第1章　了不起的公式

負數——數學界的轉型

烏鴉和蜜蜂竟然也會數數！

19世紀德國著名數學家克羅內克（1823-1891）曾說：“上帝創造了整數，其余都是人做的工作。”

據相關研究表明，1、2、3……這樣的數字，不僅人類會數，動物也會數。

德國圖賓根大學的研究表明，烏鴉可以完成“時間差對照實驗”：在烏鴉面前放置兩個電腦屏幕（樣品組和測試組），屏幕上分別呈現兩張帶不同數量圓點的圖片，先讓烏鴉觀看樣品組的圖片，然后停頓一秒鐘，再讓烏鴉觀看測試組的圖片，當兩組圖片中圓點數量相同時，烏鴉會去啄顯示屏，此時烏鴉能夠得到食物。讓烏鴉參與實驗后，烏鴉不僅能夠理解實驗的意圖，且僅在兩張圖片中的圓點數量相同時去啄顯示屏。

澳大利亞昆士蘭大學的研究表明，蜜蜂也會數數。實驗人員在隧道中做若干記號，隨機在某個記號（比如3號）處放置花蜜，然后讓蜜蜂多次通過隧道。實驗結果表明，即使隧道中沒有花蜜、只有記號，蜜蜂依舊會在3號記號附近聚集。

當然，考慮到蜜蜂有可能通過記號與入口的距離做出判斷，實驗人員改變了記號與記號之間的距離，繼續讓蜜蜂穿過隧道，而蜜蜂依舊會在3號記號處聚集，這一點引起了大家的廣泛興趣。

還有其他的案例，比如杜鵑。杜鵑繁衍時將自己的蛋下在黃鶯的巢穴中，讓黃鶯孵化，這時，杜鵑每下一個蛋，都會將黃鶯的蛋扔掉一個。

被稱為“假數”的負數

負數的概念是人類發明的“新數字”概念之一，負數指比0小的數。早在公元2世紀的中國數學書和公元7世紀前半葉的印度數學書中，就可以看到負數的相關演算。

特別是在公元7世紀的印度，商人會將“10萬的借款”記錄為“負10萬的收益”，這種記錄方法在商業中被廣泛運用。

而歐洲數學家開始接受負數的存在是在17世紀以后。以“我思故我在”聞名世界的笛卡爾（1596-1650），曾把通過方程式解出的負數稱作“假數”。

直至18世紀，還有許多數學家無法理解負數的概念。

歐拉的誤解

萊昂哈德·歐拉（1707-1783）是一名天才數學家，據說他“計算時毫不費力，就像人呼吸或者鷹在空中盤旋一樣”。然而即便這樣一位天才，也不可避免地犯了一個“錯誤”：他認為在的計算中，當x為正數時，x越接近0，則y的值越大；而負數比0小，那么當x為負數時，y將趨于無窮大。

你能想象“負3個面包”是怎樣的畫面嗎？

為什么西歐的數學家們強烈抵制將負數納入數學的范疇呢？為什么他們在遇到負數時會產生誤解？

這是由于負數是沒有辦法被直觀感受的數字。無須多言，我們無法將“負3個面包”放在眼前展示。通常，人們難以接受無法想象的事物。

然而，如果使用負數，就可以將兩個相反的事物放在同一個概念中進行思考。例如，假設某公司某月收入300萬日元，支出100萬日元，如果不能使用負數計算，就必須要考慮收和支兩個不同的概念，如若每個月的盈虧狀況不等，計算便會十分復雜。

將完全相反的兩個概念放在同一概念中思考

相反，如果用“負100萬日元”表示支出100萬日元，以收支的轉折點為原點，那么就可以在同一條數軸上計算收支的差值。將兩個相反的概念放在一個概念中思考是引入負數概念的重要優勢。

有了負數，“0”不再是數軸的端點，而變成了原點，這一變化也有著重大意義。據此，“0”將不僅僅表示“無”，它也可以表示正負數同時存在時的平衡點。

人造衛星和兩名相撲運動員

我們都知道，人造衛星相對于地球靜止。這種現象的產生，不是因為衛星沒有受到力的作用，而是因為它所受的引力和離心力大小相等。

此外，原子之所以呈中性，是因為原子核的正電荷跟核外電子所帶的負電荷數量相等，如果這一平衡被打破，便會產生陰陽離子。

在相撲比賽中，時常看到兩名運動員在場地中央四手相纏、抱作一團，看著像是靜止一般。他們當然不是在休息，而是兩名運動員互相作用在對方身上的力大小幾乎相等，所以畫面看上去像是靜止一般。物體受到大小相等、方向相反的力后保持靜止，看上去就像沒有受到力的作用一樣，是因為方向相反的兩個力相互抵消掉了。

通過引入負數的概念，將“0”當作原點，能夠發現看似平靜的現象的真實情況，比如可以考慮到大小相等、方向相反的力相互抵消的可能性。同時，也可以將“0”看作是某種不平衡發生的前兆。就如我們親眼看見的現象——原本抱成一團的相撲運動員在下一秒就突然打破了平衡的狀態——一樣，其中一方被另一方推出了場外。

人際關系也是同樣的道理。假設現有一對夫婦，他們的關系十分穩定，那么他們應該是彼此為對方著想，才讓愛情的天平處于平衡狀態。如果其中一方想當然地認為這種穩定是伴侶給予自己的“無償的愛”，而不再為對方考慮，那么最終很有可能會讓天平失去平衡。

“負數”為隔音降噪技術作出了重要貢獻

如果能夠通過概念，而不是僅僅依靠現實了解事物，人們的思考將實現飛躍式的進步。通過建立和細化一個抽象的概念，可以幫助我們進一步了解世界。其實，除了自然科學領域以外，在經濟學、社會學等學術領域以及我們的日常生活中，都存在諸多只能用負數才能描述的事物。

例如，降噪耳機的原理就是，讓鼓膜振動的振幅和麥克風吸收的外界聲音的振幅方向相反，正負抵消，從而實現降噪的效果。降噪耳機并非將人耳和外界聲音簡單地阻隔開來，因此，其靜音效果要遠遠優于物理降噪的效果。

在降噪耳機的幫助下，人們可以在地鐵上和工地附近欣賞美妙的音樂，這種技術的實現正是得益于負數概念的建立。

人類所創造的負數，對我們的生活帶來了深遠的影響，可以稱作數學界最重要的一次范式轉移（這個名詞用來描述在科學范疇里，一種在基本理論上對根本假設的改變。這種改變，后來亦應用于各種其他學科方面的巨大轉變——編者注）。