§1.4　無窮大量與無窮小量

定義1﹒11　若變量y的絕對值在變化過程中無限增大，則稱變量y為無窮大量，記作

本來無窮大量的極限是不存在的，形式上稱它的極限為無窮大．無窮大量是指在變化過程中其絕對值無限增大，任何一個絕對值很大的常數都不為無窮大量，如常量函數y＝1010不為無窮大量．

在無窮大量的變化過程中，它取值可能為正，也可能為負．無窮大量有兩種特殊情況：一種是正無窮大量，這時無窮大量y在變化過程中的某一時刻后取值恒為正，記作limy＝＋∞或y→＋∞；另一種是負無窮大量，這時無窮大量y在變化過程中的某一時刻后取值恒為負，記作limy＝－∞或y→－∞．

例1　當x→0時，自變量x的絕對值｜x｜無限減小，從而函數的絕對值無限增大，所以函數為無窮大量，即

通過深入的討論，可以得到：當x→∞時，x的多項式也為無窮大量．

無窮大量具有下列性質：

性質1　正無窮大量與正無窮大量的和仍為正無窮大量，負無窮大量與負無窮大量的和仍為負無窮大量；

性質2　無窮大量與無窮大量的積仍為無窮大量．

注意：無窮大量與無窮大量的代數和、無窮大量與無窮大量的商都不一定為無窮大量．

下面再討論變量的另一種變化趨勢．

定義1﹒12　若極限limy＝0，則稱變量y為無窮小量．

無窮小量是指在變化過程中其絕對值無限減小，任何一個絕對值很小但不為零的常數都不為無窮小量，如常量函數y＝10－10不為無窮小量．但常量零為無窮小量，但不能認為無窮小量就是零．

例2　由于極限，所以當x→1時，函數y＝lgx為無窮小量．

無窮小量具有下列性質：

性質1　無窮小量與無窮小量的和、差、積仍為無窮小量；

性質2　無窮小量與有界變量的積仍為無窮小量．

注意：無窮小量與無窮小量的商不一定為無窮小量．

例3　討論極限．

解：當x→∞時，變量為無窮小量，并注意到§1﹒3例4得到的結果，這時變量sinx振蕩無極限，但恒有｜sinx｜≤1，說明變量sinx為極限不存在的有界變量．根據無窮小量性質2，積仍為無窮小量，所以極限

值得注意的是：由于極限不存在，于是不能應用§1﹒3極限基本運算法則2計算所求極限，即

當角度u（x）→∞時，函數sinu（x）與cosu（x）是常見的振蕩無極限的有界變量．

極限存在的變量與無窮小量有什么聯系？考慮變量y的極限為A，意味著變量y無限接近于常數A，即變量y－A無限接近于常數零，說明變量y－A的極限為零，變量y－A當然為無窮小量，于是有下面的定理．

定理1﹒4　變量y的極限為A等價于變量y－A為無窮小量．

無窮大量與無窮小量有什么聯系？有下面的定理．

定理1﹒5　如果變量y為無窮大量，則變量為無窮小量；如果變量y≠0為無窮小量，則變量為無窮大量．

推論　如果極限limu≠0，limv＝0，且變量v≠0，則極限

例4　討論極限．

解：由于分子的極限

分母的極限

根據定理1﹒5的推論，所以分式的極限

無窮小量雖然都是趨于零的變量，但它們趨于零的速度卻不一定相同，甚至差別很大．考慮當x→0＋時，變量都是無窮小量，它們趨于零的情況列表如表1-2：

表1-2

從表1-2中容易看出：以無窮小量x作為比較標準時，無窮小量x2趨于零的速度比x要快，它們之比值的極限

無窮小量趨于零的速度比x要慢，它們之比值的極限

無窮小量2x趨于零的速度與x屬于同一檔次，它們之比值的極限

無窮小量x2＋x趨于零的速度與x幾乎一樣，它們之比值的極限

為了比較無窮小量趨于零的速度，下面給出關于無窮小量的階的定義．

定義1﹒13　已知變量α，β都是無窮小量，以無窮小量β作為比較標準．那么：

（1）若極限，則稱無窮小量α是比β較高階無窮小量；

（2）若極限，則稱無窮小量α是比β較低階無窮小量；

（3）若極限，則稱無窮小量α與β是同階無窮小量；

（4）特別地，若極限，則進而稱無窮小量α與β是等價無窮小量．

根據這個定義可知：當x→0＋時，無窮小量x2是比x較高階無窮小量，無窮小量是比x較低階無窮小量，無窮小量2x與x是同階但非等價無窮小量，無窮小量x2＋x與x是等價無窮小量．