貨做空，獲取Alpha收益。正是因為這樣的操作方法較為常見，所以很多時候股票多因子模型也被叫作Alpha策略或市場中性策略。

當然，股票多因子模型也可以不使用股指期貨做空，而僅利用多因子模型進行股票的選擇和權重的配置，從而對指數收益進行增強。

上面我們僅對股票的收益進行了簡單的分解，將其分為Alpha收益和Beta收益，這也是多因子模型理論框架的起點。

下面我們來簡單了解一下多因子模型的數學公式。

R_it=α_i+β_1if_1t+β_2if_2t+…+β_kif_kt+ξ_it

上面式子對股票收益率的分解更加細化。式中，R_it是股票i在t期的收益率，與之前一致。α_i則代表收益率的常數項，通常這一項數值極小，趨近于零。β_kif_kt是因子k在R_it上的收益率分解。其中，β_ki是股票i在k因子上的敞口，也就是股票的該因子的因子值，f_kt是k因子的因子收益率。所以股票的收益率并不能完全被我們所知道的因子解釋，所以會有一個殘差項ξ_it。