3.3　簡(jiǎn)單正弦交流電路的分析

前面我們討論了單一參數(shù)正弦交流電路中的電流、電壓及功率的關(guān)系。但在實(shí)際電路中，幾種參數(shù)往往可能同時(shí)存在。在一般情況下，由R、L、C構(gòu)成的正弦交流電路各元件的連接關(guān)系可能是串聯(lián)，可能是并聯(lián)，也可能是串并聯(lián)構(gòu)成的混聯(lián)。對(duì)于這樣一般形式的正弦交流電路的分析，通常將電路從時(shí)間域模型轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的相量模型，電路的元件特性和基本定律都能在相量域中得到相應(yīng)形式的表達(dá)。因此，在直流電路中提出的各種電路的分析方法完全能夠應(yīng)用到正弦交流電路的相量模型中。

3.3.1　基爾霍夫定律的相量形式

同分析直流電路一樣，分析交流電路的基本依據(jù)依然是基爾霍夫定律。如前所述，正弦交流電路中只有瞬時(shí)值和相量形式滿足和。對(duì)正弦交流電路的任一節(jié)點(diǎn)，滿足，即

對(duì)正弦交流電路的任一回路，滿足，即

有效值和最大值只能反映正弦量的大小關(guān)系，故不滿足基爾霍夫定律。

1．串聯(lián)電路

在圖3.12（a）所示R、L、C串聯(lián)電路中，設(shè)

根據(jù)圖示的參考方向，瞬時(shí)值形式的KVL方程為

R、L、C串聯(lián)電路的相量模型如圖3.12（b）所示，其相量KVL方程為

串聯(lián)電路中各元件流過(guò)的是同一電流，因此畫(huà)電路的相量圖時(shí)通常以電流作為參考相量（設(shè)初相位為零），電路的相量圖如圖3.12（c）所示。在坐標(biāo)平面上，利用平行四邊形法則將、和相加，得到串聯(lián)電路的總電壓。

由相量圖可知，及構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，如圖3.12（d）所示。的有效值為

即

的初相位為

所以，電路總電壓為

〖例3.4〗圖3.13（a）所示移相電路，已知：，輸入信號(hào)頻率為500Hz。求：（1）如果要求輸出電壓與輸入電壓之間的相位差為，試求電容值；（2）在電容不變的前提下，若想加大該相位差，如何調(diào)整電阻？

解：（1）取電流為參考相量，畫(huà)出輸入電壓與輸出電壓的相量圖如圖3.13（b）所示。根據(jù)相量圖，得

即　

若想增大輸入電壓與輸出電壓之間的相位差，在C不變的條件下，應(yīng)使減小，所以應(yīng)減小。

2．并聯(lián)電路

在圖3.14（a）所示R、L、C并聯(lián)電路中，設(shè)

根據(jù)圖示的參考方向，瞬時(shí)值形式的方程為

R、L、C并聯(lián)電路的相量模型如圖3.14（b）所示，其相量形式的方程為

因?yàn)椴⒙?lián)電路中各支路承受的是同一電壓，所以畫(huà)相量圖時(shí)通常以電壓為參考相量（設(shè)其初相位為零），電路的相量圖如圖3.14（c）所示。在坐標(biāo)平面上，利用平行四邊形法則將、和相加，得到并聯(lián)電路的總電流。

的有效值為

的初相位為

所以，電路總電流為

〖例3.5〗電路如圖3.15（a）所示。已知：，，，同相位。求：，IRL，，，。

解：并聯(lián)電路，以電壓為參考相量，畫(huà)出相量圖如圖3.15（b）所示。

由相量圖可知

因?yàn)椤?img alt="img" class="picture_formula_line" src="https://epubservercos.yuewen.com/42F8A6/23950034609677506/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_260.jpg?sign=1755170124-IGP08hYf7hK6pE9VOYVvxPoQWovcij3t-0-d0707c5cd92aadbabcff8adf7bfdbc60">

所以　

〖例3.6〗電路如圖3.16（a）所示。已知：，，與同相。求：，，，。

解：電路中既有串聯(lián)也有并聯(lián)，通常取并聯(lián)支路的電壓為參考相量，畫(huà)出相量圖如圖3.16（b）所示。由相量圖得

3.3.2　正弦交流電路的阻抗

1．阻抗

在正弦交流電路中，電壓相量與電流相量的比值，稱為復(fù)阻抗。用Z表示

式中，稱為阻抗?；蜃杩怪?，它反映了電壓和電流的大小關(guān)系，其大小是電壓與電流有效值之比，即

稱為阻抗角，它反映了電壓與電流的相位關(guān)系，是電壓超前于電流的電角度，即

阻抗值與阻抗角的大小取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。在圖3.12所示的R、L、C串聯(lián)電路中，有

阻抗值為

阻抗角為

根據(jù)電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不同，阻抗角可正可負(fù)，在R、L、C電路中，||≤90°。當(dāng)為正值時(shí)，說(shuō)明電壓超前于電流角，電路呈感性；當(dāng)為負(fù)值時(shí)，說(shuō)明電壓滯后于電流角，電路呈容性；當(dāng)時(shí)，說(shuō)明電壓電流同相位，電路呈電阻性。由此可見(jiàn)，根據(jù)阻抗角的正、負(fù)，就可以判斷電路的性質(zhì)。

復(fù)阻抗的電阻、電抗和阻抗值的大小滿足一個(gè)直角三角形的三邊關(guān)系，如圖3.17所示。稱為阻抗三角形，顯然，R、L、C串聯(lián)電路中的阻抗三角形與電壓三角形相似。

2．阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)

在正弦交流電路中，阻抗的連接形式是多種多樣的。交流電路中一個(gè)由R、L、C構(gòu)成的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)可以用一個(gè)復(fù)阻抗等效。

（1）阻抗的串聯(lián)

圖3.18（a）所示為兩個(gè)阻抗串聯(lián)的電路。根據(jù)歐姆定律和基爾霍夫定律的相量形式，得

因此

由此可見(jiàn)，兩個(gè)串聯(lián)的阻抗可用一個(gè)等效復(fù)阻抗來(lái)代替，如圖3.18（b）所示。此等效復(fù)阻抗應(yīng)等于串聯(lián)的各復(fù)阻抗之和。一般，幾個(gè)阻抗串聯(lián)時(shí)，其等效復(fù)阻抗可用下式表示

即

在上面各式的中，感抗取正號(hào)，容抗取負(fù)號(hào)。一定要注意，等效阻抗是復(fù)數(shù)，要用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則。

根據(jù)上面的方法計(jì)算出等效復(fù)阻抗后，其電壓、電流的關(guān)系可以表示為：

一般來(lái)講

所以　

〖例3.7〗已知：，串聯(lián)在一起接入的電源上，求電路中的電流和各阻抗上的電壓和。

解：先求等效復(fù)阻抗　

再求　

然后根據(jù)求

（2）阻抗的并聯(lián)

圖3.19（a）所示是兩個(gè)阻抗并聯(lián)組成的電路。根據(jù)基爾霍夫電流定律有

兩個(gè)并聯(lián)的阻抗可用一個(gè)等效復(fù)阻抗代替，如圖3.19（b）所示。其等效復(fù)阻抗為

由以上分析可知，復(fù)阻抗的串并聯(lián)法則與電阻的串并聯(lián)法則在形式上完全相同，只不過(guò)這里是復(fù)數(shù)運(yùn)算。

根據(jù)無(wú)源一端口的等效復(fù)阻抗，可以畫(huà)出一端口的串聯(lián)等效電路。復(fù)阻抗的實(shí)部等效為電阻元件，虛部等效為電感或電容元件。若復(fù)阻抗的虛部為正，則該等效電路可視為電阻元件和電感元件的串聯(lián)；若復(fù)阻抗的虛部為負(fù)，則該等效電路可視為電阻元件和電容元件的串聯(lián)。若復(fù)阻抗的虛部為零，則等效電路可視為純電阻元件。

在正弦交流電路中，如果將電路中已知的正弦量用相量表示，電路中的參數(shù)用復(fù)阻抗表示，則可以應(yīng)用在第1章中學(xué)過(guò)的各種方法列方程求解。但所有的方程都應(yīng)為相量方程，所有的運(yùn)算都應(yīng)為復(fù)數(shù)運(yùn)算。

〖例3-8〗在圖3.20（a）所示電路中，，，，，求電流，并畫(huà)出電壓電流相量圖。

解：設(shè)電壓為參考相量，則，兩個(gè)并聯(lián)阻抗的等效阻抗為

和串聯(lián)的阻抗為

故　

電壓、電流相量圖如圖3.20（b）所示。

〖例3.9〗在圖3.21（a）所示電路中，已知，，，，求電流。

解：本題電路中，只需求一條支路的電流，故可以用戴維南定理求解。由圖3.21（b）可得等效電動(dòng)勢(shì)

由圖3.21（c）可得等效內(nèi)阻抗

畫(huà)出圖3.21（a）的戴維南等效電路，如圖3.21（d）所示。由圖3.21（d）可得

3.3.3　正弦交流電路的功率

1．瞬時(shí)功率

在正弦交流電路中，由于有電感和電容的存在，因此在一般情況下電壓和電流有一定的相位差。設(shè)如圖3.22（a）所示的無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的電流和電壓分別為

則該電路的瞬時(shí)功率為

瞬時(shí)功率的波形如圖3.22（b）所示?？梢钥闯?，瞬時(shí)功率有正有負(fù)，當(dāng)p>0時(shí)，二端網(wǎng)絡(luò)從電源吸收功率；當(dāng)p<0時(shí)，二端網(wǎng)絡(luò)向電源回饋功率。因?yàn)殡娮鑿碾娫次展β剩姼泻碗娙菰c電源交換功率，所以，在一般情況下，功率波形的正、負(fù)面積不相等，負(fù)載吸收功率的時(shí)間總是大于釋放功率的時(shí)間，說(shuō)明電路在消耗功率，這是由于電路中存在電阻的緣故。

2．有功功率、無(wú)功功率和視在功率

正弦電路的有功功率即為平均功率，為

式（3.48）說(shuō)明，交流電路中有功功率的大小不僅取決于電壓電流有效值的乘積，而且與它們的相位差（阻抗角）有關(guān)。對(duì)于R、L、C電路，因?yàn)橛须娮柙嬖?，所以電路中總存在功率損耗。電路中的有功功率即為電阻上消耗的功率。式中的稱為功率因數(shù)。的大小與元件參數(shù)有關(guān)。

電路中的電感元件和電容元件上有能量的儲(chǔ)放，與電源之間要交換能量，所以電路中也存在無(wú)功功率。將式（3.47）中的分解為（），則式（3.47）可寫成

式中

無(wú)功功率反映了電路中儲(chǔ)能元件與電源進(jìn)行能量交換規(guī)模的大小。當(dāng)（感性電路）時(shí)，；當(dāng)（容性電路）時(shí)，。無(wú)功功率的正負(fù)與電路的性質(zhì)有關(guān)。因?yàn)殡姼性碾妷撼坝陔娏?img alt="img" class="picture_formula_line" src="https://epubservercos.yuewen.com/42F8A6/23950034609677506/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_355.jpg?sign=1755170124-DElLsZYChb50NKrO0qd48nyCRhDGpihI-0-ea2f6b54d1cf2a4693130b7921447906">，電容元件的電壓滯后于電流，所以感性無(wú)功功率與容性無(wú)功功率可以相互補(bǔ)償，即

正弦交流電壓的有效值U和電流的有效值I的乘積稱為視在功率

交流電氣設(shè)備是按照規(guī)定的額定電壓和額定電流來(lái)設(shè)計(jì)和使用的。對(duì)電源設(shè)備來(lái)講，又稱額定容量，簡(jiǎn)稱容量。它表明電源設(shè)備允許提供的最大有功功率。

視在功率的單位是V·A（伏安）或kV·A（千伏安）。

有功功率、無(wú)功功率和視在功率的大小滿足一個(gè)直角三角形的三邊關(guān)系，且與前述的電壓三角形、阻抗三角形相似，如圖3.23所示，得P、Q、S三者的關(guān)系為

對(duì)于正弦交流電路來(lái)說(shuō)，有功功率和無(wú)功功率滿足功率的可加性，電路中總的有功功率等于電路中各部分的有功功率之和，總的無(wú)功功率等于電路各部分的無(wú)功功率之和，但在一般情況下，視在功率不滿足可加性。

〖例3.10〗在電阻、電感、電容元件串聯(lián)的電路中，已知：，，，電源電壓。求：（1）感抗、容抗和阻抗值及阻抗角；（2）電流的有效值與瞬時(shí)值表達(dá)式；（3）各部分電壓的有效值與瞬時(shí)值的表達(dá)式；（4）有功功率、無(wú)功功率、視在功率；（5）判斷該電路的性質(zhì)。

因?yàn)殡娐分兄挥须娮璁a(chǎn)生有功功率，而電感和電容產(chǎn)生無(wú)功功率，所以，也可以用下列方法計(jì)算

（5）不論從阻抗角的正、負(fù)，還是從電壓電流的相位關(guān)系，或從無(wú)功功率的正、負(fù)，都很容易得出：電路是容性的。

〖例3.11〗圖3.24所示的兩個(gè)阻抗，，它們并聯(lián)后接在的電源上。求電路中的電流，畫(huà)出各電流的相量圖，并求電路的總功率P、Q、S。

解：先計(jì)算等效復(fù)阻抗

在并聯(lián)電路中，由于各支路的電壓是相同的，故以電壓為參考相量畫(huà)相量圖，如圖3.25所示。電路的總功率為

3．功率因數(shù)的提高

在正弦交流電路中，有功功率與視在功率的比值稱為功率因數(shù)。

功率因數(shù)是正弦交流電路中一個(gè)很重要的物理量。

電路的功率因數(shù)過(guò)低會(huì)帶來(lái)兩方面的不良影響。

（1）線路損耗大。

因?yàn)?img alt="img" class="picture_formula_line" src="https://epubservercos.yuewen.com/42F8A6/23950034609677506/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_384.jpg?sign=1755170124-kPdPYmOK4jFXOMuQi7GAgR2JfQdxFRAC-0-da65a90f2196655365eebcd9a676344b">，設(shè)線路電阻r，所以線路損耗為。當(dāng)輸電線路的電壓和傳輸?shù)挠泄β室欢〞r(shí)，輸電線上的電流與功率因數(shù)成反比。功率因數(shù)越小，輸電線上的電流越大，線路損耗亦越大。

（2）電源的利用率低。

因?yàn)殡娫吹娜萘?img alt="img" class="picture_formula_line" src="https://epubservercos.yuewen.com/42F8A6/23950034609677506/epubprivate/OEBPS/Images/txt004_386.jpg?sign=1755170124-7zdZrckQ2JgPlLM1HlhIB2ec5aszeFTa-0-5a5ccd6116dbd068be3c2912dd04443b">是一定的，由可知，電源能夠輸出的有功功率與功率因數(shù)成正比。當(dāng)負(fù)載的時(shí)，電源的利用率只有50%。

由此可見(jiàn)，功率因數(shù)的提高有著非常重要的經(jīng)濟(jì)意義。

在實(shí)際電路中，功率因數(shù)不高的主要原因是工業(yè)上大都使用感性負(fù)載。例如，三相異步電動(dòng)機(jī)滿載時(shí)功率因數(shù)為0.7～0.8，輕載時(shí)只有0.4～0.5，空載時(shí)甚至只有0.2。

按照供、用電規(guī)則，高壓供電的工業(yè)、企業(yè)單位平均功率因數(shù)不得低于0.95，其他單位不得低于0.9。因此，提高功率因數(shù)是一個(gè)必須要解決的問(wèn)題。這里說(shuō)的提高功率因數(shù)，是指提高線路的功率因數(shù)，而不是提高某個(gè)負(fù)載的功率因數(shù)。應(yīng)注意的是，功率因數(shù)的提高必須在保證負(fù)載正常工作的前提下實(shí)現(xiàn)。

提高功率因數(shù)常用的方法是在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容器。電路和相量圖如圖3.26所示。

由相量圖可知，并聯(lián)電容器以前，線路的阻抗角為負(fù)載的阻抗角，線路的功率因數(shù)為負(fù)載的功率因數(shù)（較低）。線路的電流為負(fù)載的電流（較大）；并聯(lián)電容器以后，由于電容上的電流超前于電壓，故抵消掉了部分感性負(fù)載電流的無(wú)功分量，使得線路的總電流減小，線路的阻抗角減小，線路的功率因數(shù)得以提高。

由于電容器是并聯(lián)在負(fù)載兩端的，負(fù)載兩端的電壓不變，因此負(fù)載的工作狀況不會(huì)發(fā)生變化。

設(shè)負(fù)載的電壓為，阻抗角為，有功功率為，它們也是并電容器前線路的電壓、阻抗角和有功功率。并聯(lián)電容器后，線路的電壓為，阻抗角為，有功功率為（電容不產(chǎn)生有功功率，所以并聯(lián)電容器前、后不變）。根據(jù)相量圖，得

這就是把功率因數(shù)由提高到所需并聯(lián)電容器容量的計(jì)算公式。

由上述分析可見(jiàn)，并聯(lián)電容器后，改變的只是線路的功率因數(shù)、電流、無(wú)功功率，而負(fù)載的工作狀況及電路的有功功率沒(méi)有發(fā)生變化。

〖例3.12〗有一電感性負(fù)載，功率為10kW，功率因數(shù)為0.6，接在電壓為220V，50Hz的交流電源上。（1）若將功率因數(shù)提高到0.95，需并聯(lián)多大的電容？（2）計(jì)算并聯(lián)電容前、后的線路電流。（3）若要將功率因數(shù)從0.95再提高到1，還需并聯(lián)多大電容？（4）若電容值繼續(xù)增大，功率因數(shù)會(huì)怎樣變化？

解：（1）

代入式（3.54）得

（2）并聯(lián)電容前的線路電流即負(fù)載電流為

并聯(lián)電容后的電流為

（3）需要再并聯(lián)的電容值為

（4）在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容器提高功率因數(shù)時(shí)，該電容器稱為補(bǔ)償電容。若并聯(lián)電容后的電路仍為感性，則稱為欠補(bǔ)償，欠補(bǔ)償時(shí)，電容越大，功率因數(shù)越高。功率因數(shù)提高到1時(shí)，電路呈電阻性，此時(shí)稱為全補(bǔ)償。再增大電容，電路呈現(xiàn)容性，之后隨著電容值的增大，功率因數(shù)在下降，此時(shí)稱為過(guò)補(bǔ)償。

【思考與練習(xí)】

3-3-1　RL串聯(lián)電路如圖3.27所示。判斷下列哪些式子是對(duì)的，哪些式子是錯(cuò)的？

（1）　（2）

（3）　（4）

3-3-2　畫(huà)出圖3.28所示電路的相量圖，并判斷與的相位關(guān)系。若使兩者之間的相位相差60°，則兩個(gè)參數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？

3-3-3　有一R、L、C串聯(lián)的交流電路，已知：，。求各元件上的電壓值及電路的總電壓值。判斷一下，電路的電流和電壓的相位關(guān)系如何？

3-3-4　在R、L、C串聯(lián)的電路中，滿足什么條件時(shí)，電感或電容上的電壓大于電源電壓？電阻上的電壓能大于電源電壓?jiǎn)?？為什么?/p>

3-3-5　對(duì)于感性負(fù)載，能否采用串聯(lián)電容的方法提高功率因數(shù)？為什么？

3-3-6　試用相量圖說(shuō)明并聯(lián)電容過(guò)大功率因數(shù)反而下降的原因。

3-3-7　感性負(fù)載并聯(lián)合適的電容提高功率因數(shù)時(shí)，電路中哪些量發(fā)生了變化？如何變化？哪些量不變，為什么？