信息時代的英雄

馮·諾伊曼(John von Neumann)是20世紀最出名的數學家之一,這可能主要是由于他在電子計算機方面的開創性工作。為此,許多人甚至給他戴上“計算機之父”的桂冠。雖然計算機的研究已足以使他永垂不朽,但是單憑這方面來衡量他一生的工作就未免失之過偏,計算機方面只不過是他工作的一小部分。他在純粹數學、應用數學、計算數學等許多分支都有重大的也往往是開創性的貢獻。

馮·諾伊曼的一生也可以借用“科學元典叢書”中《控制論》《人有人的用處》的作者維納(Norbert Wiener, 1894—1964)的三本傳記的書名來概括:兩本是維納的自傳:《昔日神童》《我是一位數學家》,一本是別人寫的維納傳記《信息時代的隱匿英雄》。馮·諾伊曼的一生是天才的一生,而且前半生的貢獻主要是在數學領域,他對數學的貢獻有著不可忽視的影響。第二次世界大戰爆發后,他參與了原子彈的研制以及電子計算機的研發,后者直接影響了當代社會的發展。馮·諾伊曼無疑是信息時代的英雄。

一、 家世——匈牙利的猶太人

馮·諾伊曼1903年12月28日出生于匈牙利布達佩斯。當時匈牙利是奧匈帝國的一個組成部分。他的家族是猶太裔,父親馬克斯(Max von Neumann,1870—1929)是銀行家,1913年被奧地利皇帝封為貴族,于是其姓氏中出現了馮(von)字。這樣,匈牙利、猶太人、銀行家、貴族就成為馮·諾伊曼身世的主題詞。

中國人對匈牙利也許并不陌生,它使我們聯想到匈奴。匈牙利人是否為匈奴后裔,史學家仍然有爭議,可是有一點很明顯,匈牙利雖然地處歐洲大陸的中心,但與歐洲三大主流族群——拉丁族、條頓族(即日耳曼族)、斯拉夫族都毫無親緣關系,語言也不屬于印歐語系。匈牙利人的姓名寫法也同中國人一樣,是姓在前、名在后,其他大部分歐洲人姓名寫法則顛倒過來。

中國讀者熟悉匈奴的歷史。公元1世紀到5世紀,匈奴的一支由中國的北方一直打到歐洲。東漢竇憲伐匈奴,匈奴西徙。他們一溜煙跑了上萬里。雖然是漢朝的手下敗將,到歐洲可神氣了一番。偌大的羅馬帝國,連同周圍的蠻族,被匈奴打得七零八落。后來的匈奴首領叫阿提拉(Attila,約406—453),被歐洲人稱為“上帝之鞭”。阿提拉去世后不久,西羅馬帝國滅亡,匈奴人也不知上哪兒去了。

公元500年到1000年,這段歷史就不那么清楚了。只是這500年的末期,里海北岸的馬扎爾(Magyar)人,移居到歐洲中部,在現在的匈牙利附近定居下來。

公元1000年左右,馬扎爾人信仰基督教,這和當時許多中歐、東歐、北歐的民族,如德國人、俄國人、瑞典人、波蘭人一樣。

從那時起,匈牙利的大平原以及北部、西部的丘陵就成為四鄰滋擾之地。13世紀,蒙古人來過,幸而沒有西進。接著就是土耳其占了匈牙利許多土地,直到18世紀初才全部撤出。16世紀初,奧地利的哈布斯堡王朝也占領了匈牙利的一部分,在18世紀初,把整個匈牙利據為己有。那時候,奧地利可是歐洲的四強(英、法、俄、奧)之一。19世紀中逐漸衰敗,其強國地位最后被統一的德國所取代。

普魯士后來迅速崛起。普奧戰爭、普法戰爭以及普魯士最終統一德國,并把日耳曼諸國的老大——奧地利排除在外,這一切改變了歐洲的命運,改變了奧地利的命運,也改變了匈牙利的命運。所有這些都發生在奧地利皇帝弗蘭茨·約瑟夫(Franz Joseph,1830—1916, 1848—1916在位)的身上。他18歲當了皇帝,在位近70年。盡管如此,一般人并不知道他是何許人也,可是很多人聽說過他的皇后——美麗、善良而又薄命的茜茜(Sissy,即Elizabeth,1837—1898)公主。茜茜公主在提高匈牙利的地位上也起了重要作用。

1867年奧地利和匈牙利成為理論上平起平坐的二元的奧匈帝國,不過奧地利皇帝兼任匈牙利國王。奧地利仍是老大,匈牙利可算是老二,這時的匈牙利比現在大多了,包括現在的斯洛伐克到克羅地亞。此后50年匈牙利迎來了它的繁榮時期,匈牙利的猶太人也有機會脫穎而出。

說起猶太人,需要長篇的歷史敘述他們的不幸遭遇。19世紀中期,歐洲猶太人由西向東逐步獲得“解放”,也就是不再限制他們住在一定的猶太定居區中,以及可以受一定的教育。不過在東歐,特別是俄國,排猶事件屢有發生。19世紀末到20世紀初,如何對付猶太人使當局大傷腦筋。1906年俄國的財政大臣說,猶太人太機靈,以至于常常超越限制他們的任何法律。于是當局采取“三三制”的方法:讓猶太人皈依東正教,把13猶太人驅逐出境,把另外猶太人殺死。其他國家做法大同小異,只是沒有俄國那么殘酷。被驅趕的猶太人到哪里去呢? 哪里是猶太人的天堂呢? 一個是美國紐約,一個就是匈牙利的布達佩斯。

布達佩斯成為“歐洲的耶路撒冷”看來是挺奇怪的事。實際上,在不同文化中生存是絕對不容易的事。匈牙利的猶太人尤其如此。在中歐,只有匈牙利人抵抗住周圍歐洲的文明,頑強地使匈牙利文化堅持下來,而處在匈牙利人包圍之中的猶太人要在這種雙重壓力下生存則更加艱難。隨著匈牙利地位的提升,匈牙利大地主大貴族仍然占有大量的土地,而工業發展為猶太人提供了經商致富的機會,他們成為城市的資產階級,經營銀行、工商業、外貿、各種制造業。富起來的猶太人子弟可以受到很好的教育,成為精英階層。這樣一來,連保守的奧地利皇帝也不得不對他們另眼相看。在一個封建貴族占統治地位的國家,他們靠貴族頭銜與有錢人達成妥協,整個19世紀不到100家猶太人受封為貴族,而20世紀的前13年間已有220家受封,馮·諾伊曼的父親就是其中之一。

匈牙利人,特別是其中占5%的猶太人并沒有浪費1867年到1918年這50年的大好時機。這樣一個小國家50年間產生出高比例的文化名人,而其中絕大多數都是猶太人。

這簡直是一個奇跡,1900年前后涌現了一大批有國際聲望的大科學家:“超音速航空之父”馮·卡門(T.von Karman, 1881—1963),原子彈的首倡者齊拉(L.Sz-ilard,1898—1964),“氫彈之父”特勒(Edward Teller,1908—2003)。當然,20世紀最顯赫的科學界榮譽莫過于諾貝爾獎了,百年之中,匈牙利裔的科學家有6人獲獎(作為對比,華裔科學家及日裔科學家各有6人獲獎),他們是“全息術之父”伽博(Dennis Gabor,1900—1979,1971年獲物理學獎),馮·諾伊曼的好友維格納(Eugene Wigner,1902—1995,1963年獲物理學獎), 因研究維生素C而出名的圣·喬奇(Szent-Gy?rgyi von Nagyrapolt,1893—1986,1937年獲生理學或醫學獎),發現示蹤原子方法的海維希(Georg von Hevesy, 1885—1966, 1943年獲化學獎),弄清耳朵(具體講是耳蝸)為什么能聽到聲音的貝凱西(Georg von Békésy, 1899—1972,1961年獲生理學或醫學獎),以及耳科學的創立者之一巴拉尼(Robert Bárány,1876—1936,1914年獲生理學或醫學獎)。

當然匈牙利也產生了許多其他文化名人。最著名的有詩人裴多菲(Sandor Pet?fi,1823—1849),他的詩“生命誠可貴,愛情價更高……”在中國膾炙人口,不過他是老一代的人物了。新一代的人物有作家克斯特勒(Arthur Koestler,1905—1983),他還特別研究天才創造性勞動;西方馬克思主義的奠基人盧卡奇(George Lukács,1885—1971);經濟學家卡爾多(Nicholas Kal-dor,1908—1986)。有意思的是,匈牙利人的發明往往和一般老百姓的生活密切相關,一個是魯比克(Ern? Rubik,1944— )發明的魔方,在20世紀80年代風行全世界,圓珠筆也是匈牙利人拜羅(Laszlo Biro,1900—1985)發明的,在英國,拜羅不僅是商標的名字,而且還成了圓珠筆的代名詞。

國際政治、經濟界也逐漸有匈牙利裔人涌現。著名的“金融大鱷”索羅斯(George Soros,1930— ),是匈牙利猶太人,我們不應該忘記他也是捐款最多的慈善家之一。當然,曾任法國總統的薩科齊(Nicolas Sarkozy,1955— )也是匈牙利人。至于數學家就更多了,比如古典分析大師費耶(Lipot Fejer, 1880—1959),波利亞(George Pólya, 1887—1985)、賽格(Gabor Szёgo,1895—1985),泛函分析的締造者之一里斯(Frigyes Riesz,1880—1956),他的弟弟邁克爾·里斯(Marcel Riesz,1886—1969)也是數學分析專家,哈爾(Alfréd Haar,1885—1933)則因哈爾測度而知名,拉多(Tibor Radò,1895—1965)則率先解決了極小曲面的問題。此外數論專家愛爾特希(Paul Erd?s,1913—1996),瑞尼(Alfréd Renyi,1921—1970)也都是國際知名的一流的數學家。后來匈牙利仍然一代一代產生出大數學家,如阿貝爾獎獲得者拉克斯(Peter Lax,1926— )以及曾任國際數學聯盟主席的洛瓦斯(László Lovász, 1948— )。不管怎么說,馮·諾伊曼是他們中間的佼佼者。

二、 天才的成長(1903—1921)

馮·諾伊曼出生時,父親馬克斯已是一位富有的猶太銀行家。1913年,還榮獲貴族封號,這成了他們姓中von(馮)的來源。約翰是馬克斯三個兒子中的長子,他的弟弟邁克爾(Michael von Neumann)和尼古拉斯(Nicholas von Neumann)分別于1907年和1911年出生。他一出世就受到各方面的關心和照顧。他從小就接受家庭教師的教育,很快就掌握了德語和法語。他的父親十分關心兒子的成長,很早就注意到他智力不同尋常: 他有驚人的記憶力、理解力、心算能力、語言能力以及創造才能,的的確確是一個全面的天才。他不只小時是神童,而且許多“超人的”能力一直保持到成年。

他有過目不忘的能力,只要看一眼電話號碼本,他就能把人名、住址、電話號碼記得牢牢的。以至于后來在紐約曼哈頓區,他也根本不用厚厚的電話號碼本。當然這也許是機械記憶,不足為奇。可是,他還能把整段、整章的小說背誦得一字不差。

他6歲就會心算8位數除8位數,后來對于公式的運算也能很快在頭腦中進行。可是,早在一百多年前,數學家早就不把計算尤其是心算才能當成什么了不起的事了。大數學家龐加勒就常常以自己做加法總要出錯而“自豪”。數學才能更多地表現在抽象概念理解力、邏輯推理思維能力,以及解決問題的能力等方面。而在這些方面,馮·諾伊曼也早就顯示出非凡的能力。8歲時,他在別的小孩剛上小學學加減乘除的時候就已經掌握了微積分,到12歲,他已能讀懂法國大數學家波雷爾(E.Borel,1871—1956)的專門著作《函數論》了。

1914年,也就是第一次世界大戰爆發那年,他進入路德教會中學學習。這所學校是布達佩斯最好的三所中學之一,學生中近一半是猶太人。沒幾天,富有責任心的數學老師拉茲(Ladislas Ratz)就告訴馬克斯,小約翰的數學才能過人,建議請大學教師個別輔導以全面發展他的天才。經拉茲的介紹,年輕數學家費凱特(M. Fekete,1886—1957)定期到馮·諾伊曼家里進行輔導。中學快畢業時,馮·諾伊曼和費凱特合作,對布達佩斯大學費耶教授的一個分析定理加以推廣,這項研究使馮·諾伊曼完成了第一篇學術論文,當時他還不到17歲。后來費凱特一直局限在古典分析這個狹窄領域里進行研究,而馮·諾伊曼很快深入最新的數學——20世紀的數學——集合論、測度論、泛函分析等新分支中去。早在中學時,他已經開始自學這些課程。

除了數學課之外,馮·諾伊曼還跟同學一起學習其余課程,一起參加各種活動。他功課很好,但也不是門門得A,制圖課他就只得B。他體育也不太好,他不太喜歡戶外運動,只是在冬天偶爾出去滑雪。他喜歡聊天,維格納比他高一級,他們經常在一起談數學,一談起來就沒完沒了。他喜歡下棋,但也不是老贏。他和大家相處得很好,但和誰也沒有過分親密的關系。這一方面由于他感情不輕易外露,另一方面也由于他有許多額外的精神需要,除了數學,他如饑似渴地讀歷史。他從小就喜歡歷史,小時候就啃德國歷史學家翁肯(Wilhelm On-cken,1835—1905)編寫的45卷《通史》;他熟知千年拜占庭的歷史,他對美國歷史也非常熟悉,有一次去杜克大學開會,他們經過美國南北戰爭的戰場,他對于這場戰爭的細枝末節都說得一清二楚,使美國人都驚嘆不已。他對歷史的超人洞察力,對他后來的戰略思想至關重要。他還通過閱讀文學作品學習語言,年老后,他還能背誦《雙城記》中前十幾頁。而在這些方面,沒有游伴能完全滿足他,這也許就是所謂“天才的孤獨”吧!

1918年年底,奧地利哈布斯堡王朝覆滅,第一次世界大戰以同盟國的失敗而告終。1919年3月,貝拉·庫恩(Bela Kun)建立起蘇維埃革命政府,首先采取的政策就是沒收銀行。革命爆發后還不到一個星期,馮·諾伊曼全家就逃離匈牙利。1919年8月,霍爾蒂在外國軍隊的干預下,推翻革命政府,建立獨裁政權。他們歧視猶太人,歧視知識分子,鎮壓左翼同情者。馮·諾伊曼一家從國外回來,他繼續上學,父親繼續開銀行,可是大戰以前的好時光一去不復返了。1921年,馮·諾伊曼參加中學畢業會考,同時獲得了厄特沃什(E?tv?s)獎。后來,他又在匈牙利的數學競賽中輕而易舉地得到第一名。

有天才的人未必有成就,有成就的人未必有天才。幸運的是,馮·諾伊曼兼具天才和成就于一身。他沒有像羅素那樣在家自由放任,也沒有像維納那樣越級跳班受到許多額外功課的壓力。馮·諾伊曼按部就班上中學,在課余吸收了大量的知識。他有如此超強的自學能力,以至于任何書本知識、任何考試對他來說都是小菜一碟。

三、 大學時代(1921—1926)

中學畢業后自然要上大學。父親知道馮·諾伊曼有志于學數學,但是出于未來就業上的原因勸他放棄,匈牙利只需要幾位數學家就夠了。有錢的猶太人都會培養自己的子弟上大學,但匈牙利的大學資源相對有限,要獲得最好的教育,非得去國外的一流大學不可。作為父子妥協的結果,馮·諾伊曼答應到國外攻讀化學。布達佩斯大學歡迎他去,入學要的“清白記錄”也不成問題。但是,他深知匈牙利并非久留之地,只有德國、瑞士等地才是真正的科學樂園。因此,從1921年中學畢業之后,德國成為他成長的主要地方。

1921年到1925年,馮·諾伊曼在布達佩斯大學注冊數學博士研究生,但他從來沒有在那聽課,只是學期末參加考試。從1921年到1923年,他主要在柏林大學學習化學,而從1923年到1925年主要在瑞士著名的聯邦工業學院上課。雖然1925年他在聯邦工業學院拿到化學工程文憑,但是他主要聽的還是數理方面的課程(如1922年他在柏林聽過愛因斯坦統計物理學的課),并同各地數學家交往。當時,他主要受施密特(E. Schmidt, 1876—1959)和外爾(H.Wey1,1885—1955)的影響。他們都是希爾伯特的學生,他們的早期工作都受到希爾伯特思想的巨大影響。施密特把希爾伯特的積分方程理論抽象化,后來,這成為希爾伯特空間概念的來源。外爾則是希爾伯特的譜理論的繼承人,同希爾伯特一樣,外爾對當時新興的理論物理學極有興趣,而且致力于把數學應用于解決相對論、量子論及古典物理的問題。馮·諾伊曼的早期工作反映了希爾伯特和外爾的共同之處,他們都相信數學在發現物理學的普遍規律方面作用極大,反過來,物理學也是啟發最好的數學思想的源泉。

馮·諾伊曼還直接受到希爾伯特的巨大影響。在大學時期,他有時到格丁根去拜訪希爾伯特,這兩位相差四十多歲的數學家,常常一起在希爾伯特的花園或書房交談好幾個小時。希爾伯特對數學及物理學的公理化思想,以及他當時對數學基礎以及對物理學的興趣都大大影響了馮·諾伊曼并決定了他早期工作的方向。

在1921年到1926年,馮·諾伊曼并沒有放棄數學,相反,他在布達佩斯大學申請做博士生,這個時期主要研究方向是數理邏輯。1926年春天,他取得布達佩斯大學博士學位,論文題目是《集合論的公理化》。實際上,他在上大學時期就已經對數學基礎進行了系統的研究,并發表了幾篇論文。

馮·諾伊曼吸收希爾伯特的公理化思想,致力于把集合論的基本概念弄清楚并加以公理化。小小年紀,他就已經深入思考當時這類頭等重要的問題了。

馮·諾伊曼喜歡公理化的道路,這預示了他今后從事數學研究的主要方法。在這方面,早在1908年策梅洛(E.Zermelo,1871—1953)已經提出了一個公理系統,這個系統基本上不錯,經過弗蘭克爾(A.Fraenkel, 1891—1965)等人改進以后成為著名的ZF系統,這是集合論中最常用的公理系統。年輕的馮·諾伊曼很欣賞公理化這條路,但是他對策梅洛的公理系統進行了一些根本上的修改。他把論文送到《數學雜志》發表,當時該雜志的編輯施密特要弗蘭克爾審稿。當時馮·諾伊曼還是名不見經傳的年輕人,可是弗蘭克爾從文章中就看出作者身手不凡。審稿者當時不能完全理解這篇文章,于是邀請馮·諾伊曼到馬堡大學來。他們討論了許多問題。因為原來那篇文章不好懂,弗蘭克爾建議他寫一篇短文來闡述自己的方法和結果,這就是《集合論的一種公理化》,1925年發表在弗蘭克爾擔任編輯的《純粹與應用數學雜志》上。而原來的論文《集合論的公理化》一直到1928年才發表。這些論文也是他1926年在布達佩斯大學的博士論文的基礎。

當時,關于數學基礎的論戰非常熱鬧,馮·諾伊曼堅決支持希爾伯特的形式主義路線,反對邏輯主義和直覺主義。1930年,在德國哥尼斯堡的會議上,馮·諾伊曼對形式主義做了系統總結報告。希爾伯特提出了證明算術及分析的無矛盾性的計劃,馮·諾伊曼完成了在特殊情形下的算術無矛盾性的證明,但分析的無矛盾性的證明總是不成功。馮·諾伊曼那時每天工作到深夜,上床睡覺之后還常常半夜醒來。有一次他夢見他有辦法克服全部困難,于是起身寫下來。不過最后他還是發現有一個漏洞補不起來。他后來開玩笑說: “數學是多么走運呵,因為我第三個晚上沒有做夢。”馮·諾伊曼關于數理邏輯的工作對以后計算機及自動機理論有著不可忽視的影響。

四、 研發計算機(1944—1955)

盡管馮·諾伊曼在原子彈的研制方面有重要貢獻,但畢竟只是個配角。一個偶然的機會把他引向20世紀后半期最重要的科學與技術——研究電子計算機。在這一領域他再一次發揮獨創精神,成為計算機科學、計算機技術、數值分析的開創者之一。

1944年夏天,哥德斯坦(Herman Goldstine,1913—2004)從阿伯丁醫院出來到火車站等去費城的火車,正巧碰上了馮·諾伊曼。哥德斯坦早就聽說過這個世界聞名的大數學家。他懷著年輕人會見大人物那種惴惴不安的心情走近馮·諾伊曼作自我介紹,開始攀談起來。馮·諾伊曼熱情友好,毫無架子,很快就使他不覺得拘束,大膽地談起自己的工作來。當馮·諾伊曼知道他正在搞每秒能算333次乘法的電子計算機時,談話氣氛一下子變了。馮·諾伊曼嚴肅而認真地詢問,使哥德斯坦覺得好像又經歷了一次博士論文答辯。當然,馮·諾伊曼從中看到了具有頭等重要意義的大事。

早在第一次世界大戰時期,美國已有馬里蘭州、阿伯丁試驗場彈道實驗室研究火炮的彈道計算。這是武器研發最重要的課題之一。但美國缺少能快速處理大量數據的計算機。1943年以前,受阿伯丁試驗場彈道實驗室的委托,建造第一臺電子計算機的工作正式在費城賓夕法尼亞大學莫爾學院啟動。這就是“電子數字積分計算器”(Electronic Numerical Integrator and Calcula-tor,ENIAC)。主要研制者是工程師艾克特(J.P.Eck-ert,1919—1995)及物理學家莫克萊 (J.Mauchly, 1907—1980)。馮·諾伊曼急不可耐地想要看看這臺尚未出世的機器。他很快就得到同意。艾克特說,他能夠從馮·諾伊曼提的第一個問題來判斷他是否是位真正的天才。1948年8月初,馮·諾伊曼來了,他一看就問起機器的邏輯結構,而這正是艾克特所謂天才的標志。從那時起,馮·諾伊曼就成為莫爾學院的常客了。他同ENIAC的首批研制者們進行認真而活躍的討論,問題集中在ENIAC的不足之處。他們考慮研制一臺新機器電子離散變量自動計算機(Electronic Discrete Variable Automatic Computer,EDVAC)。

1945年3月,馮·諾伊曼起草EDVAC設計報告初稿,其中已有計算機與神經系統的對比,這為后來的自動機研究埋下伏筆。這份報告對后來的計算機影響很大,其中主要確定計算機由計算器、控制器、存儲器、輸入、輸出五部分組成,介紹了采用存儲程序以及二進制的思想。雖然馮·諾伊曼的參與開辟了電子計算機的新時代,但這臺機器卻長期停留在紙面上。一直到1952年才正式建成。到此時,存儲程序計算機已經造出不少臺了。原來到1945年年底,ENIAC完成之后,研制人員就因為優先權問題而爭吵起來,莫爾學院的研制小組于是陷于分裂。兩位技術專家艾克特和莫克萊自己開公司,從事計算機研制及大規模生產。而馮·諾伊曼、哥德斯坦等回到普林斯頓高等研究院,開始新一輪合作。

五、 計算機科學及應用

電子計算機的歷史意義是怎么強調也不過分的,但是與其他人不同,馮·諾伊曼對于電子計算機的貢獻是全方位的,主要可分為以下幾方面。

1. 電子計算機的設計

電子計算機的革命作用以及馮·諾伊曼所起的作用已是眾所周知的了。馮·諾伊曼對計算機設計作了根本的改進(特別是程序內存的思想),以致現在幾乎所有計算機均為馮·諾伊曼型計算機。許多人提到的非馮·諾伊曼型計算機至今還不成熟,而且也依賴于他的自動機思想。他的另一個重要思想是區分硬件和軟件,雖然軟件這詞一直到20世紀60年代后期才出現。

早在1946年,馮·諾伊曼和哥德斯坦研究編程序的問題,他們發明所謂“流程圖”來溝通數學家要計算的問題的語言和機器的語言。他們采用一些子程序,而且采用自動編程序的方法把“程序員”的語言翻譯成機器語言,這樣大大簡化了程序員編制程序的煩瑣步驟。

從某種意義上來講,馮·諾伊曼是現代數值分析計算數學的締造者之一。他對計算機的各種可能性進行了廣泛的研究和探索,特別是對于計算機廣泛使用的線性代數的計算的研究(比如求解高階線性方程組,求特征根、矩陣求逆等),設計了計算程序,研究了誤差范圍。他最感興趣的是流體力學問題。要把連續問題化成計算機能做的離散問題就必須考慮數值穩定性,也就是離散方程的解收斂于原來解的問題,以及誤差的積累和傳播的問題。為了解決這個問題,他做了大量奠基性的工作。由于有了計算機,還要發展適合于計算機的算法,特別值得一提的是他協助烏拉姆(Stanislaw Marein Ul-am)等人發表了蒙特卡羅(Monte-Carlo)算法(1949年首次發表),這種方法是把數值計算問題化成為統計抽樣問題,通過大量抽樣而計算出結果來。

馮·諾伊曼念念不忘使用計算機“摸規律”,由于他的早逝沒能完成這方面的工作。費米(Enrico Fermi)、烏拉姆等人在他的影響下于1954年進行著名的非線性諧振子計算機實驗。這個實驗經過改進,在1967年終于得到淺水波方程的孤立子解,由此顯示了計算實驗的偉大啟發力量。

現在對馮·諾伊曼串行計算機的最大改進是并行計算機的開發與使用,可是,最早提出并行計算觀念的還是馮·諾伊曼。直到今天,我們還沒有跳出這位天才的思想領域。

2. 計算機的應用

本來設計計算機是為了用來計算彈道的,但第一臺電子計算機(ENIAC)問世時,第二次世界大戰已經結束。這時,馮·諾伊曼就以非凡的遠見卓識,為計算機找到新的用場。電子計算機第一項重大貢獻是數值天氣預報,這完全是馮·諾伊曼的親自組織以及與氣象學家密切合作的結果。

1946年,馮·諾伊曼剛回到普林斯頓,就把數值天氣預報作為考驗電子計算機的頭號課題。這個選題非常合理,因為:

(1) 天氣預報的基本方程組是流體動力學方程組,人們一直對它的解析解無能為力,而且只有通過計算機才能對解的性質有一些了解。

(2) 天氣預報無疑有極大的實用價值。

(3) 1922年英國應用數學家理查森(Lewis Fry Richardson,1881—1953)已經提出一個合理的數學模型,只是由于計算太慢,當天的天氣只能在后天或大后天才能報出來,只有快速的計算機才能完成提前預報天氣的任務。

(4) 數值預報必定使大規模科學計算的問題暴露出來,從而促使馮·諾伊曼建立有效的數值方法和數值分析,其中首要的問題是誤差的來源和誤差的傳播,它可能造成計算的不穩定性,同時誤差可能放大到同數據相同的數量級,使得計算結果完全沒有意義。

1948年,氣象學家查尼(J.G.Charney,1917—1981)來到普林斯頓。他對流體動力學方程組進行適當簡化,排除掉對應于高速聲波和重力波的解,而其余的解保持不變。這樣他不僅簡化了方程,而且繞過引起不穩定的因素,從而把問題帶入可計算的范圍。1948年秋天,馮·諾伊曼和查尼等進一步研究地球表面的影響, 1949年,設計出數值實驗、數值方法都用差分法的方程,計算的穩定性滿足庫朗等人在1928年提出的條件,初始條件取自北美上空的數據,程序由馮·諾伊曼等人設計。1950年4月用ENIAC成功地進行計算,得出精確的結果。其后把這個最簡單的方程推廣,加入更多的實際效應,得出簡單的三維模型。1953年在普林斯頓用計算機MANIAC進行實驗,已能預報風暴的發展。由于以馮·諾伊曼為首的科學家的努力,從1954年起,天氣預報成為例行公事。

3. 發展數值分析(Numerical Analysis)

電子計算機使大規模數值計算成為可能,但也帶來不少理論問題。首要的問題,是經大量計算后,減少(舍入)誤差的積累對結果精確度的影響。計算機的算法必須誤差影響小,也就是具有數值穩定性。

1946年,馮·諾伊曼和伯格曼(S.Bergman,1898—1977)及蒙哥馬利(D.Montgomery,1909—1992)為美國海軍部寫了一份報告《高階線性方程組求解》,但未發表。1947年,馮·諾伊曼和哥德斯坦發表《高階矩陣數值求逆》,首先對線性方程組高斯(Carl Friedrich Gauss,1777—1855)消去法進行誤差分析而開辟了數值分析這一領域。同年美國國家標準局建立國家應用數學實驗室,并建立數值分析研究所。馮·諾伊曼這些開創性的工作以及一系列研究機構的建立都表明數值分析脫離開傳統的數學分析而成為獨立分支。在此之前,一系列的計算方法[如有限差分法、黎茨(Ritz,1878—1909)方法等]雖已發明,但是不一定適用于計算機。此后,馮·諾伊曼特別著重于研究計算機計算方法,他的工作為科學與工程計算奠定了基礎。

4. 建立新算法

蒙特卡羅算法與傳統的數學算法完全不同,是靠擲骰子來求近似值的。這種思想早在18世紀就有,維納也曾有過類似想法。1945年年底,烏拉姆首先想到,后來同馮·諾伊曼多次討論而成為一個有效的、適用于計算機的算法。用他們的話來說,這是“使用隨機數來處理確定性問題的方法”。1949年,蒙特卡羅算法正式發表之后,引出大量理論研究及應用。它幾乎可以用于所有的問題及領域,在高維問題(例如求高維區域的體積)有著其他方法無法比擬的優點,而且有許多問題是其他方法無法替代的。

蒙特卡羅算法的意義不僅僅在于它是一個優秀的算法,還在于它開辟了與數值計算完全不同的道路——即非決定模型和隨機算法。無論是人計算還是計算機計算,錯誤及誤差是經常存在的,而且并不像人們所想象的那樣容易被消除。現在,隨機算法已經是一個不可忽視的重要領域。

5. 開拓自動機理論

馮·諾伊曼晚年的興趣在于發展一般的自動機理論,這可以看成他早期對數理邏輯的工作以及他以后對計算機研制工作的綜合。其中他研究了兩個最復雜的問題:一是如何用不可靠的元件來設計可靠的機器;二是如何建造自繁殖機。自動機理論是計算機的理論模型,也是改進計算機功能的必經途徑。在人們對新生的計算機贊嘆不已時,馮·諾伊曼已遠遠走到他們的前頭:計算機怎樣才能成為名副其實的電腦? 他沒有來得及完成他一生最后一項大計劃,但遺留下來的思想還在繼續指導今后的工作,他把機器和人腦進行了細致的比較,明確指出人腦與計算機顯著不同之處是它由不可靠元件組成可靠的機器,他預示了信息傳輸理論、編碼理論、可靠性理論乃至模糊數學理論。他還提出兩種方法去設計網絡,使錯誤減到某固定值之下。此外,馮·諾伊曼還研究自繁殖機并且設計了兩套模型,其中第二套模型是無窮方陣,在結點處是“細胞”——它具有29個可能的狀態,每個細胞的狀態由前一時刻的四個相鄰細胞的狀態決定。這樣整個細胞陣列就可以由原來某種靜寂(死)狀態變成活狀態,從而達到“活”細胞的繁衍增殖。他還考慮這種自繁殖機的“進化”問題,這里他考慮了復雜性問題——這也是現代計算機科學一大熱門,同時對比生物體提出了這種自動機的臨界大小問題。