緒論

定義

定義1

物質的量可根據物質的密度和體積算出。

想得到4倍物質的量的空氣，需要將空氣的密度和容納的空間各提升1倍；想得到6倍物質的量的空氣，容納的空間則需要擴大2倍。任何可通過壓縮或液化而凝固的物體，比如雪、微塵或粉末等，都可以用這樣的計算方法。

或許有一種神奇的介質，能夠暢行于物體各部分間的縫隙中，在這里我不對這種介質進行過多考慮。回歸正題，我所說的物體或物質的量就是這個量，這個定義涵蓋所有物質的質量。通過鐘擺實驗，可發現物質的量與其質量是成正比的，這個實驗會在后文中詳細介紹。

定義2

運動的量可根據物體的速度和物體的量算出。

物體各部分運動的總和為整個物體的運動的量。當速度不變，物體的量提升1倍時，得到的運動的量是原先的2倍。如果運動的量為原先的4倍，那么速度則需要提升2倍。

定義3

物質固有的力（vis insita）為抵抗作用力，可以使物體保持靜止狀態，或是保持物體作勻速向前運動的狀態。

與物體的慣性相同，物質固有的力與物體的自身成一定的比例。每一種物質都存在慣性，所以改變物體靜止或運動的狀態有一定的困難。因此，物質固有的力，也可被稱為“慣性力”。固有的力發揮作用有一個前提，就是物體需要有外力加持，并想要改變其自身的狀態。

站在不同的角度看待固有的力，會發現它既是推動力，也是阻力。詳細點說，當物體不屈服于外力作用，但外力又想改變物體的狀態時，固有的力為推動力；當物體保持自身狀態抵抗外力時，固有的力則為阻力。

一般情況下，推動力屬于運動物體，而阻力屬于靜止物體。不過，無論是運動，還是靜止，人們很難對此有一個明確的區分。因為很多時候，我們所認為的靜止的物體，并不是真正處在靜止狀態之中。

定義4

物體受外力作用的目的，在于改變物體保持靜止或保持勻速向前運動的狀態。

外力的來源多種多樣，常見的外力有拍打、推拉等。外力只存在于作用中，它會隨著作用的結束而消失。這是因為，慣性力會保持物體的新狀態。

定義5

向心力是使物體指向中心點的作用力，可以由吸引、排斥或摩擦等任何一力產生。

重力屬于向心力，促使物體傾向于地球中心；磁力也屬于向心力，使物體傾向于磁場中心；還有牽引行星圍繞著恒星運轉的力，也屬于向心力。

在投石器上系上石塊，旋轉投石器時，石塊也會產生一種張緊的力。旋轉得越快，張緊力就越大。旋轉的同時會產生一種反抗張緊力的力，把石塊不斷拉向投石器，使石頭不斷在環形軌道運行，這種反抗的力也屬于向心力。

所有沿著環形軌道運行的物體都會產生向心力，既企圖離開軌道，又受到向心力牽引，因為向心力與企圖離開的力相對抗，在軌道上保持運動的狀態。一個被拋射的物體，因為有引力牽引才能落在地球上，而不是直線飛向天空；又因為阻力的作用，物體不能做勻速運動。同時，正是因為有引力的牽引，物體才傾向地球偏轉，而偏轉的強弱，取決于物體的運動速度和引力的大小。引力越小，物質的量越小，或運動的速度越快，物體偏離直線軌道的幅度越小，偏離地球越強，物體飛得越遠。

假設在山頂發射鉛彈，設定某一速度值，發射方向與地面平行，鉛彈將沿著曲線運動，落在距離山頂2英里1的地面。如果不計空氣阻力，把發射速度加倍，那鉛彈運動的量也會加倍，發射速度加到10倍，鉛彈運動的量也會加到10倍。可以得出結論，只要增加鉛彈運動的速度，就可以增加鉛彈運動的量，減輕它運行軌道的弧度。或許只要運動速度夠快，鉛彈就可以飛行得足夠遠，落到經度10°、30°或90°的位置，甚至環繞地球一圈再落地，更甚者直接飛離地球，飛向外太空，保持無限運動的狀態。根據這個原理，拋射物在向心力的作用下可以環繞地球沿著某個軌道進行運動。

月球環繞地球的運動是同樣的道理。月球被引力或某種力牽扯，把這種力拉向地球，偏離原本慣性力所遵循的直線軌道。如果沒有這種引力，月球就無法環繞地球做環形運動。而且這個力必須是適當的量，若是太小，月球就不能做曲線運動，若是太大，月球就會被拉向地球。總之，這個力無論是太大還是太小，月球都無法沿著原本的環形軌道運動。至于這個力的量、特定的位置、拋射的物體以及特性力的曲線路徑，都需要數學家經過精密地計算才能得知。

可以說，任何一個向心力都有三種量，即絕對度量、加速度度量、運動度量。

定義6

向心力的絕對度量，與物體通過中心向四周傳遞的力的效果成正比。

因此，一塊磁石對另一塊磁石所產生的磁力大小，取決于其尺寸和強度。

定義7

向心力的加速度度量，與物體特定時間內所產生的速度成正比。

因此，同一塊磁石，距離越近，向心力越大；距離越遠，向心力越小。同一物體在山谷里的重力大，在山頂上的重力小。物體距離地球越遠，重力就越小，距離地球越近，重力就越大。但是物體距離地面距離相等時，在不同地點產生的重力是相等的。因為如果不計空氣阻力，不管物體的大小、輕重是多少，下落的加速度都相等，所以重力也相等。

定義8

向心力的運動度量，與特定時間內所產生的運動成正比。

因此，物體越大，重量越大；相反，物體越小，重量越小。同一物體距離地球越近，重量就越大，距離地球越遠，重量就越小。這種量就是向心力，是整個物體對中心的傾向，我稱它為重力。重力的量值總是和阻止物質下落的力正好相等，因此人們才對它有所了解。

為了方便，我們可以把力的這三種量稱為運動力、加速力和絕對力。運動力作用于物體的中心，加速力作用于物體的不同地方，絕對力作用于力所傾向的中心。也就是說，運動力作用于物體，由物體的各個部分組成的，整體向中心傾向的一種合成力。加速力作用于物體的不同地方，是一種由中心向四周擴散的，促使物體運動的力。絕對力作用于力的中心，是運動力向四周傳播的前提和基礎。如果沒有絕對力，運動力就不可能向四周傳播。絕對力可能源于處于磁力中心的磁石，也可能源于位于重力中心的地球，或其他不知名的某個中心物體。這個概念只限于數學表述，因為我現在所講述的不涉及物體根源和力的物理學原因。

因為運動的量等于速度和物質的量的結合，運動力等于加速力和物質的量的結合。所以，加速力與運動力的關系，就如同速度和運動的關系。運動力的量，就是作用于物體的每個部分的加速力的總和。因此，在地球表面，所有物體的重力加速度或重力所產生的力是相同的，重力的運動力或重力也與物體相同。同樣的道理，如果物體逐漸離開地球表面，重力的加速度減小，重力也減少，那么其重力減少的量則是重力加速度和重力的乘積。比如，重力加速度減少一半，物體質量就是原來的二分之一或三分之一，那么其重力就會是原來的四分之一或六分之一。

我這里談到的吸引和排斥，與加速力和運動力是一樣的，并未做任何區分。因為這些概念只是從數學上考慮，而不是從物理上研究的。因此，讀者不要望文生義，把這里的概念和物理學上的概念相混淆，也不要以為我談到的吸引就是物理學上引力，或者認為我說的某種運動以及運動的方式、原因就是真實的、物理上的概念。

附錄

在這里我已經對那些鮮為人知的概念進行了定義，解釋了它們的意義，以便讀者了解和理解。對于時間、空間、處所、運動這些概念，我并未作具體解釋，因為人們都了解它們。不過需要說明一點，一般人可能無法真正準確地感知和領悟這些概念，甚至可能會誤解它們。為了消除人們的誤解，我將這些量分為絕對的與相對的、真實的與表象的、數學的與普通的。

1.絕對的、數學的、真實的時間，它具有獨特的特征，均勻地流逝，是延續不變的，與一切外在事物無關。而相對的、普通的、表象的時間，是可以被感知的，是對絕對時間的一種度量。通常，后者可以被用來代替真實的時間，比如一小時、一天、一月、一年等。

2.絕對的空間，自身是均勻的、持續的，永不運動，與一切外物無關。相對的空間，是對絕對空間的一種度量，或是絕對空間的移動尺度，表現為它自身與物體間的相對位置。相對空間一般不可移動，比如地表以下的空間、大氣中的空間、天空中的空間等，都是體現自身與地球的相對關系。不管是在形狀還是大小上，絕對空間和相對空間都是相同，但是在數值上卻存在不同。

比如，假設地球運動時，大氣中的空間是相對的，且相對于地球是不變的。但是對于絕對空間來說并非如此，它在這一刻是這一部分空間，在另一刻則變成另一部分空間。可以說，在地球運動時，它在絕對空間中是不斷變化的。

3.處所是空間的一部分，即物體占據的那部分空間，空間的性質決定了它是絕對的還是相對的。當然，這一部分空間不是物體所在的位置，也不是物體的外表面。因為相等的物體，處所是相等的，但其表面因為外形不同而不同。嚴格來說，位置不能度量，它只是處所的屬性，并不是處所本身。

物體整體的運動的量等于各部分運動的量的總和。也就是說，物體的整體離開處所的距離等于各部分離開處所的距離的總和。因此，物體整體占據的空間等于各部分占據空間的總和。也就是說，處所是內在的屬性，處于整個物體的內部而不是外表面。

4.絕對運動，是物體由一個絕對處所運動到另一個絕對處所。相對運功，是物體由一個相對處所運動到另一個相對處所。舉個例子，一艘航行的船只，里面的物體的相對處所是所占據的船只的那部分空間，或是在船艙內填充的那一部分空間。物體和船只是共同運動的。而相對于船只來說，物體持續停留在船只上，又是相對靜止的。

但是，絕對靜止是物體停留在一個始終不動的空間，這個空間持續存在，存在于這一空間的船、船艙、物體共同運動。所以，假設地球是真正靜止的，物體相對于船只也是靜止的，那么物體相對于地球作絕對運動，速度和船在地球上的真實速度相同。假設地球是運動的，那么物體也將作真實的絕對的運動，這運動一部分來自地球在不動空間的運動，一部分來自船只相對于地球的運動。假設物體也在船只上運動，那么它真實的絕對的運動一部分來自地球在不動空間的運動，一部分來自船只相對于地球的運動，還有一部分是自身相對于船只的運動。可以說，物體相對于地球的運動，是由這些相對運動決定的。

假設，船只所處的地球空間，以10010等分的速度真實地向東運動，船只則以10等分的速度向西航行，船上的水手以1等分的速度向東運動。那么，可以得出水手在不動空間中向東作真實的絕對的運動，速度為10001等分，在地球上向西做相對運動，速度為9等分。

在天文學中，絕對時間和相對時間通常通過表象的時間差來區分。因為自然日并不相等，科學家為了度量時間，以便用更精確的時間測量天體運動，因此糾正了這種不相等性。所有運動都是加速或減速的，等速運動或勻速運動是不存在的，也無法用精確時間來測定。無論事物的運動是快、慢還是停止，都是延續不變的存在，絕對時間的流逝也不可改變。因此，這種延續性應該和可被感知的、表象的時間區分開，而且可以根據天文學的時差進行推算。這種時差的存在非常有必要，并且可以在某種現象的時間測定中顯示出來，如擺鐘實驗、測定木星衛星的食虧。

時間間隔的順序是不可改變的，同樣，空間部分的次序也不可改變。假設空間的一些部分被移出自身，那么它就不屬于該空間了。因為時間和空間是且始終是它自己以及所有物質的處所。事物被置于時間中，才能表現其在時間的順序；事物被置于空間中，才能凸顯其在空間的位置。在本質上來說，時間和空間就是處所，所以事物的處所是不可能移動的。因此，這些處所是絕對的，離開這些絕對處所的運動是絕對的運動。

但是，這一部分絕對空間是我們看不見的，也無法用感官把其與其他部分空間區分開，所以我們用可以感知的空間來代替和測量它。為了簡便起見，我們用事物離開某個我們認為的不動物體的位置和距離，來定義事物的處所，然后用物體從某一處所移動到另一處所的相對運動來定義事物的運動。

這樣一來，相對處所和相對運動就可以替代絕地處所和絕對運動，以解決日常生活中各種問題。但是從哲學領域來講，我們應該從感官抽象角度出發，思考事物自身的特性，把其與以感知測量的表象區分開。因為有事物處所、運動的參照和對比，所以真正靜止的物體是不存在的。

但是，我們可以根據事物的自身屬性、原因、效果把事物和事物的相對運動與絕對運動、相對靜止與絕對靜止區分開。靜止的屬性是真實的，即真正靜止的物體相對于另一靜止物體也是靜止的。因此，或許在恒星世界或更遙遠的地方，絕對靜止的事物是存在的，但是在我們的世界內絕對靜止的事物是不存在的。我們不能確定物體間、物體與遙遠距離外的物體之間是否保持著恒久的位置不變。

運動的屬性，即物體的部分一直維持在物體中的位置，并且參與物體整體的運動。物體在轉動時，所有部分都有離開轉動軸的傾向，而物體因為推動力向前運動時，整體推動力的量是所有部分的推動力的量的總和。所以，處于外圍的物體運動，處于內部的物體也參與運動。

由此說明，物體真正的絕對的運動，不在于它本身是否發生移動，而在于它外部的物體是否運動。反過來說，所有被某一物體包含內在的物體，除了離開周圍的物體的移動外，還參與真正的運動。即便它沒有運動，也只是看起來靜止而已，不是真正的靜止。因為周圍物體與包含在內的物體的關系，如同一個整體外表的部分和內在的部分的關系，就像果殼和果仁。假設果殼運動，則果仁作為整體的一部分也運動，而它相對于果殼來說是靜止的，并且進行運動。

這里還有一個與上述運動有關的特性，即如果處所移動了，其中的物體也隨之移動。當物體移出處所時，它也參與了所在處所的運動。所以，一切移出處所的運動，都只是整體運動和絕對運動的一部分。同時，物體的移動和所在所處的移動構成了這一整體的運動，直到物體移動到一個不可移動的處所，整體運動才結束。比如船只航行的例子就是如此。所以，除了靜止場所外，整體運動和絕對運動不能被確定。這也是為什么我之前把靜止處所與絕對運動、相對處所和相對運動聯系起來。除了那些從無限到無限的事物外，沒有完全靜止的處所，那些無限運動的物質始終保持相對的、始終不變的、特定空間的靜止，從而構成靜止的空間。

真實運動和相對運動不同，是因為施加于物體上的力不同。沒有施加在物體上的力，不會產生真實的運動，也不會使運動發生改變。而即使沒有施加在物體上的力，相對運動也會產生和發生改變，只要對與其進行比較的物體施加一個力就可以了。因為與之相關的其他物體發生運動，促使它們之前存在的相對靜止或運動的關系發生改變，那么在這個關系中這個物體便發生了相對的靜止或運動。或者，某種力施加于運動的物體上，真實運動也會發生改變，但相對運動未必發生改變。因為在其他物體上施加相同的力，它們的相對位置可能保持不變，進而相對運動也保持不變。所以，當真實運動不變時，相對運動可能會改變；真實運動發生改變時，相對運動可能保持不變。因此，在這種情況下，真實運動絕對不會產生。

絕對運動和相對運動，可以依據脫離旋轉軸的力來進行區分。純粹的相對運動中是不存在這種力的，但是它卻存在于真正的絕對運動之中，其大小取決于運動的量。假設把一個水桶掛在長繩的一端，不斷旋轉水桶，促使長繩不斷被擰緊，之后再把水桶灌滿水，讓水桶和水保持靜止。然后，對水桶和水施加一個反向旋轉的力，這時長繩會逐漸松開，水桶會持續運動一段時間。

水桶未運動時，水面是靜止的，但水桶運動起來時，這個旋轉力會傳遞給水，促使水也隨之旋轉，逐漸脫離中心點，向水桶壁上升，形成一個漩渦。同時，水桶旋轉越快，水上升得越高，最后和水桶一起旋轉到最大值，水和水桶形成相對的靜止狀態。水的上升說明它有脫離旋轉軸的傾向，這促使水的絕對運動和相對運動產生矛盾，不過這種矛盾是可以衡量的。

一開始，水沒有真正隨之旋轉，相對運動達到最大值，沒有脫離旋轉軸的傾向，水面保持靜止，也沒有旋轉和上升的現象。之后，相對運動逐漸減弱，水開始逐漸脫離旋轉軸，出現旋轉和上升的傾向。水的真正旋轉持續加強，達到最大值時，水和水桶達到相對靜止的狀態。因此，水的這種傾向不是由水和其周圍的物體決定的，這種移動也無法被定義為真正的旋轉。

任何一個旋轉物體只存在一個真正的旋轉運動，也只和促使它脫離旋轉軸的力有關，這是一個恰當而獨特的結果。同一個物體內和外界物體存在著各種各樣的關系，所以其相對運動也數不勝數。但是，除非它們參與了真正的唯一的真實運動，否則都是沒有真實效果的。

因此，我們可以這樣理解天體世界：我們的天空和行星圍繞著恒星旋轉，天空的一部分空間是靜止的，行星和天空也是相對靜止的。不過，它們存在著真實的運動。因為它們不斷變換著位置，而真正靜止的物體則絕不會變換位置。同時，它們所在的處所也在運動，是旋轉運動的一部分，并且有努力脫離旋轉軸的傾向。

所以，相對的量并非人們所認為的量的本身，而是一種可感知的量，可能是精確的，也可能是不精確的。這些相對的量，被人們用來替代那些本身的量。如果我們根據這些詞的用途來為它定義，那么對于時間、空間、處所和運動的度量的解釋就是正確的。可是如果度量的量代表本身，那么這些詞的表述就不同尋常了，而是具有純粹的數學意義。

原本這些詞言簡意賅，只是被一些人誤解了。甚至，有些人混淆了真實的量和可感知的度量，玷污了數學和哲學真理的純潔性。

我們要真正認識特定物體的真實運動，并區分真實的運動和表象的運動是一件并不少容易的事情。因為單憑我們的感官無法真正感知運動中靜止空間的那一部分。不過，這也不是絕不可能，因為有一些理論可以給我們適當的指導：一是表象運動，它和真實運動存在著不同；二是力，力是產生真實運動的原因，也是真實運動導致的結果。

比如，把兩個球拴在一根細繩上，使兩球始終保持一定的距離，然后讓它們圍繞著共同的重心旋轉。根據細繩的張力，可以得出兩球有脫離旋轉軸的傾向，還可以得出其旋轉的量。如果在兩球施加一個相同的力，增加或減少其旋轉量，那么根據細繩張力的加強或減弱，便可以計算出運動增加或減少的量。同時，我們還可以發現把這個力施加在球的哪個位置，可以促使其運動量達到最大值。也就是說，知道旋轉運動中后面的一面，以及相對應的一面，就可以知道球運動的方向。

所以，知道這種旋轉運動的量和方向，即便處于一個巨大的真空中，沒有任何可以感知的外界物體進行對比，也能知道物體的運動量。如果在這個巨大的真空中，有一些遙遠的物體，像恒星一樣相互間保持相對的位置不變，那么我們就無法判定是球在運動還是物體在運動。但是，若是我們觀察繩子，發現繩子的張力和球運動的量相同，便可以得出結論：球在運動，而物體是靜止的。最后，我們根據球在物體間的運動，可以判斷出它們運動的方向。

至于如何根據原因、成效和表象差異來判定真實的運動，以及如何進行反向推理，根據真實的或表象的運動來判定它們的原因和成效，在之后的章節我會進行具體闡述和說明。而這也是我寫本書的目的。

運動的公理或定律

定律1

除非受到外力作用，每一個物體都將保持靜止或勻速直線運動的狀態，永遠不會改變其原有狀態。

物體被拋射出去后將一直維持其自身運動，只有在空氣阻力或重力的牽引才會改變其運動狀態。如果不計空氣阻力，一個旋轉的物體將不停地旋轉，并且在向心力作用下不斷偏離直線運動。一些體積足夠大的物體，比如行星、彗星，在阻力較小的自由空間中，可以長時間保持其向前的圓周運動。

定律2

物體受外力作用后，將沿著外力的直線方向發生變化，且變化和所受外力成正比。

如果施加于某物體的某種力產生運動，那么施加的力加倍，運動也加倍；施加的力是原來的3倍，運動也是原來的3倍，不論這力是一次性施加的還是逐次施加的。而且運動總是和力的方向相同，如果物體原本處于運動狀態，那么應該加上或減去原本的運動，這取決于施加力的方向是否與原本運動的方向一致。如果施加力的方向是傾斜的，與原本的運動方向有一個夾角，那么會形成一個新的復合運動使得運動方向也發生傾斜。

定律3

作用和反作用總是同時存在且相等，或者兩個物體間的作用和反作用總是相等，并且方向相反。

任何一個物體壓或拉另一個物體，同時也會受到另一個物體同等的壓或拉。比如用手指壓一塊石頭，手指也同樣受到石頭的壓。再比如馬拉一塊系在繩索上的石頭，則馬也同樣被拉向石頭。因為被拉緊的繩索為了舒展自身會把石頭拉向馬，也把馬拉向石頭；繩索阻礙馬前進的力和推動石頭前進的作用是相等的。

如果一個物體撞擊另一個物體并且促使其運動發生改變，那么該物體的運動也發生同等的改變，但兩者的變化方向相反。如果不受到其他任何阻礙，這些作用產生的變化相等，但只是運動本身的變化，不是速度的變化。因為運動的變化是相等的，所以速度的變化與物體成反比，其變化發生在相反方向上。這個定律也適用于吸引力，下面我在附錄中將詳細分析說明。

推論Ⅰ

一個物體同時受兩個力作用，其運動將沿著平行四邊形對角線的方向進行，所用時間和兩個力分別沿著兩個邊運動的時間相等。（圖0-1）

如果一個物體在給定時間內在力M的作用下，以勻速運動從點A向點B地運動；如果在力N的作用下，以勻速運動從點A向點C運動。若是這個物體同時受到力M和力N的作用，那么它將以勻速運動沿著所作平行四邊形ABDC的對角線AD運動。

因為力N沿著AC方向作用，且AC與BD平行，根據定律2得出這個力將不會改變物體所受的力M的速度，所以不管是否施加力N，物體都將在相等的時間內到達BD的某一點。同理，物體將在相等時間內到達CD的某一點。因此物體必然運動到兩條線的相交點，即D點。同時根據第1定律，物體將以勻速運動由點A運動到點D。

推論Ⅱ

任何兩個傾斜的力AB、BD可以合成一個直線力AD；任何兩個傾斜力AC、CD可以合成一個直線力AD。相反，任何一個直線力也可以分解成兩個傾斜力AB、BD，或者AC、CD。這種力的合成和分解已經在力學上得到充分的證實。（圖0-2）

假設經過任意輪子的中心O，作兩個不同的半徑OM、ON，再用繩索MA、NP懸掛重物A、P，那么重物A、P的重力與使輪子運動的作用力相等。經點O向MA作垂直線OK，與MA相交于點K，經點O向NP作垂直線OL，與NP相交于點L；再取OK、OL中較長的線段（OL較長），以它為半徑以點O為圓心做一個圓，與繩索MA相交于點D；連接OD，再作OD的平行線AC，AC的垂直線DC。

因為繩索上的點K、L、D是否位于輪子上已經無關緊要，重物懸掛在點K、L或D、L的效果都一樣。假設線段AD為重物A的重力，把它分解成力AC和CD，且力AC的方向與OD的方向相同，所以它不會對輪子起到任何作用。但是因為另一個力DC的方向與OD的方向垂直，所以它對于輪子的作用等同于半徑OL，因為OD與OL相等。也就是說，力DC的作用與重物P是相同的。如果P∶A＝DC∶DA，且三角形ADC和三角形DOK相似，那么，DC∶DA＝OK∶OD＝OK∶OL。得出，P∶A＝OK∶OL。所以半徑OK、OL處于同一直線上，且作用效果相同，即兩者處于一個平衡狀態，這就是天平、杠桿、輪子的屬性。如果該關系中任意一個力增大，那么作用于輪子的力也會增大。

但是如果重物p與P相等，卻處于一個傾斜平面pG上，同時用繩索pN懸掛著。作直線pH、NH分別垂直于地平線和傾斜面pG，如果用直線pH表示重物p所受的向下力，那么這個力可以分解為pN和NH。

如果有一個垂直于繩索pN的傾斜面pQ，與另一傾斜面pG相交，那么重物p同時受力在pQ和pG上，垂直壓在平面pQ上的力為pN，垂直壓在平面pG上的力為NH。假設把平面pQ撤掉，那么重物p將被繩索拉住，因為繩索取代了平面pQ，所以繩索受到的張力與平面所受的壓力pN相等。即張力之比pN∶PN＝線段之比pN∶pH。

因此，如果重物p與A的比值，是由輪子中心到線段pN和AM的最小距離的反比與pH和pN的比值的乘積，那么重物p與A對于輪子轉動具有相等的作用，且兩者相互維持和遏制。這已經得到了很多人的證實。

因為重物p壓在兩個傾斜面上，所以可以把它看成被劈開的兩個物體間的一個楔子，由此可以確定楔子和槌子的力。因為重物p壓在平面pQ的力與線段pH的方向相同，所以不管是它的自身重力還是槌子的作用力，它推向平面pQ的壓力比為pN∶pH，它推向另一個平面pG的壓力比為pN∶NH。

同理，我們可以把螺旋的力進行分解，它就是由杠桿力推動的楔子。所以，這個推論適用范圍非常廣泛，其正確性和真實性已經得到了進一步論證。因為整個所有力學準則已經被學者們用不同的方式方法進行了驗證，所以我們很容易推出各種機械力，比如輪子、滑輪、杠桿、繩子等構成的機械力，直接傾斜上升的重物的力，還有動物運動的骨骼的肌肉力。

推論Ⅲ

物體運動的量由同方向運動的和，或不同方向運動的差組成，不因物體之間的作用而改變。

根據定律3，作用和反作用的量相等，方向卻相反。而根據定律2，它們在運動上的變化也相等，且方向相反。所以如果物體運動的方向是相同的，那么前面物體的運動量增加了多少，后面物體的運動量就減少多少，保持運動總量的前后相等。如果兩個物體運動的方向是相反的，那么兩者的運動減少量是相同的，和向相反方向運動的差值保持相等。

假設有兩個球A、B做直線運動，A是B的3倍，A的運動速度為2，B的運動速度為10，且兩者做同向運動，可以得出，A的運動量比B的運動量等于6∶10。假設A和B的運動量分為6和10，那么總量為16。因此當兩物體相遇時，如果A得到的運動量分為3、4、5，那么相應的是B就會減去3、4、5。即碰撞后，A的運動量為9、10、11，而B的運動量為7、6、5，兩者的運動總量仍為16。

如果A得到的運動量為9、10、11、12，那么碰撞后得到的運動量則變為15、16、17、18，相應的是B失去的量與A得到的一樣多，所以運動量則減少到1或0。B的運動量變為0后，會處于靜止狀態，但是它不會持續靜止。隨著運動量的持續失去，B會繼續運動下去，并且會向回運動1或2個量。

兩個物體的運動總量仍為16，同向運動的和為15+1、16+0，而相反運動的差則為17-1、18-2，保持與碰撞前相同的總量。因為兩物體相撞后和相撞前的速度的比值與相對應的運動的比值相等，所以若是相撞前后物體的運動量是已知的，某一物體相撞前的速度也已知，那么就可得出相撞后的速度。反之亦然。

以上面的例子為例，相撞前球A的運動為6，相撞后球A的運動為18，相撞前球A的運動速度為2，那么便可得出相撞后的速度，即6∶18＝2∶6，得出其數值為6。

但是，若物體不是球體，且不做直線運動，比如在傾斜面上發生碰撞，那么我們就必須先確定撞擊點與物體相切的平面的位置，然后把物體的運動進行分解，才能計算出相撞后各自的運動量。我們需要把運動分解為垂直平面的與平行平面的兩部分，因為物體相互作用在該平面的垂直方向上，所以相撞后平行于平面的運動量是不變的。

如果垂直運動的變化是反向的，且數量不變，那么相同方向的運動和相反方向的運動的差值會和之前相等。這類相撞有時會導致物體進行曲線運動，并且圍繞其中心旋轉。這里我不對這個問題進行論述，因為它發生的可能性非常多，其論述過程實在太過復雜和煩瑣。

推論Ⅳ

兩個或多個物體的公共重心始終保持其靜止或運動的狀態，不會因物體間的相互作用而改變原狀態。就是說，除非受外力和阻力作用，所有相互作用的物體的公共重心或處于靜止狀態，或處于勻速直線運動狀態。

如果兩個點做勻速直線運動，按照某一給定比值對兩者間距進行分割，那么分割點或處于靜止狀態，或處于勻速直線運動狀態。這個問題我將在引理23和推論中進行證明，同理，點在相同平面運動或不同平面運動的情形都可以得到證明。

也就是說，如果任意多個物體做勻速直線運動，那么其中任意兩個物體的公共重心或靜止，或做勻速直線運動，因為兩物體的公共重心的連線是按照給定比值進行分割的。同時，這兩個物體的公共重心和第三個物體的重心也是或靜止，或做勻速直線運動，其重心連線也是按照給定比值進行分割的。以此類推，這三個物體的公共重心和第四個物體的重心也是或靜止，或做勻速直線運動，重心連線也是按照給定比值分割。這一原理可以推廣到無數個物體。

因此，在多個物體組成的體系中，如果物體間不存在相互作用，也沒有受到任何外力的作用，且每個物體都做勻速直線運動，那么它們的公共重心始終保持原狀態不變，或靜止，或做勻速直線運動。

另外，在兩個物體相互作用的體系中，因為物體重心和公共重心的間距與物體本身成反比，所以不管物體距離重心是遠還是近，其相對運動都是相等的。運動的變化是相等的且相反的，所以受物體間相互作用的影響，其公共重心仍保持靜止或勻速直線運動的狀態不變，不會加速，也不會減速。

然而，在多個物體組成的體系中，任意兩個物體的相互作用不會改變其公共重心的狀態，對于其他物體公共重心的影響更是微乎其微。不過，這兩個物體的重心間距被所有物體的公共重心分割，并且與屬于某個中心物體的總和成反比。因此，當兩個物體的重心保持靜止或運動狀態時，所有物體的公共重心也保持原有狀態。由此可以得出，整個物體體系的公共重心絕不會因為任意兩個物體的相互作用而改變其原有狀態。

在該體系中，所有物體間的相互作用或發生在兩個物體間，或由若干兩個物體間的相互作用組成，這些作用不會對物體的公共重心產生任何影響，也不會促使其改變原有的靜止或運動狀態。因為當物體間不存在相互作用時，其重心或靜止或處于勻速直線運動狀態。即便物體間存在相互作用，除非有外力施加于整個系統，促使這個系統改變其原有狀態，否則其重心也將一直保持靜止或勻速直線運動狀態。這個定律同時適用于單一物體和多物體體系，因為不管是單一個體還是多物體體系，其運動問題都是通過重心的運動而計算的。

推論Ⅴ

在某給定空間內，不管該空間是靜止還是做勻速直線運動（不含任何旋轉的運動），物體本身的運動和物體間的相對運動都是相同的。

根據假設，在給定空間靜止或不含任何旋轉運動的勻速直線運動的情況下，物體同向運動的差與反向運動的和是相等的。根據定律2，由這些差或和產生碰撞和排斥，以及物體間的相互作用，產生的效果相同。因此在一種情形下物體間的相互運動在另一種情形下也會得以保持。比如根據船只運動的實驗可以得出：不管船只靜止還是做勻速直線運動，船上所有物體的運動都保持不變。

推論Ⅵ

不管物體間是哪種類型的相互運動，若是在平行方向上被施以相同的加速力，那么它們相互間的運動狀態都不會改變，仍保持原有的相互運動。

根據物體運動的量得出，這些力的作用是相等的，且在互相平行的方向上移動，那么根據定律2，所有物體將以相同速度進行相同運動，因此物體間的位置和運動不會發生改變。

附錄

我闡述的這些原理已經被廣大數學家們接受，同時也得到了大量的實驗證實。根據定律1、定律2和推論Ⅰ、推論Ⅱ，伽利略通過觀察發現了物體下落的變化與所用時間的平方有關，物體被拋射后會做曲線運動。這些發現都已經被實驗證明，但是前提是這些運動不受阻力影響，或阻力影響非常小。

當一個物體下落時，其重力作用是均衡的，并且在相等的時間內對物體施加相等的力，所以物體速度也相等。在整個時間內，所有作用力產生的速度與時間成正比。而在相應的時間內，物體運動的距離與時間的平方成正比，也就是說距離等于速度與時間的乘積。當一個物體被向上拋射時，受平均重力影響其速度不斷減小，且與時間成正比。當物體到達最高點時，速度降為0，所以物體到達的高度等于速度與時間的乘積，或等于速度的平方。如果物體是被向上或向下斜拋，那么拋物運動就是原來運動和重力運動組成的復合運動。（圖0-3）

假設物體A被拋射出去，在給定時間內沿著AB作直線運動，在下落時沿著AC做向下運動，在復合運動作用下最后落在點D，由此可以做出平行四邊形ABDC。物體A經過的路徑為拋物線AED，且與直線AB相切于點A，縱線BD等于AB的平方。根據相同的定理和推論，很多物體的運動和相關事件都得到了證明，比如之前單擺振動所需時間的例子就已經從日常單擺時鐘的實例中得以證實。

同時，根據相同的定律和推論以及定律3，克里斯托弗·雷恩爵士、瓦里斯博士和惠更斯等人分別確立了硬物相撞時所遵循的一系列法則，并且幾乎同時向皇家學會遞交了研究報告。對于這些法則，這些科學家幾乎得出了完全一致的見解。瓦里斯博士發表研究報告的時間最早，之后是雷恩爵士，最后是惠更斯。但是，雷恩爵士的研究報告是關于單擺實驗的，并且他證明了這個實驗的真理性。隨后，馬略特先生也開始研究這個問題，并對其進行了全面系統的闡述。不過，若想實驗與理論保持完全一致，我們不得不考慮空氣阻力、物體碰撞產生彈力等因素。（圖0-4）

假設把球A、球B分別懸掛在細線AC、BD上，讓AC和BD相等且平行，中心點分別為C、D，且保持一定距離。以點C為中心作半徑為AC的半圓EAF，以D為中心作半徑為BD的半圓GBH。先移除球B，讓物體A在半圓EAF的任意一點R做運動，假設它擺動一次后回到點V，那么在空氣阻力作用下，RV就是其產生的距離差。在弧線RV上取另一弧線ST，使得ST處于RV中間位置，且ST∶RV＝1∶4，RS＝TV，RS∶ST＝3∶2，那么可以得出，ST就等于物體從點S下落到A點的阻力。

把球B復位，假設球A從S點下落，那么它在點A的速度（排除誤差的可能性）與不計阻力的情況下從T點下落到此位置的速度相等。由此可知，其速度就等于弧線TA的弦。如果物體做鐘擺運動，那么它在最低點的速度與下落時經過的弧線的弦成正比，這一定理幾乎已經被所有幾何學家熟知。所以兩者撞擊后，球A到達點s，球B到達點k，此時再把球B移除，取任意一個點v。如果球A從點v出發，擺動一次后回到點r，同時st∶rv＝1∶4，那么可以得出，st處于rv的中間位置，rs＝tv，同時，tA就是球A在撞擊后到達A點的速度。如果不計空氣阻力，則球A正好上升到點t。同理，我們可以估算出球B在不計空氣阻力下可以上升到點l，以此來修正球B實際中所到達的位置點k。

如此一來，實驗的所需條件已經全部準備就緒，如同在真空中做實驗一樣。然后，球A和弧線TA的弦已知，我們可以得出它們的乘積，并且得出球A撞擊前在點A的運動，同時根據它與弧線tA的乘積，得出撞擊后的運動。同理，我們也可以計算出球B與弧線BL的弦的乘積，估算出球B在撞擊后的運動。以此類推，如果兩個物體同時從不同的點下落，我們可以計算出它們碰撞前后的各自運動，同時，通過比較兩者的運動還可以得出碰撞后的效果。

我們可以做這樣一個實驗：取一些相等或不相等的物體，擺長10英尺，讓它們在一個8、12或16英尺2的大空間內相互碰撞，經過不斷試驗，我發現物體正面撞擊時會給對方帶來同樣的變化。即便有誤差，誤差也不超過3英寸。假設物體A撞擊靜止的物體B，撞擊前運動量為9，撞擊后物體A的運動量失去7，之后繼續以2個運動量向前運動，那么物體B會得到它的7個運動量而運動。

假設兩個物體因為反向運動而碰撞，撞擊前物體A的運動量為12，物體B的運動量為6，撞擊后物體A、B分別向后運動2個、8個的運動量，那么它們分別都失去14個運動量，即12+2和6+8。因為物體A減少12個運動量，它就會靜止不動，所以會繼續減去2個運動量，然后以2個運動量做反向運動。同理，物體B減去6個運動量，它就會靜止，繼續減去8個運動量，那么它就會以8個運動量做反向運動。

如果物體A、B的運動方向相同，物體A、B的運動量分別為14、5，前者比后者更快一些，即物體A去追B。發生碰撞后，物體A剩下5個運動量，然后繼續向前運動，而物體B則從物體A得到9個運動量，之后以14個運動量繼續向前運動。這也適用于其他情形。物體發生碰撞后，它們的運動量是同向運動的和或反向運動的差，這是永遠都不會改變的。實際上，實驗時想要做到萬分精確是非常難的，所以可能會產生1到2英寸的誤差，這也是可以理解的。想要讓兩只鐘擺精確地運動，使它們在最低點AB發生碰撞，或在碰撞后精確地到達點s、k也是非常難的。另外，因為鐘擺自身的密度不同，或種種原因造成的鐘擺結構上的不規則等，這些因素都可能導致誤差的產生。

或許有人持有反對意見，認為這個實驗成功必須依賴特定的條件，即物體必須足夠堅硬，或有彈性，但是這種物體并不存在于自然界中。關于這一點，我必須解釋一下，我們所講述的實驗并沒有條件限制，并非只能取絕對堅硬的物體。也就是說，這個實驗的成功與否不取決于物體的硬度。

如果把這個規律運用在質地較軟的物體上，只要把反彈力考慮進來，按照反彈力的運動來減少相應的量就可以了。按照雷恩和惠更斯的理論，絕對硬的物體在碰撞前后的速度是相同的，這一點已經在高彈性物體的實驗中得到了肯定的證實。而對于低彈性的物體，因為反彈力的減少，碰撞后的速度比碰撞前的速度低。在我看來，這個反彈力是可以確定的，因為它可以讓物體以一個相對速度反彈，并且這個速度與物體相撞時的速度有一個固定的比值。

我用壓得緊實堅固的毛線球做過一個試驗：首先，讓毛線球下落，測出它的反彈度，然后計算出反彈力的量，根據它就可以估算出毛線球在碰撞時反彈的距離。在之后的其他實驗中，我證實了這一計算結果的準確性。碰撞時，毛線球反彈的速度與碰撞前的速度的比值大約是5∶9，鋼球的反彈速度與碰撞前的速度幾乎相同，軟木球的反彈速度慢一些，而玻璃球的反彈速度與碰撞前的速度比大約為15∶16。由此可見，定律3涉及的碰撞和反彈的問題，已經得到了廣泛證實。

對于引力這個問題，我也使用類似方法進行了證明。假設任意兩個物體A、B相遇，有另一物體起到阻礙作用，當兩物體相互吸引時，物體A受到物體B的吸引力比物體B受到物體A的吸引力大，那么障礙物受到物體A的壓力就大于受到物體B的壓力，如此一來就無法保持平衡。壓力大的物體A會把兩物體和障礙物的整體推向物體B；在沒有空氣阻力空間內，這一物體系統將持續做無限的加速運動。然而這一情形并不合理，與定律1相矛盾。根據定律1，這個物質系統將保持原有的靜止或勻速直線運動狀態，所以兩物體對障礙物的壓力應該是相等的，且相互間的吸引力也相等。我曾用磁石和鐵做過類似的實驗：把磁石和鐵分別放進合適的容器中，然后讓它們漂浮在平靜水面，且保證彼此不相互排斥。之后，通過相等的吸引力來抵消對方的壓力，使其保持一個平衡的狀態。（圖0-5）

地球的各個部分間存在著引力的，假設任意平面EG將地球分割為EGF、EGI兩部分，那么兩部分相互間的重力是相等的。如果讓另一個平面HK（平行于EG）再將EGI分割為EGKH和HKI兩部分，且使得HKI與EGF相等。我們可以看出，中間部分EGKH始終保持靜止狀態，不會向EGF的方向運動，也不會向HKI的方向運動，因為其自身的重力正好合適。但是，HKI這一部分會以全部重力把EGKH部分壓向EGF，所以EGI的力等于HKI和EGKH兩部分之和。同時，這個力等于HKI的重力，且偏向EGF，就是說EGI的力和EGF的重力是相等的，由此可以得出EGI和EGF兩部分相互間的重力是相等的，這也是我之前要證明的。如果兩者的重力不相等，那么地球漂浮在沒有任何阻力的太空中，必定會遠離它原來的位置，給比它重的所有物體讓位，最終消失在無限的太空中。

物體碰撞和反彈時的作用是相等的，其速度與慣性力成反比，因此使用機械儀器時，施加的力是平衡的，并且相互間保持反向的壓力。其速度取決于力的大小，且與力成反比。

同時，擺動天平懸掛的重物產生的力也是相等的，使用天平時，重力總是與天平上下速度成反比。也就是說，如果重物的上升或下降是直線運動，那么產生的力相等，這個力與懸掛重物的點與中心軸的距離成反比。如果有障礙物或傾斜面，重物的上升或下降是斜線運動，那么產生的力也相等，且與上升或下降的垂直高度成反比，這取決于物體垂直向下的重力方向。

這個原理同樣適用于滑輪或滑輪組，不論重物是直線上升還是斜線上升，用手拉直繩子的力都與其重力成正比，就好像重物垂直上升的速度與用手拉繩子的速度成正比一樣。

在輪子組成鐘表和其他類似的機械中，如果使輪子轉動加速和減速的反方向的力，與它們推動輪子的速度成反比，那么它們也能保持平衡。

螺絲釘擠壓物體的力與用手擰動手柄的力成正比，其比值等于轉動的把手的旋轉速度與受到壓力前進的螺絲釘的速度的比值。

用楔子把木頭劈成兩部分，其擠壓或劈開木頭的力與槌子施加在楔子上的力成正比，其比值與楔子在槌子敲擊下前進的速度與木頭在楔子擠壓下向兩邊直線方向裂開的速度的比值相等。這個理論在所有機械的運作中都可以得到一致的解釋。

機械的作用和效能主要有以下兩個方面：通過減小物體的運動速度使得力增大，或通過增大力來使得物體的運動速度減小。因此我們可以運用各種機械解決以下問題：用給定的力移動給定的重物，或用給定的力克服給定的阻力。

如果機器作用于物體的速度與其作用力成反比，那么作用力就可以把阻力抵消。如果其速度足夠大，足以克服一切阻力（來自物體相互滑動時的摩擦，或被分開的物體的凝聚，或被舉起的物體的重力），那么剩余的力就會產生加速度。我并不是在這里討論力學，而是通過這些實例來證明定律3適用的廣泛性、可靠性和準確性。如果可以用物體所受的力和速度的乘積來估計其作用，或運用類似方法來估計障礙物對于物體的反作用，即通過它某些部分的速度、加速度或由摩擦、凝聚、重力產生的阻力的乘積來估計，那么我們會發現在所有機械的運動中，作用力始終等于反作用力。雖然作用力要通過中間媒介來傳遞，但是它最終作用在障礙物上，并且總是與反作用力方向相反。

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1　英里，約1.61千米。

2　英尺，約0.30米。