《給孩子的趣味數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)原來這么好玩》叢書導(dǎo)讀

民國時(shí)期，著名畫家、教育家、漫畫家、作家豐子愷給劉薰宇的《數(shù)學(xué)趣味》一書作序，原文如下：

我中學(xué)時(shí)代最不歡喜數(shù)學(xué)，最歡喜圖畫，常常為了圖畫而拋荒數(shù)學(xué)課。看見某畫理書上說：“學(xué)數(shù)學(xué)與學(xué)圖畫，頭腦的用法相反，故長(zhǎng)于數(shù)學(xué)者往往不善圖畫，長(zhǎng)于圖畫者往往不善數(shù)學(xué)。”我得了這話的辯護(hù)，便放心地拋荒數(shù)學(xué)課，仿佛數(shù)學(xué)越壞，圖畫會(huì)越好起來似的。現(xiàn)在回想覺得可笑又可惜，放棄了青年時(shí)代應(yīng)修的一種功課。我一直沒有嘗過數(shù)學(xué)的興味，一直沒有游覽過數(shù)學(xué)的世界，到底是損失！

最近給我稍稍補(bǔ)償這損失的，便是這冊(cè)書里的幾篇文章。我與薰宇相識(shí)后，他便做這些文章。他每次發(fā)表，我都讀，誘我讀的，是它們的富有趣味的題材。我常不知不覺地被誘進(jìn)數(shù)學(xué)的世界里去。每次想：假如從前有這樣的數(shù)學(xué)書，也許我不會(huì)拋荒數(shù)學(xué)，因而不會(huì)相信那畫理書上的話。我曾鼓勵(lì)薰宇續(xù)作，將來結(jié)集成書。現(xiàn)在書就將出版了，薰宇要我作序。數(shù)學(xué)的書，叫我這從小拋荒數(shù)學(xué)的人作序，也是奇事。而我居然作了，更屬異聞！序，似乎應(yīng)該是對(duì)于全書的內(nèi)容有所品評(píng)或闡發(fā)的，然而我的序沒有，只表示我是每篇的愛讀者而已。——唯其中《韓信點(diǎn)兵》一篇給我的回想很不好：這篇發(fā)表時(shí)，我正患眼疾，醫(yī)生叮囑我燈下不可看書，而我接到雜志，竟在燈下一口氣讀完了。次日眼睛很痛，又去看醫(yī)生。

一九三三年耶穌誕

子愷

一篇簡(jiǎn)短的序言，讓我們讀到了大畫家豐子愷對(duì)沒有學(xué)好數(shù)學(xué)的懊悔，也讀到了《數(shù)學(xué)趣味》的趣味。這趣味讓豐子愷對(duì)該書愛不釋手，忍著眼痛也要看完。如此精彩，到底是怎樣的書呢？讓我們一起來品味劉薰宇的數(shù)學(xué)科普叢書。

一、讀其文，先品其人——認(rèn)識(shí)叢書作者劉薰宇

劉薰宇（1896—1967），貴州貴陽人。我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家，也是我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育家和出版家，受過法國數(shù)學(xué)教育的熏陶，曾任多所大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教師或校長(zhǎng)，擔(dān)任過人民教育出版社副總編輯，審定過我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，出版了中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書和科普讀物，發(fā)表了大量數(shù)學(xué)教育方面的論文，籌備出版了《中學(xué)生》《新少年》等青少年期刊。

擔(dān)任人民教育出版社副總編輯期間，編寫了一系列中學(xué)數(shù)學(xué)教材。算術(shù)誰編的？劉薰宇！代數(shù)誰編的？劉薰宇！平面幾何誰編的？劉薰宇！立體幾何誰編的？劉薰宇！解析幾何誰編的？劉薰宇！……注意不是主編，而是編！我們對(duì)作者的景仰之情如滔滔江水，連綿不絕。

民國時(shí)期，語文教育家夏丏尊出過一本書，名為《文章作法》，這本書的第二作者是劉薰宇，一個(gè)數(shù)學(xué)家編寫語文專著，可謂文理兼修，驚為天人。

劉薰宇作為中國數(shù)學(xué)科普第一人，論著特點(diǎn)之一就是：說理淺明，以趣味豐富的文字寫枯燥的算理。所以，他的科普著作深受人們的喜愛，下面僅對(duì)《數(shù)學(xué)趣味》《馬先生談算學(xué)》《數(shù)學(xué)的園地》和《因數(shù)和因式》中的內(nèi)容做一簡(jiǎn)單的介紹，增進(jìn)我們對(duì)他的科普著作的了解，進(jìn)而去閱讀，并享受其中的數(shù)學(xué)趣味，汲取這位數(shù)學(xué)家留給我們的“教育遺產(chǎn)”。

二、作品賞析

劉薰宇的《馬先生談算學(xué)》這部著作從 1937 年 1 月開始，陸續(xù)按

月發(fā)表在《中學(xué)生》上，預(yù)定于 1937 年，在《中學(xué)生》上登載完畢，

但由于時(shí)局動(dòng)亂，難以靜心撰寫，時(shí)至 1939 年冬天才完稿，前后歷時(shí)三年。

劉薰宇寫該書的動(dòng)機(jī)是：“在增進(jìn)學(xué)算學(xué)的人對(duì)于算學(xué)的趣味。對(duì)于學(xué)習(xí)算學(xué)的態(tài)度，思索問題的途徑，以及探究題目間的關(guān)系和變化，我很用心地去選擇和計(jì)劃表出它們的方法。我希望，能夠把這沒有生命的算學(xué)問題注進(jìn)一點(diǎn)兒活力。”該書是以第三人稱——“馬先生”的口吻來進(jìn)行書寫的，主要圍繞如何用圖解法求解一些算術(shù)四則問題，收集了 100 多道題目加以解釋，但它并不是什么難題詳解之類的書。馬先生是一位風(fēng)趣幽默的老師，在和同學(xué)們的交流中循循善誘，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題通過深入淺出的語言，通過生動(dòng)

形象的畫圖加以解決。例如書中有這么一段：

雞、兔 同 一 籠 共 十 九 個(gè) 頭，五十二只腳，求雞、兔各有幾只？

不用說，這題目包含一個(gè)事實(shí)條件，雞是兩只腳，而兔是四只腳。

“依頭數(shù)說，這是‘和一定’的關(guān)系。”馬先生一邊說，一邊畫AB線。

“但若就腳來說，兩只雞的才等于一只兔的，這又是‘定倍數(shù)’ 的關(guān)系。假設(shè)全是兔，兔應(yīng)當(dāng)有十三只；假設(shè)全是雞，就應(yīng)當(dāng)有二十六只。由此得 CD 線，兩線交于 E。豎看得七只兔，橫看得十二只雞，這就對(duì)了。”

七只兔，二十八只腳，十二只雞，二十四只腳，一共正好五十二只腳。

這種方法正如劉薰宇先生強(qiáng)調(diào)的：“用圖解法直接來解決算術(shù)問題，這不但便于觀察和思索，而且還可使算術(shù)更切近于實(shí)用一點(diǎn)。圖解，本來已溝通了代數(shù)和幾何，而成為解析幾何學(xué)的骨干。所以，若從算術(shù)起，就充分地運(yùn)用它，我想，這不但對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)算學(xué)中的其他部門，有著不少的幫助，而且對(duì)于學(xué)理、工科，乃至于統(tǒng)計(jì)等，也是有益的。”《馬先生談算學(xué)》中的圖像法不正是中學(xué)的函數(shù)圖像的雛形嗎？在學(xué)習(xí)函數(shù)和解析法分析問題時(shí)，馬先生讓你水到渠成。

《馬先生談算學(xué)》共有 30 部分，依次為：他是這樣開場(chǎng)的、怎樣具體地表出數(shù)量以及兩個(gè)數(shù)量間的關(guān)系、解答如何產(chǎn)生——交差原理、就講和差算罷、“追趕上前”的話、時(shí)鐘的兩只針、流水行舟、年齡的關(guān)系、多多少少、鳥獸同籠問題、分工合作、歸一法的問題、截長(zhǎng)補(bǔ)短、還原算、五個(gè)指頭四個(gè)叉、排方陣、全部通過、七零八落、韓信點(diǎn)兵、話說分?jǐn)?shù)、三態(tài)之一——幾分之幾、三態(tài)之二——求偏、三態(tài)之三—— 求全、顯出原形、從比到比例、這要算不可能了、大半不可能的復(fù)比例、物物交換、按比分配、結(jié)束的一課。

《馬先生談算學(xué)》充分體現(xiàn)了劉薰宇先生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度，一方面認(rèn)為人人應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但不是說人人都要當(dāng)數(shù)學(xué)家；另一方面認(rèn)為人人都能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但不是說人人都能成為數(shù)學(xué)家。科學(xué)的價(jià)值與需求在當(dāng)時(shí)已經(jīng)不容懷疑，而算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、解析幾何以及初等微積分等中等程度的數(shù)學(xué)是科學(xué)必備的基礎(chǔ)。所以，“謹(jǐn)以此書獻(xiàn)給真實(shí)愛好科學(xué)的青年朋友”表達(dá)了劉薰宇先生出版該書的心聲。

《數(shù)學(xué)趣味》共有 11 部分，依次是：數(shù)學(xué)是什么、數(shù)學(xué)所給與人們的、數(shù)的啟示、從數(shù)學(xué)問題說到我們的思想、恨點(diǎn)不到頭、堆羅漢、八仙過海、棕欖謎、韓信點(diǎn)兵、王老頭子的湯圓、假使我們有十二根手指。《數(shù)學(xué)趣味》是一本有趣的數(shù)學(xué)史，從數(shù)學(xué)是什么到數(shù)的啟示，你會(huì)讀到數(shù)的歷史演變，你會(huì)讀到從數(shù)到式的發(fā)展。從數(shù)學(xué)問題說我們的思想中，劉薰宇先生通過雞兔同籠、勾股定理兩個(gè)耳熟能詳?shù)膯栴}，分析了數(shù)學(xué)中的通法和特法的關(guān)系，以及特殊與一般的關(guān)系。

大概說來，在十六七年前吧，從一部舊小說上，也許是《鏡花緣》，看到一個(gè)數(shù)學(xué)題的算法，覺得很巧妙，至今仍沒有忘記。那是一個(gè)關(guān)于雞兔同籠的問題，題上的數(shù)字現(xiàn)在已有點(diǎn)兒模糊，假使總共十二個(gè)頭，三十只腳，要求的便是那籠子里邊究竟有幾只雞、幾只兔。

那書上的算法很簡(jiǎn)便，將總共的腳的數(shù)目三十折半，得十五，從這十五中減去總共的頭的數(shù)目十二，剩的是三，這就是那籠子里面的兔的只數(shù)；再從總共的頭數(shù)減去兔的頭數(shù)三，剩的是九，便是要求的雞的數(shù)目。真是一點(diǎn)兒不差，三只兔和九只雞，總共恰是十二個(gè)頭，三十只腳。

……

八方桌和六方桌，總共八張，總共有五十二個(gè)角，試求每種各有幾張。這個(gè)題目具備了前面所舉的三個(gè)條件中的第一個(gè)和第二個(gè)，只缺第三個(gè)，所以不能完全用相同的方法計(jì)算。先將五十二折半得二十六，八方和六方折半以后，它們的角的數(shù)目相差雖只有一，但六方的折半還有三個(gè)角，八方的還有四個(gè)。所以，在三十六個(gè)角里面，必須將每張桌折半以后的腳數(shù)三只三只地都減去。總共減去三乘八得出來的二十四個(gè)角，所剩的才是每張八方桌比每張六方桌所多出的角數(shù)的一半。所以二十六減去二十四剩二，這便是八方桌有兩張，八張減去二張剩六張，這就是六方桌的數(shù)目。將原來的方法用到這道題上，步驟就復(fù)雜了，但教科書上所說的方法，用到那些形式相差很遠(yuǎn)的例子上并不繁重，這就可以證明兩種方法使用范圍的廣狹了。

讀了上面的例子，你是否認(rèn)識(shí)到越是普遍的法則，用來對(duì)付特殊的事例，往往越是容易顯出不靈巧，但它的效用并不在使人得到小花招，而是要給大家一種可靠的、能夠一以當(dāng)百的方法。你是否認(rèn)識(shí)到這可以列方程和方程組，解法更加普遍。

中國很老的數(shù)學(xué)書，如《周髀算經(jīng)》上面，就載有一個(gè)關(guān)于直角三角形的定理，所謂“勾三股四弦五”。這正和希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的定理：“直角三角形的斜邊的平方等于它兩邊的平方的和。”本質(zhì)上沒有區(qū)別。但由于表出的方法不同，它們的進(jìn)展就大相懸殊。從時(shí)間上看，畢達(dá)哥拉斯是紀(jì)元前六世紀(jì)的人，《周髀算經(jīng)》出世的時(shí)代雖已不能確定，但總不止二千六百年。從這兒，我們中國人也可以自傲了，這樣的定理，我們老早就有的。這似乎比把墨子的木鳶當(dāng)作飛行機(jī)的始祖來得大方些。然而為什么畢達(dá)哥拉斯的定理在數(shù)學(xué)史上有著很大的發(fā)展，而“勾三股四弦五”的說法，卻沒有新的突破呢？

這進(jìn)一步告訴我們，我們的科學(xué)研究，尤其數(shù)學(xué)研究要從實(shí)際問題出發(fā)，從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)普遍真理。劉薰宇進(jìn)一步分析了一般三角形的三邊類勾股的關(guān)系，擴(kuò)展到費(fèi)馬定理，層層遞進(jìn)，精彩紛呈。

劉薰宇出版《數(shù)學(xué)趣味》有兩個(gè)目的：一是打破一種觀念：“許多人以為數(shù)學(xué)是枯燥、繁雜、令人頭疼、不切實(shí)用的學(xué)科，因而望而卻步。打破這種觀念，這是第一個(gè)共同的企圖。”二是暗示處理材料和思索問題的方法：“許多人以為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只要呆記書本上的法則、公式、定理等等，再將練習(xí)題做完，這就算全部掌握了。其實(shí)書本上的知識(shí)不但有限，而且也太固定了，我們所能遇見的更鮮活的材料不知有多少。將死板的方法用到這些活潑的材料上去，使它倆相得益彰，這是一條學(xué)習(xí)的正軌。學(xué)習(xí)不但要收集一些材料，還要掌握一些方法。掌握方法比收集材料更有效果。”

中學(xué)生可以看懂高等數(shù)學(xué)中的微積分，也許你認(rèn)為這是天方夜譚吧。當(dāng)你打開劉薰宇的《數(shù)學(xué)的園地》，你會(huì)發(fā)現(xiàn)微積分其實(shí)很簡(jiǎn)單。該書比較系統(tǒng)地說明了函數(shù)、誘導(dǎo)函數(shù)、積分、微分等概念及它們的運(yùn)算法的基本原理。抽象、枯燥的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，經(jīng)過他巧妙的手法寫出來，只要學(xué)過初等代數(shù)和幾何的人，就能很輕松、毫不費(fèi)力地讀完并掌握。所以，該書完全可以作為中學(xué)生必備的重要自學(xué)書籍。

記起一段笑話，一段戲文上的笑話。有一個(gè)窮書生，討了一個(gè)有錢人家的女兒做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。后來，他的運(yùn)道亨通了，進(jìn)京朝考，居然一榜及第。他身上披起了藍(lán)衫，許多差人侍候著。回到家里，一心以為這回可以向他的老婆復(fù)仇了。哪知老婆見了他，仍然是神氣活現(xiàn)的樣子。他覺得這未免有些奇怪，便問：“從前我窮，你向我擺架子，現(xiàn)在我做了官，為什么你還要擺架子呢？”

她的回答很妙：“愧煞你是一個(gè)讀書人，還做了官，‘水漲船高’ 你都不曉得嗎？”

你懂得“水漲船高”嗎？船的位置的高低，是隨著水的漲落變的。用數(shù)學(xué)上的話來說，船的位置就是水的漲落的函數(shù)。說女子是男子的函數(shù)，也就是同樣的理由。在家從父，出嫁從夫，夫死從子，這已經(jīng)有點(diǎn)兒像函數(shù)的樣子了。如果還嫌粗略，我們不妨再精細(xì)一點(diǎn)兒說。女子一生下來，父親是知識(shí)階級(jí)，或官僚政客，她就是千金小姐；若父親是挑糞、擔(dān)水的，她就是丫頭。這個(gè)地位一直到了她嫁人以后才會(huì)發(fā)生改變。這時(shí)，改變也很大：嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教書匠，她便是師母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是 x，她就是y，y總是隨著x變的，自己無法做主。這種情形和“水漲船高”真是一樣，所以我說，女子是男子的函數(shù)，y是x的函數(shù)。

函數(shù)的概念比較抽象，劉薰宇先生以舊社會(huì)婦女沒地位，處處要服從男人這個(gè)事實(shí)作為從屬關(guān)系的例子，把“一個(gè)變化另一個(gè)也跟著變” 的道理說得幽默生動(dòng)。相對(duì)于函數(shù)，微分、積分、導(dǎo)數(shù)以及微分方程更加抽象，但劉薰宇先生依然把它們講得栩栩如生，通俗易懂。

《因數(shù)和因式》中，劉薰宇先生把小學(xué)的數(shù)和中學(xué)的式放在一起，可以類比學(xué)習(xí)，對(duì)于愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生、學(xué)有余力的學(xué)生、在六年級(jí)著手初小銜接的學(xué)生，可以仔細(xì)讀一讀，品一品，你會(huì)發(fā)現(xiàn)二者之間有著緊密的聯(lián)系。書中有一些名詞在今天讀起來更覺得生動(dòng)：比如我們現(xiàn)在稱為分解質(zhì)因數(shù)，本書中稱為“析因數(shù)”，分解因式在本書中稱為“析因式”。有關(guān)式的部分，劉薰宇先生在書中做了細(xì)致的闡述，對(duì)初中數(shù)學(xué)中數(shù)與式的鞏固、拓展提升有很大的幫助。

三、劉薰宇著作對(duì)后世的影響

劉薰宇的論著在當(dāng)時(shí)深受人們的喜愛，有些人正是因?yàn)樽x了他的論著才對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，不再覺得數(shù)學(xué)是枯燥、難懂的學(xué)科。

著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)得者楊振寧在對(duì)香港中學(xué)生的演講中說：“早在中學(xué)時(shí)代，由于偶然的機(jī)會(huì)我對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，而且發(fā)現(xiàn)了自己的數(shù)學(xué)能力。20 世紀(jì) 30 年代，有一雜志名叫《中學(xué)生》。我想香港的一些圖書館一定還收藏有這份雜志。這份雜志非常好，面向中學(xué)生，辦得認(rèn)真，內(nèi)容有趣。有一位劉薰宇先生，他是位數(shù)學(xué)家，寫過許多通俗易懂和極其有趣的數(shù)學(xué)方面的文章。我記得，我讀了他寫的關(guān)于智力測(cè)驗(yàn)的文章，才知道排列和奇偶排列這些極為重要的數(shù)學(xué)概念。”

著名數(shù)學(xué)家、國家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者谷超豪院士說：“我很早就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，中學(xué)時(shí)期除了好好學(xué)習(xí)課本外，我還看了不少課外書。記得看了劉薰宇先生的《數(shù)學(xué)的園地》，其中有一段講述了微積分思想，從什么是速度講起。當(dāng)時(shí)在學(xué)中學(xué)物理課，我自以為很懂得速度、加速度等概念，然而讀了這本書之后才發(fā)現(xiàn)，原來速度概念要用到微積分才能精確了解，于是對(duì)數(shù)學(xué)愈發(fā)地感興趣了。”

劉薰宇先生的這些作品與教科書不同，劉薰宇說“在嬉皮笑臉中來談點(diǎn)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)法則”（劉薰宇《科學(xué)小品和我》），這樣的寫法很得著名藝術(shù)家豐子愷的稱贊。

好友李異鳴先生從孔夫子舊書網(wǎng)購得劉薰宇先生的《馬先生談算學(xué)》《數(shù)學(xué)趣味》《數(shù)學(xué)的園地》《因數(shù)和因式》套書。2020 年春節(jié)，新冠肺炎疫情蔓延，待家防護(hù)，捧讀大師這四本著作，仿佛和大師做了一番月余的長(zhǎng)談。“數(shù)學(xué)很難，數(shù)學(xué)很枯燥，數(shù)學(xué)很重要”，這是很多中小學(xué)生的內(nèi)心獨(dú)白。今天，我要向所有的中小學(xué)生推薦這套叢書，這套叢書能夠讓人感知數(shù)學(xué)知識(shí)可以是有趣的，也應(yīng)該是有趣的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)并不是苦差事。好書永遠(yuǎn)有生命力，劉薰宇先生的這套叢書就是好書，一代代人讀，啟迪智慧，開創(chuàng)未來。

北京市第八十中學(xué) 楊根深

2020年4月