1.3 標量場的梯度

1.3.1 標量場的等值面

對于區域V中的任意一點，如果?（r，t）都有確定值與之對應，就稱這個標量函數?（r，t）是定義于V上的標量場。標量場?（r，t）在某時刻的空間分布可用等值面予以形象描繪。它是該時刻?（r）所有相同值的點構成的空間曲面。例如，在直角坐標系中，?（r）的等值面方程為

式中，C為常數。我們所熟知的等高線所在的平面就是等值面，這在地形圖中使用廣泛。

1.3.2 方向導數與梯度

下面介紹在給定時間情況下描述標量場空間變化率的方法。如圖1.3-1所示，分別給出?和?+Δ?兩個常數，其中Δ?為?的增量。在?面上有點P，沿其法線方向（）在?+Δ?面上有點P₁，沿另一任意方向（）在?+Δ?面上有點P₂。對于同樣的增量d?，很顯然，沿法向的空間變化率d?/dn最大。可見，空間變化率d?/dl的大小取決于dl的方向，因此d?/dl稱為方向導數。

按照復合函數求導法則，方向導數可表示為

下面定義一個矢量，其大小為標量場函數?在P點的方向導數的最大值，其方向是取得最大方向導數的方向，這個矢量稱為標量場函數在該點的梯度，用grad?表示。

為簡潔起見，引入哈密頓算符▽，其表達式可寫成

因此，通過比較式（1.3-2）和式（1.3-3），可得方向導數與梯度的關系：

在廣義正交曲面坐標系中，式（1.3-4）也可以寫成

式中，。而P點到P₂點所產生的?的全微分可表示為三個分量的增量，即

因此，上式也可表示為兩個矢量的點積：

比較式（1.3-5）和式（1.3-6），得，即

可以看出，哈密頓算符▽在廣義坐標系中的一般形式可以寫為

在直角坐標系中，拉梅系數為{1，1，1}，因此

代入圓柱坐標系的拉梅系數{1，ρ，1}和球坐標系的拉梅系數{1，r，r sinθ}，可得

例1.3-1 求標量場?=x2-xy2+z2在點P（2，1，0）處的最大變化率值與其方向，以及沿方向的方向導數。

解：由題意可得

在P點有

最大變化率為

最大變化率方向為

方向導數為

可見，在標量場中，?在該方向上的變化率小于最大變化率。

例1.3-2 求曲面z=x2+y2在點P（1，1，0）處的法向。

解：令?=x2+y2-z，曲面z=x2+y2是標量場?=0的等值面，則有

在P點有

因此，曲面在P點的法向為。

例1.3-3 參看圖1.3-2，場點P（x，y，z）和源點P′（x′，y′，z′）間的距離為R。試證：①；②；③。這里▽′表示對源點坐標（x′，y′，z′）做微分運算（將P取為定點，P'為動點），。

證明：

R=[（x-x′）2+（y-y′）2+（z-z′）2]1/2

①

即

②

即

③

即

同理，可得，因此