第1章 數學建模概述

1.1 什么是數學建模

數學建模，簡單來說就是用計算機和數學知識來解決實際問題。大學期間我們往往是跟著課本學習了若干專業知識，也會涉及一些例題。但這些離實際問題還很遠，結果就是感覺學了很多知識，但是不知道這些知識有什么用？怎么用？而數學建模恰好是這樣一種很好的實踐鍛煉活動，不但需要調動所學的各種知識，還要鍛煉迅速查閱文獻、數據，快速學習并應用它們的能力。

平時，教師引導學生解一道數學題時，教學生怎么從定義出發，加上邏輯推理，完成最終結論。數學建模大體上也是一樣的，只是由數學題變成更復雜的實際問題，首先需要讀懂并明確它，然后分解成小問題，表達成數學問題，再用數學方法和計算機編程來解決問題，得到的結果還需要驗證其合理性、穩定性、有效性、可推廣性等。

數學建模這個過程對能力的鍛煉是受益無窮的，可謂“一次參賽，終身受益”。

數學模型——為了定量地解決一個實際問題，從中抽象、歸結出來的數學結構。具體可以描述為：對于現實世界的一個研究對象，為了一個特定目的，根據對象的內在規律做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具得到的一個數學結構。

數學建模——指的是建立數學模型、解決實際問題的全過程，包括模型的建立、求解、分析和檢驗。

數學建模沒有最好，只有更好。模型評判不在于方法“高大上”“包醫百病”，而在于思想精髓、對癥下藥[1]。

1.用數學幫助解決實際問題，離不開數學建模

數學是和數學建模一直是相伴而發展起來的。數學建模就是把要研究或要解決的問題用數學語言表達出來，主要是選擇變量及確定變量間的關系。數學建模是在實際問題和數學之間架設一座橋梁，使得可以用數學分析、計算的各種方法、手段工具以及計算機編程來解決實際問題。掌握數學建模需要學好數學，學好數學并不在于修了多少門課，以及考試成績如何。重要的是是否掌握了數學語言和數學思維。

2.數學課程與數學建模的異同[2]

數學基礎課主要是為傳授知識打基礎，數學建模則是培養運用數學的能力。

相同：兩者都需要概念定義、條件結論、分析計算和邏輯推理，也都需要理出思路、找到正確的路線。

不同：數學課后的題目大多直接用數學語言敘述，條件、結論給得很明確，答案通常是唯一的，方法也大同小異（有“套路”），做對做錯很容易評判，目的是幫助理解和掌握這一部分知識內容；而數學建模面對的實際問題一般是用自然語言描述的，條件和結論并不明確、具體，甚至是相當開放的，討論或解決的路線、方法及用到的知識內容可能是多種多樣的、綜合的，更重要的是得到的結果要經過實際檢驗。

對數學建模，更要先做定性思考/討論，不要急于去找方法、想答案。面對一個問題，先要想一想：這是個什么問題（怎么理解），從何而來（怎么想出來的），要回答什么、弄清楚什么，怎樣才算是“回答了”、是否需要檢驗及怎樣檢驗，必要條件是什么、充分條件是什么，可以合理地分解成哪幾步，可能的困難在哪里，與已有的問題/知識有何關聯，有沒有熟悉的類似問題，等等。這些準備和思考做得好就容易走下去，容易找到一條正確的路線而不至于盲目“搬”方法、套公式。這一步很重要但僅靠數學知識是不夠的，需要學習相關知識或找人合作。

接下來是選擇變量和建立變量之間的關系，即建立數學模型。這一步需要明確假設：沒有假設是無法建立模型的，假設不合理會偏離問題的本源，而模型太復雜又會超越現有的能力。有了模型，就可以通過數學分析和編程計算來回答原始的問題，這基本上依靠的是對數學知識的運用和計算機編程的能力。最后，還必須檢驗所得的結果是否正確或合適。

3.相對于數學基礎課，數學建模需要強化幾方面意識和能力

問題意識：數學建模面對的是實際問題而不是數學問題，要先問用什么模型，再問用什么方法。倘若現有的方法和問題之間都已經可以建立一一對應，那世界上就不會有困難的事情了，也不需要創新發展，更輪不到人們施展才華。合適的模型需要合理的假設，合理的假設需要把實際問題搞清楚。問題比答案重要，實踐比理論優先。

分解問題的意識和能力：一步到位、一攬子解決、畢其功于一役的想法和心態難以面對富有挑戰性的問題。有些困難的問題我們雖然做不了但卻能讀懂別人的工作，這是因為別人把問題巧妙地分解成一系列有辦法處理的子問題。合理分解的標準是：子問題的難度大大降低了；子問題解決的結果拼起來就能回答原問題。

檢驗意識：數學問題的解答正確與否可以靠邏輯和證明來判定，但邏輯與證明不能作為實際問題是否得到了正確解決的唯一準則，而必須一開始就考慮檢驗的標準和途徑。做數學建模除了必要的數學基礎外，更需要充滿好奇、敏銳捕捉、虛心學習、合理假設、恰當分解、規范研究、科學檢驗。

4.重視編程語言學習

編程即讓計算機代為解決問題。從信息時代到大數據、機器學習時代，計算機編程能力已經是一種必備的基本能力了。

編程語言是人與計算機溝通的一種形式語言，根據設計好的編程元素和語法規則，來嚴格規范地表達我們想要做的事情的每一步（程序代碼），使得計算機能夠明白并正確執行，從而得到期望的結果。