2.3 比特、字節和二進制

“世界上只有10種人，理解二進制的和不理解二進制的。”

數字系統用數值來表示所有信息，但令人驚訝的是，這里使用的卻不是我們熟悉的以10為基數的十進制，而是二進制，也就是以2為基數的數制。

盡管每個人都或多或少地熟悉算術，但根據我的經驗，他們對數字含義的理解有時是不可靠的，至少在以10為基數（完全熟悉）和以2為基數（大多數人都不熟悉）之間進行類比時是這樣。我將在本節中嘗試解決這個問題，但是如果事情令人困惑，就不斷地對自己說：“這就像普通的數字，只不過是逢2進1而不是逢10進1而已。”

2.3.1 比特

表示數字信息的最基本的方法是用比特。正如本章開頭的引語所指出的，單詞“bit”是二進制數字“binary digit”的縮寫，由統計學家約翰·圖基（John Tukey）在20世紀40年代中期創造。據說，被稱為“氫彈之父”的愛德華·特勒更喜歡“bigit”這個詞，可惜這個詞并沒有流行起來。

單詞binary表示有兩個值的東西（前綴bi表示2），事實確實如此：比特是一個數字，它的值是0或1，沒有其他可能。這可以與十進制數字由0～9的10個可能值進行對比。使用單個比特，我們可以編碼或表示涉及從兩個值中挑選其中一個的任何選擇。這樣的二元選擇比比皆是：開/關、真/假、是/否、高/低、進/出、上/下、左/右、北/南、東/西等。一個單位就足以確定選擇了一對中的哪一個。例如，我們可以將0賦值為off，1賦值為on，反之亦然，只要每個人都同意哪個值代表哪個狀態。

圖2.7顯示了我打印機上的電源開關和在許多設備上看到的標準開關符號。它也是Unicode字符。

單個比特就足以表示開/關、真/假和類似的二元選擇，但我們需要一種方法來處理更多選擇或表示更復雜的事物。為此，我們使用一組比特，為0和1的不同可能組合賦值。例如，我們可以使用兩個比特來表示美國大學的四年：大一（00），大二（01），大三（10）和大四（11）。如果要增加一個類別，例如研究生，那么兩個比特是不夠的：會出現五個可能的值，但兩個比特只有四個不同的組合。三個比特就足夠了，然而實際上三個比特可以代表多達八種不同的事物，因此我們還可以算上教師、職員和博士后。組合將是000、001、010、011、100、101、110和111。

有一種模式將比特數與可以用這些數量的比特標記的項數相關聯。關系很簡單：如果有N個比特，則能表示的不同組合數量為2N，即2×2×…×2（N次），如圖2.8所示。

這類似于十進制數字：如果有N個十進制數字，可以表示10N種不同情況，如圖2.9所示。

2.3.2 2的冪和10的冪

由于計算機中的所有東西都是用二進制來處理的，所以像大小和容量這樣的屬性往往用2的冪表示。如果有N個比特，就有2N個可能的值，所以知道2的某個值的冪是很方便的，比如210。

一旦數字變大，它們當然不值得記住。幸運的是，有一個可以很好地近似的捷徑：某些2的冪次值接近于10的冪次值，有一種易于記憶的規則，如圖2.10所示。圖2.10增加了一個描述大小的前綴peta或1015，它的發音像“pet”，而不是“Pete”。本書最后的詞匯表中包含了一個更大的表，里面有更多的單位。

隨著數值的增大，近似值變得更不準確，但在1015時，它也僅高出12.6%，所以在很大范圍內還是可用的。你會發現人們經常模糊2的冪和10的冪之間的區別（有時是朝著有利于他們試圖達到的某個目標的方向），所以1K可能用于表示1000，也可能表示210或1024。這通常是一個很小的區別，所以采用2和10的冪是對包含比特的大數進行心算的好方法。

2.3.3 二進制數值

如果按照通常的進位法則來解釋，那么一系列比特就可以表示一個數值，只不過此時的基數是2，而不是10。0～9的10位數字，足以給最多10個條目分配標簽。如果數量超過10，則必須使用更多位數字，比如兩位十進制數字可以表示的數值或標簽能達到100個，即00～99。多于100項的時候，就要用三位數字，其表示的范圍是1000，即000～999。對于普通的數字，我們通常不會寫出數值前導的零，但這些零是隱含的。另外，我們平時計數也是從1而非0開始的。

十進位數是10的冪的和的簡寫；例如，1867是1×103+8×102+6×101+7×100，也就是1×1000+8×100+6×10+7×1，即1000+800+60+7。在小學里，你可能稱這些為個位數，十位數，百位數等。這些我們是如此熟悉，以至于我們很少去想它。

二進制數也是一樣的，除了基數是2而不是10，以及所涉及的數字只有0和1。像11101這樣的二進制數被解釋為1×24+1×23+1×22+0×21+1×20，我們以10為基數表示為16+8+4+0+1，或29。

比特序列可以被解釋為數值，這意味著有一種自然的模式給條目分配二進制標簽：將它們按數值順序排列。前面我們看到了為大一、大二、大三、大四學生分配的標簽00、01、10、11，它們分別是十進制數值的0、1、2、3。接下來的序列是000、001、010、011、100、101、110、111，也就是十進制數值0～7。

下面我們做個練習，看你理解了多少。我們都很熟悉用手指數到10，但是如果你用手指（每個手指為一個數位！）代表一個二進制數，最多能數到多少？值的范圍有多大？如果你數到6時發現它的二進制表示是一個似曾相識的手勢，那說明我前面講的你都理解了。

前面我們都看到了，把二進制轉換成十進制很容易：只要把相應位置上值為1的2的對應次冪加起來即可。而把十進制轉換成二進制要難一些，但也不會難太多。反復地用2除十進制數。每次除完，把余數寫下來，余數要么是0，要么是1，然后再用2除商。這樣反復除下去，直到原來的數被除到等于0。最后得到的余數的序列，就是相應的二進制數，但順序相反，所以最后要將其倒轉。

舉例說明，圖2.11表示了將十進制數1 867轉換成二進制數的過程。反向讀取這些位，能得到111 0100 1011，把相應位上為1的2的對應次冪加起來可以驗算：1024+512+256+64+8+2+1=1867。

整個過程的每一步都會產生剩余數值的最低有效位（即最右邊的位）。其實，把一個很大秒數表示的時間轉換成日、時、分、秒的過程與此類似：除以60得到分鐘（余數是秒），結果除以60得到小時（余數是分鐘），結果再除以24得到天數（余數是小時）。區別在于時間轉換使用了不止一個基數，而是混合使用了60和24。

你也可以按照降冪的順序通過從原來的數字中逐個減去2的冪來將十進制轉換為二進制。從小于此數的2的最高次冪開始，比如從1867中減去210。每減去2的一個冪，就寫1，如果2的冪大于剩下的值，就寫0，就像在上面這個例子中27或者128的情況。最終得到的由“1”和“0”組成的序列就是二進制值。這種方法可能更直觀，但不那么機械化。

二進制算術很簡單，因為總共才兩個數字，加法和乘法表都只有兩行兩列，如圖2.12所示。雖然你將來不太可能自己動手做二進制算術，但這兩個表的簡單性其實也說明了為什么相對于十進制算術，執行二進制計算的計算機電路要簡單得多。

2.3.4 字節

在所有現代計算機中，處理和存儲組織的基本單位是作為一個單位來處理的8個比特。一組8個比特被稱為1個字節，這個詞是由IBM的計算機架構師沃納·布赫霍爾茲在1956年創造的。1個字節可以編碼256個不同的值（28，8個0和1的所有不同組合），可以是0到255之間的整數，或7位ASCII字符集中的一個字符（有1個多余的位），或其他東西。通常，1個特定的字節是更大的字節組的一部分，這個字節組代表了一個更大或更復雜的事物。2個字節加起來提供16比特，足以表示0～216-1（或65535）之間的一個數字。這也可以表述Unicode字符表中的任意字符，也許是

這兩個字符中的其中一個；每個字符占2個字節。4個字節是32比特，這可能代表4個ASCII字符，或者2個Unicode字符，或者不大于232-1（約43億）的一個整數。一組字節能表示的內容不受限制，然而處理器本身定義了適當的特定分組，例如大小不同的整數，并且有處理這些分組的指令。

如果我們想記下一個或多個字節所代表的數值，我們可以用十進制形式表示。它本身就是數字，這對于人類讀者來說很方便。我們可以把它寫成二進制來查看單個的位，尤其是如果不同的位編碼不同種類的信息，這就很重要。但是，二進制很笨重，比十進制長三倍多，所以通常使用一種稱為十六進制的替代記數法。十六進制以16為基數，所以它有16個數字（就像十進制有10個數位，二進制有2個數位），這些數字是0、1、…、9、A、B、C、D、E和F。每個十六進制數字代表4個位，圖2.13用十六進制表示這些數值。

除非你是程序員，否則你只會在少數地方看到十六進制。其中之一是網頁顏色。之前提過，計算機中色彩的最通常的表示方式是使用3個字節來表示一個像素，分別代表紅、綠和藍的量，這稱為RGB編碼。每個組成都存儲在1個字節中，所以紅色、綠色和藍色的值各有256種可能，總共就是256×256×256種顏色，聽上去很多。我們可以用2和10的冪來快速估計下到底有多少種。也就是28×28×28，即224，或是22×220，或是16×106，或者說1600萬。你大概看到過用來描述計算機顯示器的數字：“超過1600萬種顏色！”這個估算其實比實際低了百分之五，224的實際數值為16777216。

強烈的紅色像素將被表示為FF0000，即紅色為十進制最大數255，沒有綠色，沒有藍色。而明亮但不強烈的藍色，就像許多網頁上的鏈接的顏色，將是0000CC。黃色是紅色加綠色，所以FFFF00可得到最亮的黃色，灰色的陰影有著等量的紅色、綠色和藍色，所以中等灰色像素為808080，也就是等量的紅綠藍。黑和白則分別是000000和FFFFFF。

十六進制值也用于Unicode編碼表以標識字符：

的十六進制編碼是67714EAC。第8章將會介紹用十六進制數表示的以太網地址，第10章會討論用十六進制數表示URL中的特殊字符。

有時候你會在計算機廣告中看到“64位”這個詞（“Windows10家庭版64位”），這是什么意思呢？計算機內部是以不同大小的塊處理數據的，這些塊包含數值，這些數值用32位和64位表示比較方便。地址也是如此，也就是主存中信息的存儲位置。前面提到的64位即指地址這個屬性。30年前地址從16位升級到了32位，這樣就足夠訪問4GB的內存了。現在，通用計算機從32位到64位的過渡也幾乎完成了。我不會試圖預測從64位到128位的過渡何時會發生，但64位應該會持續一段時間。

在所有這些關于比特和字節的討論中，要記住的關鍵是一組比特的意義取決于它們的上下文，單獨看它們自身數據是不知道其含義的。1個字節可以只用1個比特來表示真或假，另外7個空閑不用，也可以用來保存一個較小的整數，或者一個#之類的ASCII字符。它還可能是另一個書寫系統中的一個字符的一部分，也可能是一個2字節、4字節或8字節的更大數字的一部分，或者是一幅畫或一段音樂的一部分，甚至是供CPU執行的一條指令的一部分，還有很多其他的可能（這和十進制數的情況是一樣的。根據具體情況，一個3比特十進制數可以代表美國地區代碼、高速公路號碼、棒球擊球率或許多其他東西）。

一個程序的指令有時是另一個程序的數據。當你下載程序或手機應用時，它只是數據：一些被盲目復制的比特。但是當你運行這些程序時，處理器在處理時它們的比特就被當作指令處理。