3.1　正弦交流電的基本概念

電路中隨時間按正弦規律變化的電壓和電流等物理量，稱為正弦量，波形如圖3.1所示。正弦量可以用時間t的正弦函數來表示，以電流為例，其數學表達式為

式中：為正弦電流的瞬時值。

稱為幅值或者最大值。

是正弦量的角頻率。

是正弦量在t=0時的相位，稱為初相位。

，和分別用來表示一個正弦量的大小、變化速度和初始值，稱為正弦量的三要素。已知一個正弦量的三要素，可以唯一確定一個正弦量。

正弦量的正方向通常指在正半周期的方向。

3.1.1　正弦量的三要素

1．周期與頻率

正弦量變化一次所需的時間稱為周期，用表示，單位是s（秒）；每秒變化的次數稱為頻率，用表示，單位是（赫茲）。周期和頻率互為倒數，即

通常，我國電力系統供電頻率為，稱為工頻。在其他不同的技術領域使用著各種不同的頻率，（千赫）和（兆赫）是在高頻下常用的頻率單位。

正弦量表達式中的是角頻率，即正弦量每秒變化的弧度數，單位是（弧度每秒）。因為正弦量一周期經歷了弧度，所以角頻率為

式中，，，都是反映正弦量變化快慢的量。

2．幅值（最大值）與有效值

正弦量任一瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母表示。例如，，分別表示電流、電壓和電動勢的瞬時值。瞬時值中最大的值是幅值，或稱為最大值，用帶下標m的大寫字母表示。例如，，分別表示電流、電壓及電動勢的幅值。

正弦量的大小往往不是用它們的幅值，而是常用有效值來衡量。有效值是從熱效應相當的觀點來定義的，即一個交流電流通過一個電阻時，在一個周期內產生的熱量與一個直流電流通過這個電阻時，在同樣的時間內產生的熱量相等，稱直流電流的大小是交流電流的有效值，即

由此，可以得出周期電流的有效值

當周期電流為正弦量時，有

由上式可看出，周期量的有效值等于其瞬時值的平方在一個周期內的平均值再取平方根。因此，有效值又稱方均根值。該定義同樣適用于非正弦周期量。

對于正弦電壓和電動勢，也有類似的結論，即

可見，對于正弦量而言，最大值是有效值的倍。有效值用大寫字母表示，即，，分別表示電流、電壓、電動勢的有效值。通常我們所講的正弦量的大小，例如交流電壓為，都是指它的有效值。一般交流表的讀數也都是有效值。

3．初相位

正弦量是隨時間變化的，所取的計時起點不同，正弦量的初始值就不同。若規定正弦量由負到正的零點為變化起點，的時刻為時間起點，則任意瞬間的電角度稱為正弦量的相位角，簡稱相位。的相位稱為初相位或初相角，記為。初相位就是變化起點距時間起點之間的電角度。若變化起點在時間起點的左邊，則為正，如圖3.2中的曲線，其；若變化起點在時間起點的右邊，則為負，如圖3.2中的曲線，其；若變化起點和時間起點重合，則為零。通常，初相位的取值范圍為。初相位決定了時正弦量的大小和方向。我們稱初相位為零的正弦量為參考正弦量。

兩個同頻率正弦量的相位之差稱為相位差，用表示。顯然有

如圖3.2中的，曲線，其。

相位差用來描述兩個同頻率正弦量的超前、滯后關系。上例中，，則在的區間，比先達到最大值，我們稱在相位上超前于，或滯后于。

對于兩個同頻率正弦量，：

，稱超前于，或滯后于，如圖3.3（a）所示；

，稱與同相位，如圖3.3（b）所示；

，稱與反相位，如圖3.3（c）所示。

3.1.2　正弦量的相量表示法

當正弦量的三要素確定后，該正弦量就唯一確定了。它可以通過瞬時值表達式（三角函數式）和波形圖來描述，這兩種表示正弦量的方法比較直觀。但當對正弦交流電路進行分析時，會遇到一系列頻率相同的正弦量的計算問題，而用上述的三角函數表達式和波形圖進行計算是很煩瑣的。為了簡化交流電路的計算，有效的方法是用相量表示正弦量。這種相量表示法的基礎是復數。

1．復數及其運算

在數學中我們已經知道，復數A可以用復平面上的一條有向線段來表示。如圖3.4所示，其長度r稱為模，與橫軸的夾角稱為輻角。A在實軸上的投影為a，在虛軸上的投影為b。A可表示為

以上為復數的幾種表達形式。利用以下關系式

可以在上述幾種表達形式之間進行互相轉換。式中，是虛數的單位（數學中用表示，而電工技術中已用來表示電流）。

進行復數的四則運算時，一般加、減運算常用復數的代數式，將其實部與實部相加（減），虛部與虛部相加（減）；乘、除運算通常則用復數的極坐標形式比較方便，兩個復數相乘，模相乘，輻角相加；兩個復數相除，模相除，輻角相減。

由于

所以當一個復數乘上j時，模不變，輻角增大90°；當一個復數除以j時，模不變，輻角減小90°。

2．正弦量的相量表示法

在線性電路中，如果電源是正弦量，則電路中各支路的電壓和電流的穩態響應將是同頻率的正弦量。如果電路中有多個電源并且都是同頻率的正弦量，則根據線性電路的疊加性質，電路的全部穩態響應都將是同頻率的正弦量，處于這種穩定狀態的電路稱為正弦穩態電路，又稱為正弦交流電路。

由于在正弦交流電路中，所有正弦量都是同頻率的，因此可以把頻率這個要素作為已知量，只需要根據有效值和初相位兩個要素確定一個正弦量。若用復數的模表示正弦量的大小（有效值），用復數的輻角表示正弦量的初相位，則這個復數可用來表示一個正弦量。表示正弦量的復數稱為相量。

相量用在大寫字母上面加“·”的方式表示，例如分別表示電壓、電流和電動勢的相量式。在復平面上畫出正弦量的大小和相位關系的圖形稱為相量圖。畫相量圖時，實軸、虛軸可以省略不畫，如

其相量式為

其相量圖如圖3.5所示。

需要注意的是，復數只能用來表示一個正弦量，而不等于正弦量，所以復數與正弦量之間不能畫等號。

把正弦量表示成相量的目的是簡化正弦交流電路的計算。因為同頻率正弦量經加、減后仍為同頻率正弦量，所以，同頻率正弦量的和（差）的相量等于它們的相量和（差）。因此，在正弦交流電路中，相量是滿足基爾霍夫定律的。

〖例3.1〗已知：，。

（1）用相量圖表示兩個正弦量。

（2）用相量圖計算：。

解：相量圖如圖3.6所示，從圖中可以得到

所以

這里需要指出的是：

①只有同頻率正弦量才能用相量表示，一起參與運算。

②在正弦交流電路中，只有瞬時值、相量滿足、，而最大值、有效值不滿足、。所以，在正弦交流電路中標注正弦量時，只能使用瞬時值（，，）或相量（，，）。

【思考與練習】

3-1-1　在波形圖中如何確定初相位的正或負？在相量圖中如何確定初相位的正或負？

3-1-2　已知相量，試畫出它們的相量圖，并寫出它們的瞬時值表達式。

3-1-3　指出下列各式的錯誤：